8 класс Геометрия Площадь Площадь многоугольника

Площадь многоугольника и ее свойства

Содержание

В уроке «Многоугольники. Сумма углов, внешние углы, диагонали» вы изучали многоугольники: их стороны, углы и диагонали. Теперь разберем, что такое площадь многоугольника, три ее свойства, единицы площади и способы найти площадь фигуры на клетчатой бумаге.

Площадь — это сколько плиток уложится в фигуре

Пол комнаты выкладывают квадратной плиткой со стороной 50 см. На плане одна клетка — одна плитка. Основная часть комнаты — 4 ряда по 6 плиток, а в углу у длинной стены есть ниша — 2 ряда по 3 плитки. Сколько плиток нужно, если класть их целыми, без подрезки? Можно пересчитать плитки по одной, но есть способ быстрее — вернемся к нему в конце урока.

План пола комнаты с нишей: пол покрыт квадратными плитками 50 см, сколько плиток нужно — План пола с нишей: каждая клетка — плитка со стороной 50 см; площадь пола в плитках — число плиток, которые его покрывают

Так и измеряют площадь. Выбирают единицу — квадрат, сторона которого равна единице длины. Затем считают, сколько таких квадратов уложится в фигуре без промежутков и наложений. Плитка на плане и есть единица, а ответ «столько-то плиток» — площадь пола в плитках.

Определение

Площадь многоугольника — число, которое показывает, сколько раз единица измерения площади и ее части укладываются в этом многоугольнике. Единица измерения площади — квадрат со стороной, равной единице длины.

Площадь обозначают буквой $S$, номер или название фигуры пишут внизу: $S_1$, $S_{ABCD}$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь фигуры в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/acvkdivlljwo.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Разделите фигуру на две части по прямоугольникам: внизу $6 \\times 2$, вверху $4 \\times 2$ клетки.","$12 + 8 = 20$ клеток, значит, $S = 20\\ \\text{см}^2$."],"step":1}],"mix":1}

Площадь целого складывается из площадей частей

Возьмем фигуру на клетчатой бумаге: прямоугольник $5 \times 4$ клетки, у которого вырезан угол $3 \times 2$ клетки. Найдем ее площадь тремя способами.

Разрежем по горизонтали: внизу 2 ряда по 5 клеток, вверху 2 ряда по 2 клетки. Всего $10 + 4 = 14$ клеток.
Разрежем по вертикали: слева 4 ряда по 2 клетки, справа 2 ряда по 3 клетки. Всего $8 + 6 = 14$ клеток.
Достроим до прямоугольника $5 \times 4$: в нем 20 клеток, из них 6 — в пустом углу. Остается $20-6 = 14$ клеток.

Одна фигура из 14 клеток тремя способами: разрез по горизонтали, разрез по вертикали и достройка до прямоугольника 5 на 4 — Одна фигура, три способа: $10 + 4$, $8 + 6$, $20-6$ — площадь каждый раз $14$ клеток

Ответ не зависит от того, где прошли ножницы: клетки не исчезают и не появляются, их только делят на группы. А если вырезанную часть повернуть или перевернуть, клеток в ней останется столько же. Эти наблюдения записывают как свойства площади.

Свойства площади

1) Площадь квадрата со стороной 1 равна 1.

2) Равные многоугольники имеют равные площади.

3) Площадь многоугольника равна сумме площадей его частей. Если многоугольник разрезан на две части с площадями $S_1$ и $S_2$, то

$$S = S_1 + S_2$$

В школьном курсе эти свойства не доказывают — их принимают за основу, потому что они точно описывают то, что происходит с плитками. Свойство 2: равные фигуры, то есть совмещаемые наложением, покрываются одинаковым числом плиток, даже если одну из них повернули. Свойство 3 — про ножницы: разрезали фигуру — площадь распределилась между частями, сложили части — площадь собралась обратно. Из этих трех свойств в следующих уроках получатся все формулы площадей.

