Площадь многоугольника и ее свойства

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь фигуры в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/a7jzspnnbrao.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"27"}},"hints":["Нижняя часть — прямоугольник $7 \\times 3$: $21$ клетка.","Верхняя часть — прямоугольник $3 \\times 2$: $6$ клеток. Всего $21 + 6 = 27$."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь фигуры-лесенки в квадратных сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/oa9vmub3on7l.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"26"}},"hints":["Разделите лесенку на вертикальные полосы шириной $2$ клетки: высоты $5$, $4$, $3$ и $1$.","$2 \\cdot (5 + 4 + 3 + 1) = 2 \\cdot 13 = 26$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]Сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь прямоугольной трапеции в квадратных сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gklho46bou1m.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Слева прямоугольник $3 \\times 4$: $12$ клеток.","Справа прямоугольный треугольник с катетами $4$ и $4$ — половина квадрата $4 \\times 4$: $8$ клеток. $12 + 8 = 20$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]Сторона клетки равна $1$ см. Найдите площадь прямоугольной трапеции в квадратных сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/qdhixsoeocm9.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"26"}},"hints":["Слева прямоугольник $5 \\times 4$: $20$ клеток.","Справа прямоугольный треугольник с катетами $3$ и $4$ — половина прямоугольника $3 \\times 4$: $6$ клеток. $20 + 6 = 26$."],"step":1},{"id":"3","content":"$2\\ \\text{м}^2 =$ [[fill_choice-1]] $\\text{см}^2$","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$20\\,000$","$200\\,000$","$2\\,000$","$200$"],"answer":0}},"hints":["В квадрате $1\\ \\text{м} \\times 1\\ \\text{м}$ помещается $100$ рядов по $100$ квадратиков $1\\ \\text{см}^2$: $1\\ \\text{м}^2 = 10\\,000\\ \\text{см}^2$.","$2 \\cdot 10\\,000 = 20\\,000$."],"step":1},{"id":"3","content":"$5\\ \\text{м}^2 =$ [[fill_choice-2]] $\\text{см}^2$","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$500$","$5\\,000$","$50\\,000$","$500\\,000$"],"answer":2}},"hints":["В квадрате $1\\ \\text{м} \\times 1\\ \\text{м}$ помещается $100$ рядов по $100$ квадратиков $1\\ \\text{см}^2$: $1\\ \\text{м}^2 = 10\\,000\\ \\text{см}^2$.","$5 \\cdot 10\\,000 = 50\\,000$."],"step":1},{"id":"4","content":"В фигуре $15$ клеток со стороной $1$ см. Решавр записал: «Площадь фигуры равна $15$ см». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: сантиметр подходит и для длины, и для площади","Площадь надо записывать в квадратных сантиметрах: $15\\ \\text{см}^2$","Надо записать $150\\ \\text{мм}^2$","Надо перевести: $15\\ \\text{см}^2 = 1{,}5\\ \\text{дм}^2$"],"explanations":["Сантиметр — единица длины, площадь измеряют в $\\text{см}^2$","","В $1\\ \\text{см}^2$ — $100\\ \\text{мм}^2$, поэтому $15\\ \\text{см}^2 = 1500\\ \\text{мм}^2$; ошибка в единице, а не в числе клеток","В $1\\ \\text{дм}^2$ — $100\\ \\text{см}^2$, поэтому $15\\ \\text{см}^2 = 0{,}15\\ \\text{дм}^2$; к тому же переводить ничего не требуется"],"answer":[1]}},"hints":["Каждая клетка — это квадрат $1\\ \\text{см} \\times 1\\ \\text{см}$, то есть $1\\ \\text{см}^2$.","Площадь измеряют в квадратных единицах: $15\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"4","content":"Пол занимает $24$ плитки со стороной $1$ м. Решавр записал: «Площадь пола равна $24$ м». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Площадь надо записывать в квадратных метрах: $24\\ \\text{м}^2$","Надо перевести: $24\\ \\text{м}^2 = 240\\ \\text{дм}^2$","Ошибки нет: метр подходит и для длины, и для площади","Надо записать $2400\\ \\text{см}^2$"],"explanations":["","В $1\\ \\text{м}^2$ — $100\\ \\text{дм}^2$, поэтому $24\\ \\text{м}^2 = 2400\\ \\text{дм}^2$; к тому же переводить ничего не требуется","Метр — единица длины, площадь измеряют в $\\text{м}^2$","В $1\\ \\text{м}^2$ — $10\\,000\\ \\text{см}^2$, поэтому $24\\ \\text{м}^2 = 240\\,000\\ \\text{см}^2$; ошибка в единице, а не в числе плиток"],"answer":[0]}},"hints":["Каждая плитка — квадрат $1\\ \\text{м} \\times 1\\ \\text{м}$, то есть $1\\ \\text{м}^2$.","Площадь измеряют в квадратных единицах: $24\\ \\text{м}^2$."],"step":1},{"id":"5","content":"Решавр рассуждает: «Прямоугольники $3 \\times 8$ и $4 \\times 6$ имеют площади по $24\\ \\text{см}^2$. Площади равны, значит, прямоугольники равны». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Площади посчитаны неверно: на самом деле они не равны между собой","Равными можно назвать только фигуры, у которых равные периметры","Равные площади не делают фигуры равными: стороны у прямоугольников разные","Ошибки нет: если площади равны, то и сами фигуры всегда равны"],"explanations":["Площади равны: $3 \\cdot 8 = 24$ и $4 \\cdot 6 = 24$","Периметры $22$ и $20$ различны, но дело не в них: равенство фигур — это совмещение наложением","","Прямоугольники $3 \\times 8$ и $4 \\times 6$ — контрпример"],"answer":[2]}},"hints":["Равные фигуры совмещаются наложением, у них равны соответствующие стороны.","У прямоугольников разные стороны: $3$ и $8$ против $4$ и $6$ — они не совместятся, хотя площади равны."],"step":1},{"id":"5","content":"Решавр рассуждает: «Прямоугольник $2 \\times 6$ и прямоугольник $3 \\times 4$ имеют площадь по $12\\ \\text{см}^2$. Значит, это равные прямоугольники». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Равными можно назвать только фигуры, у которых равные периметры","Ошибки нет: если площади равны, то и сами фигуры всегда равны","Равные площади не делают фигуры равными: стороны у прямоугольников разные","Площади посчитаны неверно: на самом деле они не равны между собой"],"explanations":["Периметры $16$ и $14$ различны, а равенство фигур — это совмещение наложением","Прямоугольники $2 \\times 6$ и $3 \\times 4$ — контрпример","","Площади равны: $2 \\cdot 6 = 12$ и $3 \\cdot 4 = 12$"],"answer":[2]}},"hints":["Равные фигуры совмещаются наложением, у них равны соответствующие стороны.","У прямоугольников разные стороны: $2$ и $6$ против $3$ и $4$ — они не совместятся, хотя площади равны."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-5]]На клетчатой бумаге каждая клетка — квадрат со стороной $2$ см. Треугольник нарисован по узлам сетки. Чему равна его площадь в $\\text{см}^2$? [[input-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mbke7pnvw7uw.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"72"}},"hints":["Достройте до прямоугольника $7 \\times 6$ клеток: $42$ клетки. Лишние треугольники — половины прямоугольников: половина $7 \\times 2$ — $7$ клеток, половина квадрата $4 \\times 4$ — $8$, половина $3 \\times 6$ — $9$.","Треугольник занимает $42-7-8-9 = 18$ клеток. Одна клетка — $2 \\cdot 2 = 4\\ \\text{см}^2$.","$18 \\cdot 4 = 72$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-6]]На клетчатой бумаге каждая клетка — квадрат со стороной $2$ см. Треугольник нарисован по узлам сетки. Чему равна его площадь в $\\text{см}^2$? [[input-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bgafumlpghqw.