Задание 7. Сравнение рациональных чисел, координатная прямая

Содержание

В задании №7 ОГЭ по математике требуется сравнить несколько рациональных чисел и выбрать подходящий ответ.

Для правильного решения данного задания нужно:

знать натуральные числа, обыкновенные, десятичные дроби;
знать основные свойства степеней;
знать свойства корней;
уметь находить приближенное значения корня;
уметь сравнивать действительные числа;
уметь изображать числа точками на координатной прямой.

Свойства корней:$$\sqrt[n]{\textcolor{blue}{a}\textcolor{coral}{b}}=\sqrt[n]{\textcolor{blue}{a}}\cdot\sqrt[n]{\textcolor{coral}{b}}$$ $$\sqrt[n]{\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{coral}{b}}}=\frac{\sqrt[n]{\textcolor{blue}{a}}}{\sqrt[n]{\textcolor{coral}{b}}}$$ $$\sqrt[k]{\sqrt[n]{\textcolor{blue}{a}}}=\sqrt[kn]{\textcolor{blue}{a}}$$ $${(\sqrt{\textcolor{blue}{a}})}^2=\textcolor{blue}{a}$$ $$\sqrt{\textcolor{blue}{a}^2}=|\textcolor{blue}{a}|$$

Примечание. В задании №7 полезно проработать все варианты ответов для исключения ошибки

Пример №1

На координатной прямой отмечено число $a$.

{"questions":[{"content":"Какое из утверждений для этого числа является верным?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4-a>0$","$a-7<0$","$a-6>0$","$6-a<0$"],"answer":[1]}}}]}

Показать решение

Скрыть

Обозначим на координатной прямой остальные числа, отмеченные делениями:

Точка $\textcolor{orange}{a}$ находится между $5$ и $6$, ближе к $5$, примерно равна $\textcolor{orange}{5.3}$.

Рассмотрим каждое из утверждений, подставляя приближенно найденное значение $\textcolor{orange}{a}$.

$1.\space\textcolor{purple}{4}-\textcolor{orange}{5.3}>0$ Из $\textcolor{purple}{меньшего}$ числа вычитаем $\textcolor{orange}{большее}$, ответ будет меньше нуля. Утверждение $\textcolor{coral}{неверно}$.

$2.\space\textcolor{orange}{5.3}-\textcolor{blue}{7}<0$ Из $\textcolor{orange}{меньшего}$ числа вычитаем $\textcolor{blue}{большее}$, ответ будет меньше нуля. Утверждение $\textcolor{green}{верно}$.

$3.\space \textcolor{orange}{5.3}-\textcolor{blue}{6}>0$ Из $\textcolor{orange}{меньшего}$ числа вычитаем $\textcolor{blue}{большее}$, ответ будет меньше нуля. Утверждение $\textcolor{coral}{неверно}$.

$4.\space\textcolor{blue}{6}-\textcolor{orange}{5.3}<0$ Из $\textcolor{blue}{большего}$ числа вычитаем $\textcolor{orange}{меньшее}$, ответ будет больше нуля. Утверждение $\textcolor{coral}{неверно}$.

Пример №2

На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y$.

{"questions":[{"content":"Какое из приведенных утверждений для этих чисел неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y-x<0$","$x^2y>0$","$xy<0$","$x+y>0$"],"answer":[0]}}}]}

Показать решение

Скрыть

Судя по рисунку, $\textcolor{blue}{x}$ является $\textcolor{blue}{отрицательным}$ числом, так как находится слева от $0$ на координатной прямой. $\textcolor{orange}{y}$ является $\textcolor{orange}{положительным}$ числом, так как находится справа от $0$ на координатной прямой.
$\textcolor{blue}{x}$ находится ближе к $0$, поэтому его модуль будет меньше, чем модуль $\textcolor{orange}{y}$.

Рассмотрим каждое из утверждений, учитывая знаки $\textcolor{blue}{x}$ и $\textcolor{orange}{y}$.

$1.\space \textcolor{orange}{y}-\textcolor{blue}{x}<0$ Из $\textcolor{orange}{положительного}$ числа вычитаем $\textcolor{blue}{отрицательное}$. Минус на минус дает плюс, ответ будет больше нуля. Утверждение $\textcolor{coral}{неверно}$.

$2.\space {\textcolor{blue}{x}}^2\textcolor{orange}{y}>0$ $\textcolor{blue}{Отрицательное}$ число возводим в квадрат, получаем $\textcolor{orange}{положительное}$. $\textcolor{orange}{Положительное}$ умножаем на $\textcolor{orange}{положительное}$, ответ будет больше нуля. Утверждение $\textcolor{green}{верно}$.

$3.\space \textcolor{blue}{x}\textcolor{orange}{y}<0$ $\textcolor{blue}{Отрицательное}$ число умножаем на $\textcolor{orange}{положительное}$, ответ будет меньше нуля. Утверждение $\textcolor{green}{верно}$.