Пример 1

Прямоугольник $8 \times 3$ клетки разрезали на три равных прямоугольника. Найдите площадь одной части, если сторона клетки равна 1 см.

Решение. В прямоугольнике 3 ряда по 8 клеток, то есть 24 клетки. Части равны, поэтому по свойству 2 их площади равны: обозначим каждую $S_1$. По свойству 3 сумма площадей частей равна площади целого: $S_1 + S_1 + S_1 = 24$, откуда $S_1 = 24 : 3 = 8$.

Ответ: $8\ \text{см}^2$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Фигуру разрезали пунктиром на два прямоугольника: нижний $7$ см на $3$ см и верхний $5$ см на $2$ см. Найдите площадь фигуры в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/f21abb40u5qt.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"31"}},"hints":["Площадь целого равна сумме площадей его частей.","Нижний прямоугольник: $3$ ряда по $7$ клеток, $21\\ \\text{см}^2$; верхний: $2$ ряда по $5$ клеток, $10\\ \\text{см}^2$.","$21 + 10 = 31$."],"step":1},{"content":"Площадь многоугольника равна $36\\ \\text{см}^2$. Его разрезали на три части; площади двух частей равны $9\\ \\text{см}^2$ и $14\\ \\text{см}^2$. Найдите площадь третьей части в квадратных сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Площадь целого равна сумме площадей частей: $36 = 9 + 14 + S$.","$S = 36-9-14 = 13$."],"step":1}],"mix":1}

Плитку можно выбрать любого размера

В задачах на клетчатой бумаге часто говорят: «сторона клетки равна 1 см». Тогда каждая клетка — квадрат $1\ \text{см} \times 1\ \text{см}$, и ее площадь — один квадратный сантиметр, $1\ \text{см}^2$. Так же квадрат со стороной 1 дм имеет площадь $1\ \text{дм}^2$, а квадрат со стороной 1 м — $1\ \text{м}^2$. Длину измеряют отрезком, а площадь — квадратом, поэтому единицы площади квадратные.

Квадрат 1 дм на 1 дм из 100 квадратиков по 1 см: нижний ряд из 10 квадратиков — лишь один из десяти рядов — В квадрате со стороной 1 дм — 10 рядов по 10 квадратиков со стороной 1 см: $1\ \text{дм}^2 = 100\ \text{см}^2$, а не 10

Чтобы перевести одну единицу площади в другую, считают, сколько маленьких квадратов уложится в большом. В $1\ \text{дм}$ — $10\ \text{см}$, поэтому вдоль стороны квадрата $1\ \text{дм} \times 1\ \text{дм}$ помещается 10 квадратиков, а рядов таких 10. Всего $10 \cdot 10 = 100$ квадратиков. Это знакомо по уроку 5 класса «Единицы измерения площадей».

Квадрат со стороной	Сколько в нем меньших квадратов	Запись
$1$ см	$10$ рядов по $10$ квадратов $1$ мм	$1\ \text{см}^2 = 100\ \text{мм}^2$
$1$ дм	$10$ рядов по $10$ квадратов $1$ см	$1\ \text{дм}^2 = 100\ \text{см}^2$
$1$ м	$10$ рядов по $10$ квадратов $1$ дм	$1\ \text{м}^2 = 100\ \text{дм}^2$
$1$ м	$100$ рядов по $100$ квадратов $1$ см	$1\ \text{м}^2 = 10\,000\ \text{см}^2$

Ошибка

Как ошибаются. В фигуре 12 клеток со стороной 1 см, и ученик пишет: «Площадь равна 12 см». Другой переводит: «$1\ \text{дм} = 10\ \text{см}$, значит, $1\ \text{дм}^2 = 10\ \text{см}^2$».

Проверка. Сантиметр — это отрезок, им измеряют длину. Клетка — квадрат, ее площадь $1\ \text{см}^2$, поэтому ответ — $12\ \text{см}^2$. А 10 квадратиков по $1\ \text{см}^2$ занимают в квадрате $1\ \text{дм} \times 1\ \text{дм}$ только один нижний ряд, а рядов 10.