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"48"}},"hints":["Достройте до прямоугольника $5 \\times 5$ клеток: $25$ клеток. Лишние треугольники — половины прямоугольников: половина $5 \\times 1$ — $2{,}5$ клетки, еще одна такая же — $2{,}5$, половина квадрата $4 \\times 4$ — $8$.","Треугольник занимает $25-2{,}5-2{,}5-8 = 12$ клеток. Одна клетка — $2 \\cdot 2 = 4\\ \\text{см}^2$.","$12 \\cdot 4 = 48$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"У двух прямоугольников периметр равен $12$ см. Стороны первого — $1$ см и $5$ см, второго — $2$ см и $4$ см. На сколько квадратных сантиметров площадь второго больше площади первого? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Первый прямоугольник — $1$ ряд из $5$ квадратиков $1\\ \\text{см}^2$: $5\\ \\text{см}^2$. Второй — $2$ ряда по $4$: $8\\ \\text{см}^2$.","$8-5 = 3$."],"step":1},{"id":"7","content":"У двух прямоугольников периметр равен $16$ см. Стороны первого — $1$ см и $7$ см, второго — $3$ см и $5$ см. На сколько квадратных сантиметров площадь второго больше площади первого? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Первый прямоугольник — $1$ ряд из $7$ квадратиков $1\\ \\text{см}^2$: $7\\ \\text{см}^2$. Второй — $3$ ряда по $5$: $15\\ \\text{см}^2$.","$15-7 = 8$."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр рассуждает: «Прямоугольник $1 \\times 10$ имеет периметр $22$ см, а квадрат $4 \\times 4$ — периметр $16$ см. Периметр первого больше, значит, и площадь первого больше». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["У квадрата площадь больше: $16\\ \\text{см}^2$ против $10\\ \\text{см}^2$ у прямоугольника","Периметры найдены неверно: у прямоугольника $20$ см, у квадрата $16$ см","Ошибки нет: у прямоугольника периметр больше, значит, и площадь больше","Площади равны: у обеих фигур по $16$ клеток, а периметры разные"],"explanations":["","Периметры $2 \\cdot (1 + 10) = 22$ и $4 \\cdot 4 = 16$ найдены верно, ошибка в выводе","Сравните клетки: $10$ и $16$ — площадь квадрата больше","Площади $10$ и $16$ различны: в прямоугольнике один ряд из $10$ клеток"],"answer":[0]}},"hints":["Площадь первого прямоугольника равна $10\\ \\text{см}^2$, площадь квадрата — $16\\ \\text{см}^2$.","Периметр и площадь — разные величины: по одной нельзя судить о другой."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр рассуждает: «Прямоугольник $2 \\times 9$ имеет периметр $22$ см, а прямоугольник $4 \\times 5$ — периметр $18$ см. Периметр первого больше, значит, и площадь первого больше». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Периметры найдены неверно: у первого $20$ см, у второго $18$ см","Площади равны: у обоих прямоугольников по $20$ клеток, а периметры разные","У второго площадь больше: $20\\ \\text{см}^2$ против $18\\ \\text{см}^2$ у первого","Ошибки нет: у первого периметр больше, значит, и площадь больше"],"explanations":["Периметры $2 \\cdot (2 + 9) = 22$ и $2 \\cdot (4 + 5) = 18$ найдены верно, ошибка в выводе","Площади $18$ и $20$ различны: в первом $2$ ряда по $9$ клеток","","Сравните клетки: $18$ и $20$ — площадь второго больше"],"answer":[2]}},"hints":["Площадь первого прямоугольника равна $18\\ \\text{см}^2$, площадь второго — $20\\ \\text{см}^2$.","Периметр и площадь — разные величины: по одной нельзя судить о другой."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сторона клетки равна $1$ см. «Квадрат $6 \\times 6$ без $3 \\times 4$» — из квадрата $6 \\times 6$ клеток вырезали прямоугольник $3 \\times 4$ клетки. У каких фигур площадь равна $24\\ \\text{см}^2$?