Площадь прямоугольника и квадрата

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Площадь прямоугольника равна $72\\ \\text{см}^2$, одна сторона равна $9$ см. Найдите другую сторону в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$S = a \\cdot b$, значит, $b = S : a$.","$b = 72 : 9 = 8$."],"step":1},{"id":"1","content":"Площадь прямоугольника равна $91\\ \\text{см}^2$, одна сторона равна $7$ см. Найдите другую сторону в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["$S = a \\cdot b$, значит, $b = S : a$.","$b = 91 : 7 = 13$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Площадь прямоугольника $7 \\times 3$ см","Периметр прямоугольника $7 \\times 3$ см","Площадь квадрата со стороной $5$ см"],"items":["$21\\ \\text{см}^2$","$20$ см","$25\\ \\text{см}^2$","$20\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте величину и значение","hints":["Площадь — число квадратиков $1\\ \\text{см}^2$ внутри: $3$ ряда по $7$, это $21\\ \\text{см}^2$; у квадрата $5 \\cdot 5 = 25\\ \\text{см}^2$.","Периметр — длина границы, его измеряют в сантиметрах: $2 \\cdot (7 + 3) = 20$ см.","Ответ: площадь $7 \\times 3$ — $21\\ \\text{см}^2$, периметр $7 \\times 3$ — $20$ см, площадь квадрата — $25\\ \\text{см}^2$; $20\\ \\text{см}^2$ лишнее."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте величину и ее значение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Площадь прямоугольника $7 \\times 4$ см","Периметр прямоугольника $7 \\times 4$ см","Площадь квадрата со стороной $6$ см"],"items":["$28\\ \\text{см}^2$","$22$ см","$36\\ \\text{см}^2$","$22\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте величину и значение","hints":["Площадь — число квадратиков $1\\ \\text{см}^2$ внутри: $4$ ряда по $7$, это $28\\ \\text{см}^2$; у квадрата $6 \\cdot 6 = 36\\ \\text{см}^2$.","Периметр — длина границы, его измеряют в сантиметрах: $2 \\cdot (7 + 4) = 22$ см.","Ответ: площадь $7 \\times 4$ — $28\\ \\text{см}^2$, периметр $7 \\times 4$ — $22$ см, площадь квадрата — $36\\ \\text{см}^2$; $22\\ \\text{см}^2$ лишнее."],"step":1},{"id":"3","content":"Диагональ квадрата равна $12$ см. Найдите площадь квадрата в квадратных сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"72"}},"hints":["Опишите вокруг квадрата большой квадрат со стороной $12$ см: его площадь $12^2 = 144\\ \\text{см}^2$.","Данный квадрат занимает половину большого: $S = 144 : 2 = 72$."],"step":1},{"id":"3","content":"Диагональ квадрата равна $14$ см. Найдите площадь квадрата в квадратных сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"98"}},"hints":["Опишите вокруг квадрата большой квадрат со стороной $14$ см: его площадь $14^2 = 196\\ \\text{см}^2$.","Данный квадрат занимает половину большого: $S = 196 : 2 = 98$."],"step":1},{"id":"4","content":"Прямоугольник имеет стороны $6$ см и $4$ см. Решавр считает: «$S = 2 \\cdot (6 + 4) = 20\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо перемножить стороны и удвоить: $2 \\cdot 6 \\cdot 4 = 48$","Надо сложить стороны: $6 + 4 = 10\\ \\text{см}^2$","Решавр нашел периметр; площадь равна $6 \\cdot 4 = 24\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: площадь прямоугольника равна удвоенной сумме сторон"],"explanations":["Удваивать произведение не нужно: ряды по $6$ плиток, их $4$, всего $24$","Сумма сторон — полупериметр, а площадь — произведение сторон","","Удвоенная сумма сторон — периметр; площадь — число плиток $6 \\cdot 4 = 24$"],"answer":[2]}},"hints":["Выражение $2 \\cdot (6 + 4)$ — это периметр, а не площадь.","Площадь — число плиток $1 \\times 1$: $4$ ряда по $6$, то есть $S = 6 \\cdot 4 = 24\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"4","content":"Прямоугольник имеет стороны $9$ см и $5$ см. Решавр считает: «$S = 2 \\cdot (9 + 5) = 28\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Решавр нашел периметр; площадь равна $9 \\cdot 5 = 45\\ \\text{см}^2$","Ошибки нет: площадь прямоугольника равна удвоенной сумме сторон","Надо сложить стороны: $9 + 5 = 14\\ \\text{см}^2$","Надо перемножить стороны и удвоить: $2 \\cdot 9 \\cdot 5 = 90$"],"explanations":["","Удвоенная сумма сторон — периметр; площадь — число плиток $9 \\cdot 5 = 45$","Сумма сторон — полупериметр, а площадь — произведение сторон","Удваивать произведение не нужно: ряды по $9$ плиток, их $5$, всего $45$"],"answer":[0]}},"hints":["Выражение $2 \\cdot (9 + 5)$ — это периметр, а не площадь.","Площадь — число плиток $1 \\times 1$: $5$ рядов по $9$, то есть $S = 9 \\cdot 5 = 45\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"id":"5","content":"Прямоугольная клумба занимает $60\\ \\text{дм}^2$, ее длина $12$ дм. Сколько сантиметров бордюрной ленты нужно, чтобы обойти клумбу по периметру? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"340"}},"hints":["Другая сторона: $60 : 12 = 5$ дм. Периметр: $2 \\cdot (12 + 5) = 34$ дм.","$1$ дм $= 10$ см, поэтому $34 \\cdot 10 = 340$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Прямоугольная клумба занимает $84\\ \\text{дм}^2$, ее ширина $7$ дм. Сколько сантиметров бордюрной ленты нужно, чтобы обойти клумбу по периметру? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"380"}},"hints":["Другая сторона: $84 : 7 = 12$ дм. Периметр: $2 \\cdot (7 + 12) = 38$ дм.","$1$ дм $= 10$ см, поэтому $38 \\cdot 10 = 380$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Грядка — прямоугольник длиной $3$ м и шириной $40$ см. Сколько квадратных метров она занимает? (Запишите десятичную дробь.) [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["1,2","1.2"]}},"hints":["$40$ см $= 0{,}4$ м.","$S = 3 \\cdot 0{,}4 = 1{,}2\\ \\text{м}^2$."],"step":1},{"id":"6","content":"Ковровая дорожка — прямоугольник длиной $2$ м и шириной $25$ см. Сколько квадратных метров ткани в ней? (Запишите десятичную дробь.) [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,5","0.5"]}},"hints":["$25$ см $= 0{,}25$ м.","$S = 2 \\cdot 0{,}25 = 0{,}5\\ \\text{м}^2$."],"step":1},{"id":"7","content":"Пол комнаты — прямоугольник $5\\ \\text{м} \\times 4\\ \\text{м}$. Его покрывают квадратными плитками со стороной $50$ см. Плитки продают упаковками по $12$ штук. Сколько упаковок нужно купить? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["По длине: $500 : 50 = 10$ плиток, по ширине: $400 : 50 = 8$ плиток; всего $80$ плиток.","$80 : 12 = 6\\frac{2}{3}$: шести упаковок не хватит, нужно $7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Пол комнаты — прямоугольник $6\\ \\text{м} \\times 2{,}5\\ \\text{м}$. Его покрывают квадратными плитками со стороной $50$ см. Плитки продают упаковками по $8$ штук. Сколько упаковок нужно купить? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["По длине: $600 : 50 = 12$ плиток, по ширине: $250 : 50 = 5$ плиток; всего $60$ плиток.","$60 : 8 = 7{,}5$: семи упаковок не хватит, нужно $8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Стороны прямоугольника (или квадрата) изменили. В каких случаях площадь выросла ровно в $4$ раза?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["В $4$ раза","Не в $4$ раза"],"items":[["Обе стороны вдвое больше","Периметр квадрата вдвое больше","Одна сторона в $4$ раза больше"],["Одна сторона вдвое больше","Обе стороны в $4$ раза больше","Длина вдвое, ширина втрое больше"]]}},"instruction":"Распределите случаи по группам","hints":["Площадь — произведение сторон: если одну сторону умножить на $k$, а другую на $m$, площадь умножится на $k \\cdot m$.","$2 \\cdot 2 = 4$, $4 \\cdot 1 = 4$; периметр квадрата вдвое больше — значит, сторона вдвое больше, и площадь в $4$ раза. Но $2 \\cdot 1 = 2$, $4 \\cdot 4 = 16$, $2 \\cdot 3 = 6$.","Ответ: в $4$ раза — обе стороны вдвое, периметр квадрата вдвое, одна сторона в $4$ раза; остальные — не в $4$ раза."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Стороны прямоугольника (или квадрата) изменили. В каких случаях площадь выросла ровно в $9$ раз?