Где сломалось. Площадь перевели как длину: учли только одну сторону квадрата. Квадратная единица растет в обе стороны, поэтому множитель берут дважды: $10 \cdot 10 = 100$.

Интересный факт: сотка и гектар

Скрыть

Площадь земельных участков измеряют в гектарах. Гектар — площадь квадрата со стороной 100 м: $1\ \text{га} = 100 \cdot 100 = 10\,000\ \text{м}^2$. В быту говорят «сотка» — это сотая часть гектара, квадрат со стороной 10 м, то есть $100\ \text{м}^2$. Участок «шесть соток» — это $600\ \text{м}^2$.

{"questions":[{"content":"Сколько квадратных дециметров в $4\\ \\text{м}^2$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"400"}},"hints":["В квадрате со стороной $1$ м каждая сторона содержит $10$ дм, поэтому $1\\ \\text{м}^2 = 10 \\cdot 10 = 100\\ \\text{дм}^2$.","$4 \\cdot 100 = 400$."],"step":1},{"content":"Решавр переводит единицы: «$1\\ \\text{м} = 100\\ \\text{см}$, значит, $3\\ \\text{м}^2 = 300\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка Решавра?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Площадь перевели как длину: $3\\ \\text{м}^2 = 30\\,000\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: в метре $100$ см, поэтому $300\\ \\text{см}^2$","Надо умножать на $200$, у квадрата две стороны: $600\\ \\text{см}^2$","Надо умножать на $10$: $3\\ \\text{м}^2 = 30\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["","$100$ квадратиков по $1\\ \\text{см}^2$ — только один ряд в квадрате $1\\ \\text{м} \\times 1\\ \\text{м}$, а рядов $100$","Множитель $100$ берут дважды умножением: $100 \\cdot 100$, а не $100 + 100$","В метре $100$ см, а не $10$; к тому же для площади множитель берут дважды"],"answer":[0]}},"hints":["В квадрате $1\\ \\text{м} \\times 1\\ \\text{м}$ помещается $100$ рядов по $100$ квадратиков $1\\ \\text{см} \\times 1\\ \\text{см}$.","$1\\ \\text{м}^2 = 100 \\cdot 100 = 10\\,000\\ \\text{см}^2$, поэтому $3\\ \\text{м}^2 = 30\\,000\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Половина клетки — тоже площадь

Клетки на чертеже не всегда целые. Проведем в прямоугольнике $4 \times 2$ клетки диагональ. Она делит его на два треугольника, которые равны по трем сторонам (признак равенства из 7 класса). По свойству 2 их площади равны, по свойству 3 вместе они дают 8 клеток. Значит, каждый треугольник занимает ровно половину прямоугольника — 4 клетки. Так же диагональ клетки отрезает ровно половину клетки.

Диагональ делит прямоугольник на две равные половины; трапеция — прямоугольник и две половинки квадратов — Диагональ режет прямоугольник на два равных треугольника, поэтому каждый — половина: $8 : 2 = 4$ клетки; трапеция — прямоугольник и две такие половинки

Пример 2

Вершины трапеции лежат в узлах сетки: нижнее основание — 7 клеток, верхнее — 3 клетки, высота — 2 клетки, боковые стороны одинаково наклонены. Сторона клетки равна 1 см. Найдите площадь трапеции.

Решение. Разрежем трапецию по вертикальным линиям сетки, проходящим через концы верхнего основания. Посередине — прямоугольник $3 \times 2$: 2 ряда по 3 клетки, 6 клеток. По бокам — два прямоугольных треугольника с катетами 2 и 2 клетки. Каждый из них — половина квадрата $2 \times 2$, то есть $4 : 2 = 2$ клетки. По свойству 3: $S = 6 + 2 + 2 = 10$.