$4.\space \textcolor{blue}{x}+\textcolor{orange}{y}>0$ $\textcolor{blue}{Отрицательное}$ число складываем с $\textcolor{orange}{положительным}$, так как модуль $\textcolor{orange}{y}$ больше, ответ будет больше нуля. Утверждение $\textcolor{green}{верно}$.

Пример №3

На координатной прямой отмечены числа $a$,$b$ и $c$.

{"questions":[{"content":"Какая из разностей $a-b$, $a-c$, $c-b$ отрицательна?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a-b$","$a-c$","$c-b$","ни одна из них"],"answer":[2]}}}]}

Показать решение

Скрыть

На координатной прямой число $\textcolor{orange}{a}$ находится правее всех, значит оно $\textcolor{orange}{больше}$ всех. Затем идет число $\textcolor{blue}{b}$ и, самое маленькое, число $\textcolor{lightblue}{c}$.

Рассмотрим каждое из утверждений, учитывая величину каждого из чисел.

$1.\space \textcolor{orange}{a}-\textcolor{blue}{b}$ Из $\textcolor{orange}{большего}$ числа вычитаем $\textcolor{blue}{меньшее}$, разность будет $\textcolor{coral}{больше}$ нуля.

$2.\space \textcolor{orange}{a}-\textcolor{lightblue}{c}$ Из $\textcolor{orange}{большего}$ числа вычитаем $\textcolor{lightblue}{меньшее}$, разность будет $\textcolor{coral}{больше}$ нуля.

$3.\space \textcolor{lightblue}{c}-\textcolor{blue}{b}$ Из $\textcolor{lightblue}{меньшего}$ числа вычитаем $\textcolor{blue}{большее}$, разность будет $\textcolor{green}{меньше}$ нуля.

Пример №4

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

{"questions":[{"content":"Одна из них соответствует числу $\\frac{58}{7}$. Какая это точка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Точка $A$","Точка $B$","Точка $C$","Точка $D$"],"answer":[2]}}}]}

Показать решение

Скрыть

Разделим $58$ на $7$, получим $8$, остаток $2$. $2$ разделим на $7$, получим $0.2$, остаток $0.06$ и т.д.

Значит $\frac{58}{7}$ примерно равно $8.2$.
$8.2$ на координатной прямой находится между $8$ и $9$, но ближе к $8$.

Такому значению соответствует точка $C$.

Пример №5

На координатной прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответствуют числам $0.502$; $0.25$; $0.205$; $0.52$.

{"questions":[{"content":"Какой точке соответствует число $0.25$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$A$","$B$","$C$","$D$"],"answer":[1]}}}]}

Показать решение

Скрыть

На координатной прямой правее всех находится точка $\textcolor{orange}{D}$, она имеет самое большое значение из перечисленных – $\textcolor{orange}{0.52}$.
Далее располагается точка $\textcolor{blue}{C}$, она чуть меньше $\textcolor{orange}{D}$ – $\textcolor{blue}{0.502}$.
Затем идет точка $\textcolor{lightblue}{B}$, ее значение меньше $\textcolor{blue}{C}$, но больше $\textcolor{darkgreen}{A}$ – $\textcolor{lightblue}{0.25}$.
Самая маленькая точка $\textcolor{darkgreen}{A}$ соответствует числу $\textcolor{darkgreen}{0.205}$.

Точка $\textcolor{lightblue}{B}$ соответствует значению $\textcolor{lightblue}{0.25}$.

Пример №6

{"questions":[{"content":"Какое из данных ниже чисел принадлежит отрезку $[7;8]$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{69}{11}$","$\\frac{80}{11}$","$\\frac{90}{11}$","$\\frac{92}{11}$"],"answer":[1]}}}]}

Показать решение

Скрыть

Отрезку от $7$ до $8$ принадлежат числа, которые больше $7$, но меньше $8$.

Найдем числовое значение каждой дроби с точностью до десятых:$$\frac{69}{11}=6.2…$$$$\frac{80}{11}=7.2…$$$$\frac{90}{11}=8.1…$$$$\frac{92}{11}=8.3…$$

Отрезку от $7$ до $8$ принадлежат число $\frac{80}{11}$

Пример №7

Одно из чисел $\frac{2}{23}$; $\frac{3}{23}$; $\frac{5}{23}$; $\frac{11}{23}$ отмечено на прямой точкой.

{"questions":[{"content":"Какое это число?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{2}{23}$","$\\frac{3}{23}$","$\\frac{5}{23}$","$\\frac{11}{23}$"],"answer":[0]}}}]}

Показать решение

Скрыть

На координатной прямой отмечено число, которое немного меньше $0.1$.