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Площадь $24\\ \\text{см}^2$","Площадь не $24\\ \\text{см}^2$"],"items":[["$6$ рядов по $4$ клетки","Части по $9$ и $15$ клеток","Квадрат $6 \\times 6$ без $3 \\times 4$"],["Квадрат $6 \\times 6$ клеток","Квадрат $6 \\times 6$ без $3 \\times 3$","$5$ рядов по $5$ клеток"]]}},"instruction":"Распределите фигуры по группам","hints":["Для каждой фигуры посчитайте клетки: части складывайте, вырезанное вычитайте.","Площадь целого равна сумме частей: $9 + 15 = 24$; $6$ рядов по $4$ клетки — тоже $24$. Если часть вырезали, ее площадь вычитают: $36-12 = 24$, но $36-9 = 27$.","У квадрата $6 \\times 6$ периметр $24$ см, а площадь $36\\ \\text{см}^2$; у квадрата $5 \\times 5$ — $25$ клеток.","Ответ: $24\\ \\text{см}^2$ — $6$ рядов по $4$, части $9$ и $15$, квадрат $6 \\times 6$ без $3 \\times 4$; остальные — нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Сторона клетки равна $1$ см. «Квадрат $6 \\times 6$ без $2 \\times 3$» — из квадрата $6 \\times 6$ клеток вырезали прямоугольник $2 \\times 3$ клетки. У каких фигур площадь равна $30\\ \\text{см}^2$?[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Площадь $30\\ \\text{см}^2$","Площадь не $30\\ \\text{см}^2$"],"items":[["$5$ рядов по $6$ клеток","Части по $12$ и $18$ клеток","Квадрат $6 \\times 6$ без $2 \\times 3$"],["Прямоугольник $7 \\times 8$ клеток","Квадрат $6 \\times 6$ без $2 \\times 2$","Части по $13$ и $18$ клеток"]]}},"instruction":"Распределите фигуры по группам","hints":["Для каждой фигуры посчитайте клетки: части складывайте, вырезанное вычитайте.","Площадь целого равна сумме частей: $12 + 18 = 30$; $5$ рядов по $6$ клеток — тоже $30$. Если часть вырезали, ее площадь вычитают: $36-6 = 30$, но $36-4 = 32$.","У прямоугольника $7 \\times 8$ периметр $30$ см, а площадь $56\\ \\text{см}^2$; части $13$ и $18$ дают $31$.","Ответ: $30\\ \\text{см}^2$ — $5$ рядов по $6$, части $12$ и $18$, квадрат $6 \\times 6$ без $2 \\times 3$; остальные — нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Какое утверждение неверно?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Площадь квадрата со стороной $1$ равна $1$","Фигуры с равными периметрами имеют равные площади","Площадь целого равна сумме площадей его частей","Равные многоугольники имеют равные площади"],"explanations":["Это свойство 1 площади — верно","","Это основное свойство площади при разрезании фигуры — верно","Равные фигуры совмещаются наложением, поэтому площади равны — верно"],"answer":[1]}},"hints":["Площадь целого равна сумме площадей частей, площадь квадрата со стороной $1$ равна $1$, равные многоугольники имеют равные площади — это свойства площади.","Неверно утверждение про периметр: при периметре $12$ у $1 \\times 5$ площадь $5$, а у $2 \\times 4$ площадь $8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Какое утверждение неверно?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Фигуру площадью $20\\ \\text{см}^2$ можно разрезать на части площадью $8\\ \\text{см}^2$ и $12\\ \\text{см}^2$","У равных многоугольников площади равны","Площадь измеряют в квадратных единицах","Если площади многоугольников равны, то многоугольники равны"],"explanations":["Это верно: площадь целого — сумма площадей частей","Равные фигуры совмещаются наложением — верно","Например, $\\text{см}^2$ или $\\text{м}^2$ — верно",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение на примерах: единицы площади, разрезание на части, наложение равных фигур, прямоугольники $1 \\times 12$ и $3 \\times 4$.","Прямоугольники $1 \\times 12$ и $3 \\times 4$ имеют площадь по $12$ клеток, но наложением не совмещаются.","Неверно то, что равные площади означают равные фигуры."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>