Ответ: $10\ \text{см}^2$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь трапеции в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zhdkpcmmyleu.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Слева целый прямоугольник $4 \\times 3$ клетки: $12$ клеток.","Справа треугольник с катетами $2$ и $3$ клетки — половина прямоугольника $2 \\times 3$, то есть $3$ клетки. Всего $12 + 3 = 15$."],"step":1}],"mix":1}

Ножницы меняют форму, но не площадь

Возьмем квадрат $4 \times 4$ клетки — в нем 16 клеток. Разрежем его пополам на два прямоугольника $2 \times 4$ и приложим их друг к другу по-другому. В линию — получится прямоугольник $2 \times 8$. Под прямым углом — получится уголок. По свойству 3 площадь каждой новой фигуры равна сумме площадей тех же двух частей, то есть снова 16 клеток. Форма изменилась, площадь — нет.

Три разные фигуры из одних и тех же двух частей: площадь у всех 16 клеток, а форма разная — Из одних и тех же двух частей — квадрат, прямоугольник и уголок: площадь у всех $16$ клеток, а фигуры разные

Определение

Равновеликие фигуры — фигуры, площади которых равны.

Равные фигуры всегда равновелики — это свойство 2. Обратное неверно: квадрат $4 \times 4$ и прямоугольник $2 \times 8$ равновелики, но не равны.

Ошибка

Как ошибаются. «У квадрата $4 \times 4$ и прямоугольника $2 \times 8$ площади по 16 клеток, значит, это равные фигуры».

Проверка. Равные фигуры совмещаются наложением, и их стороны совпадают. У квадрата все стороны по 4 клетки, у прямоугольника — 2 и 8 клеток. Не совместить.

Где сломалось. Свойство 2 прочитали наоборот. «Равные фигуры имеют равные площади» — верно. «Фигуры с равными площадями равны» — неверно: ножницы сохраняют площадь, но меняют форму.

Двигайте части: форма меняется, клеток 12.

ploshchad-mnogougolnika-razrezh-i-slozhi

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Прямоугольники $1 \\times 8$ и $2 \\times 4$ нарисованы на клетчатой бумаге. Какой вывод верен?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/twwhisq6pngx.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["У первого площадь больше, потому что он длиннее","Фигуры равны, потому что у них равные площади","Площади равны, а фигуры не равны","У второго площадь больше, потому что он шире"],"explanations":["Длина не определяет площадь: считайте клетки — их по $8$ в каждой фигуре","Равные площади не делают фигуры равными: прямоугольники не совмещаются наложением","","Ширина тоже не определяет площадь: клеток по $8$ в каждой"],"answer":[2]}},"hints":["Первый прямоугольник занимает $8$ клеток, второй — $2 \\cdot 4 = 8$ клеток.","Площади равны, но фигуры наложением не совместить: стороны разные."],"step":1},{"content":"Решавр рассуждает: «В квадрате $6 \\times 6$ клеток и в прямоугольнике $4 \\times 9$ клеток по $36$ клеток. Площади равны, значит, фигуры равны». В чем ошибка Решавра?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Фигуры не равны, потому что у квадрата площадь больше","Ошибки нет: фигуры с равными площадями всегда равны","Площади найдены неверно: в прямоугольнике не $36$, а $26$ клеток","Фигуры равновелики, но не равны: стороны $6$ и $6$ не совпадут с $4$ и $9$"],"explanations":["Площади равны: $6$ рядов по $6$ и $9$ рядов по $4$ — по $36$ клеток","Эти же фигуры — контрпример: площади равны, а стороны разные","$26$ — это периметр $4 + 9 + 4 + 9$, а клеток в прямоугольнике $9$ рядов по $4$, то есть $36$",""],"answer":[3]}},"hints":["Равные фигуры совмещаются наложением, и у них совпадают стороны.","У квадрата стороны по $6$ клеток, у прямоугольника — $4$ и $9$: совместить их нельзя. Фигуры равновелики, но не равны."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Периметр — это забор, а площадь — плитки внутри

Вернемся к фигурам из прошлого раздела. Площадь у них одна — 16 клеток. Посчитаем периметр, то есть длину границы, в сторонах клетки. У квадрата $4 \times 4$ периметр $4 + 4 + 4 + 4 = 16$. У прямоугольника $2 \times 8$ — $2 + 8 + 2 + 8 = 20$. У уголка тоже 20. Плитки те же, а «забор» вокруг них разный.