Найдем числовое значение каждой дроби с точностью до сотых:

$\frac{2}{23}=0.08…$
$0.08$ $\textcolor{green}{немного\spaceменьше}$ $0.1$

$\frac{3}{23}=0.13…$
$0.13$ $\textcolor{coral}{больше}$, чем $0.1$

$\frac{5}{23}=0.21…$
$0.21$ $\textcolor{coral}{больше}$, чем $0.1$

$\frac{11}{23}=0.47…$
$0.47$ $\textcolor{coral}{больше}$, чем $0.1$

Отмеченной точке соответствует число $\frac{2}{23}$

Пример №8

Одно из чисел $\frac{81}{17}$; $\frac{90}{17}$; $\frac{99}{17}$; $\frac{108}{17}$ отмечено на прямой точкой.

{"questions":[{"content":"Какое это число?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{81}{17}$","$\\frac{90}{17}$","$\\frac{99}{17}$","$\\frac{108}{17}$"],"answer":[1]}}}]}

Показать решение

Скрыть

Подпишем значения остальных делений на координатной прямой:

Из рисунка видно, что отмеченная точка находится между $\textcolor{blue}{5}$ и $\textcolor{orange}{6}$, ближе к $\textcolor{blue}{5}$. Примерно равна $5.2$.

Найдем числовое значение каждой дроби с точностью до десятых и сравним со значением отмеченной точки:

$\frac{81}{17}=4.7…$
$4.7$ $\textcolor{coral}{меньше}$, чем $\textcolor{blue}{5}$

$\frac{90}{17}=5.2…$
$5.2$ $\textcolor{green}{равно}$ $5.2$

$\frac{99}{17}=5.8…$
$5.8$ $\textcolor{coral}{больше}$, чем $5.2$

$\frac{108}{17}=6.3…$
$6.3$ $\textcolor{coral}{больше}$, чем $\textcolor{orange}{6}$

Отмеченной точке соответствует число $\frac{90}{17}$

Пример №9

На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

{"questions":[{"content":"Одна из них соответствует числу $\\sqrt{86}$. Какая это точка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Точка $A$","Точка $B$","Точка $C$","Точка $D$"],"answer":[2]}}}]}

Показать решение

Скрыть

По таблице квадратов найдем, между какими числами находится число $86$: $81$ и $100$.
$81$ и $100$ это квадраты $\textcolor{blue}{9}$ и $\textcolor{orange}{10}$, значит $\sqrt{86}$ находится между $\textcolor{blue}{9}$ и $\textcolor{orange}{10}$. Причем $86$ ближе к $81$, значит $\sqrt{86}$ ближе к $\textcolor{blue}{9}$.

На координатной прямой между $\textcolor{blue}{9}$ и $\textcolor{orange}{10}$ находятся две точки: $C$ и $D$. Причем $C$ ближе к $\textcolor{blue}{9}$.

Значит, $\sqrt{86}$ соответствует точке $C$.

Пример №10

Одно из чисел $\sqrt{40}$, $\sqrt{46}$, $\sqrt{53}$, $\sqrt{58}$ отмечено на прямой точкой $A$.

{"questions":[{"content":"Какое это число?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\sqrt{40}$","$\\sqrt{46}$","$\\sqrt{53}$","$\\sqrt{58}$"],"answer":[1]}}}]}

Показать решение

Скрыть

На координатной прямой отмечено число, находящееся между $\textcolor{blue}{6}$ и $\textcolor{orange}{7}$, причем ближе к $\textcolor{orange}{7}$.
По таблице квадратов найдем числа находящиеся между квадратами $\textcolor{blue}{6}$ и $\textcolor{orange}{7}$, то есть $36$ и $49$.
Между $36$ и $49$ находятся $40$ и $46$, значит между $\textcolor{blue}{6}$ и $\textcolor{orange}{7}$ находятся $\sqrt{40}$ и $\sqrt{46}$, причем ближе к $\textcolor{orange}{7}$ находится $\sqrt{46}$.

Точка $A$ соответствует $\sqrt{46}$.

Награды за урок

Ускорьте прогресс с полным доступом

Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.

Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.

Подробнее

Не потеряйте прогресс!

Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:

Отслеживайте прогресс освоения тем
Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
Проводите работу над ошибками после занятий

Создать аккаунт Что такое Образавр?

Оценить урок

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Проверим знания по теме?

Задание 7. Практика. Часть I

Пройти тест

Комментарии

Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хотите оставить комментарий?

Войти

Задание 7. Сравнение рациональных чисел, координатная прямая

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Пример №4

Пример №5

Пример №6

Пример №7

Пример №8

Пример №9

Пример №10

Оценить урок

Что можно улучшить?

Войдите, чтобы оценивать уроки

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Проверим знания по теме?

Отменить ответ

Хотите оставить комментарий?

Задание 7. Сравнение рациональных чисел, координатная прямая

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Пример №4

Пример №5

Пример №6

Пример №7

Пример №8

Пример №9

Пример №10

Оценить урок

Что можно улучшить?

Войдите, чтобы оценивать уроки

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Проверим знания по теме?

Отменить ответ

Хотите оставить комментарий?

Поделиться материалом