Полоса 1 на 9 и квадрат 4 на 4: у полосы забор длиннее, а плиток меньше — У полосы $1 \times 9$ периметр больше, чем у квадрата $4 \times 4$ ($20$ против $16$), а площадь меньше ($9$ против $16$)

Ошибка

Как ошибаются. «У полосы $1 \times 9$ клеток периметр 20, у квадрата $4 \times 4$ — 16. Периметр полосы больше, значит, и площадь больше».

Проверка. В полосе 9 клеток, в квадрате — 16. Площадь больше у квадрата, хотя его периметр меньше.

Где сломалось. Периметр учитывает только границу фигуры, а площадь — все клетки внутри. У длинной узкой полосы каждая клетка выходит к краю, поэтому граница длинная, а клеток мало. У квадрата многие клетки внутри, и забор короче.

Важно

Периметр — длина, его измеряют в см, м. Площадь измеряют в квадратных единицах: $\text{см}^2$, $\text{м}^2$. По периметру нельзя судить о площади, а по площади — о периметре.

{"questions":[{"content":"Сторона клетки равна $1$ см. Сопоставьте каждый прямоугольник с его периметром и площадью.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Прямоугольник $1 \\times 8$","Квадрат $3 \\times 3$","Прямоугольник $2 \\times 4$"],"items":["$P = 18$, $S = 8$","$P = 12$, $S = 9$","$P = 12$, $S = 8$"]}},"instruction":"Соотнесите фигуру и ее периметр и площадь","hints":["Периметр прямоугольника $a \\times b$ равен $2 \\cdot (a + b)$, а площадь — это число клеток, $a \\cdot b$.","Для $1 \\times 8$: периметр $2 \\cdot 9 = 18$, клеток $8$. Для $3 \\times 3$: $4 \\cdot 3 = 12$ и $9$ клеток. Для $2 \\times 4$: $2 \\cdot 6 = 12$ и $8$ клеток.","Ответ: $1 \\times 8$ — $P = 18$, $S = 8$; $3 \\times 3$ — $P = 12$, $S = 9$; $2 \\times 4$ — $P = 12$, $S = 8$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр сравнивает полосу $1 \\times 11$ клеток и квадрат $5 \\times 5$ клеток: «Периметр полосы равен $24$, а квадрата — $20$. Периметр полосы больше, значит, и площадь у нее больше». В чем ошибка Решавра?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Площади равны, ведь обе фигуры сложены из одинаковых клеток","Ошибки нет: чем больше периметр фигуры, тем больше и ее площадь","Периметры найдены неверно: у полосы и квадрата они на самом деле равны","Площадь больше у квадрата: $25$ клеток против $11$, периметр ее не определяет"],"explanations":["Клетки одинаковые, но их число разное: $11$ и $25$","Посчитайте клетки: $11$ в полосе и $25$ в квадрате — площадь больше у квадрата","Периметр полосы $1 + 11 + 1 + 11 = 24$, квадрата $5 + 5 + 5 + 5 = 20$ — найдены верно, ошибка в выводе",""],"answer":[3]}},"hints":["Посчитайте клетки: в полосе $11$ клеток, в квадрате — $5$ рядов по $5$, то есть $25$.","Площадь больше у квадрата, хотя периметр у него меньше: периметр — граница фигуры, площадь — клетки внутри."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Сложную фигуру разрезают или достраивают

В задании ОГЭ №18 фигура нарисована на клетчатой бумаге, ее вершины лежат в узлах сетки. Если фигура разрезается на прямоугольники и их половинки, режем и складываем. Если нет — достраиваем до прямоугольника и вычитаем лишние части. Это то же свойство 3, только прочитанное наоборот: площадь прямоугольника — сумма площадей фигуры и лишних частей, поэтому

$$S_{\text{фигуры}} = S_{\text{прямоугольника}}-S_{\text{лишних частей}}$$

Треугольник ABC вписан в квадрат 4 на 4: площадь равна 16 минус три лишних прямоугольных треугольника — Треугольник достроили до квадрата $4 \times 4$: лишние части — три половинки прямоугольников, $16-4-3-2 = 7$

Пример 3

Вершины треугольника $ABC$ лежат в узлах сетки, сторона клетки равна 1 см. Вершина $A$ — в левом нижнем углу квадрата $4 \times 4$ клетки, вершина $B$ — на его правой стороне, на 2 клетки выше нижнего края, вершина $C$ — на верхней стороне, на 1 клетку правее левого края. Найдите площадь треугольника.

Решение. Треугольник не режется на целые клетки, поэтому достроим его до квадрата $4 \times 4$: 16 клеток. Лишние части — три прямоугольных треугольника, каждый — половина прямоугольника:

внизу справа катеты 4 и 2 клетки — половина прямоугольника $4 \times 2$, то есть 4 клетки;
вверху справа катеты 3 и 2 клетки — половина прямоугольника $3 \times 2$, то есть 3 клетки;
слева катеты 1 и 4 клетки — половина прямоугольника $1 \times 4$, то есть 2 клетки.

$S_{ABC} = 16-4-3-2 = 7$.

Ответ: $7\ \text{см}^2$.

Тот же пол двумя способами: разрез 24 + 6 и достройка 36 − 6, итог 30 плиток; четыре плитки — 1 м², пол 7,5 м² — Пол из начала урока: $24 + 6 = 30$ плиток разрезом или $36-6 = 30$ достройкой; 4 плитки — это $1\ \text{м}^2$

Пример 4

Вернемся к полу с нишей из начала урока. Сколько плиток со стороной 50 см нужно и чему равна площадь пола в квадратных метрах?

Решение. Разрежем план по линии ниши. Основная часть — 4 ряда по 6 плиток, то есть 24 плитки. Ниша — 2 ряда по 3 плитки, 6 плиток. По свойству 3 всего $24 + 6 = 30$ плиток.

Проверим достройкой. План помещается в прямоугольник из 6 рядов по 6 плиток — 36 плиток. Пустой угол рядом с нишей — 2 ряда по 3, то есть 6. Получаем $36-6 = 30$, ответ совпал.

Четыре плитки со стороной 50 см складываются в квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$, поэтому 4 плитки — это $1\ \text{м}^2$. Площадь пола равна $30 : 4 = 7{,}5\ \text{м}^2$.

Ответ: 30 плиток, $7{,}5\ \text{м}^2$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Вершины треугольника лежат в узлах сетки. Сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь треугольника в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/um2xp7u0mtme.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["Достройте до прямоугольника $6 \\times 5$ клеток: его площадь $30$.","Лишние три треугольника — половины прямоугольников: половина $6 \\times 1$ — $3$ клетки, половина квадрата $4 \\times 4$ — $8$, половина $2 \\times 5$ — $5$.","Площадь целого равна сумме частей, поэтому $S = 30-3-8-5 = 14$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Пол комнаты состоит из прямоугольника $5\\ \\text{м} \\times 4\\ \\text{м}$ и прямоугольной ниши $2\\ \\text{м} \\times 1\\ \\text{м}$. Сколько квадратных плиток со стороной $1$ м нужно, чтобы покрыть пол без разрезания плиток? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"22"}},"hints":["Основная часть: $4$ ряда по $5$ плиток, $20$ плиток.","Ниша: $2$ плитки. Площадь целого — сумма частей: $20 + 2 = 22$."],"step":1},{"content":"Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Многоугольники с равными площадями равны","Чем больше периметр многоугольника, тем больше его площадь","Равные многоугольники имеют равные площади","Площадь измеряется в сантиметрах"],"explanations":["Контрпример: прямоугольники $1 \\times 8$ и $2 \\times 4$","Контрпример: $1 \\times 8$ и квадрат $3 \\times 3$","","Площадь измеряют в квадратных единицах, например в $\\text{см}^2$"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение на прямоугольниках $1 \\times 8$, $2 \\times 4$ и квадрате $3 \\times 3$.","Остальные утверждения опровергаются примерами: $1 \\times 8$ и $2 \\times 4$ не равны при равной площади.","Верно одно свойство площади: равные многоугольники имеют равные площади."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Площадь треугольника на клетчатой бумаге находят достройкой до прямоугольника. Расставьте шаги по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Достроить фигуру до прямоугольника по линиям сетки","Лишние части — половины прямоугольников, поэтому найти их площади","Сложить площади лишних частей: получим, сколько клеток убрать","Вычесть эту сумму из площади прямоугольника: так остается площадь фигуры"]}},"hints":["Сначала фигуру достраивают до прямоугольника по линиям сетки: так лишние части становятся половинами прямоугольников.","Потом находят площади лишних частей и складывают их; в конце сумму вычитают из площади прямоугольника."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Площадь — основа всего модуля. Из трех свойств — единица, равные фигуры, сумма частей — дальше получатся формулы площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции. Сначала в уроке «Площадь прямоугольника и квадрата» сложим прямоугольник из рядов плиток. Свойства нужны, чтобы посчитать плитку, краску или участок земли, а в ОГЭ — в заданиях №18 и №19. Главное: площадь — плитки внутри, периметр — забор вокруг, ножницы плиток не теряют. Еще задачи на площадь фигур на клетчатой бумаге — в уроке «Площадь многоугольника».

Случай	Как вспомнить через плитки и ножницы
Что такое площадь	сколько плиток-единиц уложится в фигуре
Свойство 1	одна плитка — это 1
Свойство 2	равные фигуры покрываются одинаковым числом плиток
Свойство 3	разрезали — площадь целого равна сумме площадей частей
Половинка клетки	диагональ режет прямоугольник на два равных треугольника
Фигура не режется на клетки	достроить до прямоугольника и вычесть лишнее
Единицы	плитка $1 \times 1$ см — это $1\ \text{см}^2$; $1\ \text{м}^2 = 10\,000\ \text{см}^2$
Равновеликие фигуры	те же плитки, другая форма — фигуры не обязательно равны
Периметр	забор вокруг плиток: ножницы его меняют

Часто задаваемые вопросы

Почему свойства площади не доказывают?

Их принимают за основу, как аксиомы: из них потом выводят формулы площадей. Они согласуются с опытом: если фигуру разрезать и переложить части, плиток останется столько же.

Как быть, если плитки не укладываются целиком, например у прямоугольника 3,5 на 1,5 см?

Тогда берут плитку мельче: квадрат со стороной 0,5 см укладывается в такой прямоугольник целиком — 3 ряда по 7. Как перейти к квадратным сантиметрам, разберем в следующем уроке.

Чем равные фигуры отличаются от равновеликих?

Равные фигуры совмещаются наложением: у них совпадают и форма, и размеры, а значит, и площадь. У равновеликих совпадает только площадь. Квадрат $4 \times 4$ и прямоугольник $2 \times 8$ равновелики, но не равны.

Можно ли увеличить площадь фигуры, разрезав ее и сложив части иначе?

Нет. По свойству 3 площадь новой фигуры равна сумме площадей тех же частей, то есть прежней площади. Измениться может только периметр: у квадрата $4 \times 4$ он 16, а у прямоугольника $2 \times 8$ из тех же частей — 20.

Почему в ответе пишут квадратные сантиметры, а не просто сантиметры?

Сантиметр — единица длины, им измеряют отрезки. Площадь измеряют квадратами: $1\ \text{см}^2$ — площадь квадрата со стороной 1 см. Если в фигуре 12 таких квадратов, ее площадь $12\ \text{см}^2$.

Награды за урок