[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["В $9$ раз","Не в $9$ раз"],"items":[["Обе стороны втрое больше","Периметр квадрата втрое больше","Одна сторона в $9$ раз больше"],["Одна сторона втрое больше","Обе стороны в $9$ раз больше","Длина втрое, ширина вдвое больше"]]}},"instruction":"Распределите случаи по группам","hints":["Площадь — произведение сторон: если одну сторону умножить на $k$, а другую на $m$, площадь умножится на $k \\cdot m$.","$3 \\cdot 3 = 9$, $9 \\cdot 1 = 9$; периметр квадрата втрое больше — значит, сторона втрое больше, и площадь в $9$ раз. Но $3 \\cdot 1 = 3$, $9 \\cdot 9 = 81$, $3 \\cdot 2 = 6$.","Ответ: в $9$ раз — обе стороны втрое, периметр квадрата втрое, одна сторона в $9$ раз; остальные — не в $9$ раз."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр рассуждает: «Сторона квадрата была $5$ см, ее увеличили вдвое — стала $10$ см. Значит, и площадь увеличилась вдвое: была $25\\ \\text{см}^2$, стала $50\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Новая площадь $10 \\cdot 10 = 100\\ \\text{см}^2$ — в $4$ раза больше","Ошибки нет: сторона выросла вдвое, значит, и площадь","Площадь стала $10 \\cdot 5 = 50\\ \\text{см}^2$: удвоена одна сторона","Площадь выросла на $5\\ \\text{см}^2$, как и сторона: $25 + 5 = 30$"],"explanations":["","Проверьте: $10^2 = 100$, а не $50$","У квадрата удвоены обе стороны: $10 \\cdot 10 = 100$, а не $10 \\cdot 5$","Сторона выросла на $5$ см, а площадь — в $4$ раза: $10^2 = 100$, а не $30$"],"answer":[0]}},"hints":["Новый квадрат со стороной $10$ см имеет площадь $10 \\cdot 10 = 100\\ \\text{см}^2$.","Площадь выросла в $4$ раза: сторона увеличилась и по длине, и по ширине."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр рассуждает: «Стороны прямоугольника $3$ см и $5$ см увеличили вдвое. Значит, и площадь увеличилась вдвое: была $15\\ \\text{см}^2$, стала $30\\ \\text{см}^2$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: стороны выросли вдвое, значит, и площадь","Новая площадь $6 \\cdot 10 = 60\\ \\text{см}^2$ — в $4$ раза больше","Площадь выросла на $8\\ \\text{см}^2$, как стороны на $3$ и $5$ см: $15 + 8 = 23$","Площадь стала $6 \\cdot 5 = 30\\ \\text{см}^2$: удвоена одна сторона"],"explanations":["Проверьте: $6 \\cdot 10 = 60$, а не $30$","","Стороны выросли на $3$ и $5$ см, а площадь — в $4$ раза: $6 \\cdot 10 = 60$, а не $23$","Удвоены обе стороны: $6 \\cdot 10 = 60$, а не $6 \\cdot 5$"],"answer":[1]}},"hints":["Новые стороны $6$ см и $10$ см, площадь $6 \\cdot 10 = 60\\ \\text{см}^2$.","Площадь выросла в $60 : 15 = 4$ раза: каждая из двух сторон удвоилась."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Стороны прямоугольника $2$ м и $30$ см. Решавр записал: «$S = 2 \\cdot 30 = 60\\ \\text{м}^2$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Перевести $30$ см в метры, ответ останется $60\\ \\text{м}^2$","Ошибки нет: единицы не мешают, $2 \\cdot 30 = 60\\ \\text{м}^2$","Надо сложить длины сторон: $2 + 30 = 32\\ \\text{м}^2$","Метры и сантиметры смешаны: $2 \\cdot 0{,}3 = 0{,}6\\ \\text{м}^2$"],"explanations":["$30$ см $= 0{,}3$ м, и $2 \\cdot 0{,}3 = 0{,}6\\ \\text{м}^2$, а не $60$","Если не перевести, число $60$ не соответствует ни метрам, ни сантиметрам","Площадь — произведение сторон, а не сумма",""],"answer":[3]}},"hints":["Стороны выражены в разных единицах, их нельзя перемножать без перевода: $2$ м $= 200$ см.","$S = 200 \\cdot 30 = 6000\\ \\text{см}^2$ (или $2 \\cdot 0{,}3 = 0{,}6\\ \\text{м}^2$)."],"step":1},{"id":"10","content":"Стороны прямоугольника $5$ дм и $20$ см. Решавр записал: «$S = 5 \\cdot 20 = 100\\ \\text{дм}^2$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Надо сложить длины сторон: $5 + 20 = 25\\ \\text{дм}^2$","Ошибки нет: единицы не мешают, $5 \\cdot 20 = 100\\ \\text{дм}^2$","Надо перевести $20$ см в метры: $5 \\cdot 0{,}2 = 1\\ \\text{дм}^2$","Дм и см смешаны: $20$ см $= 2$ дм, $5 \\cdot 2 = 10\\ \\text{дм}^2$"],"explanations":["Площадь — произведение сторон, а не сумма","Если не перевести, число $100$ не соответствует ни дециметрам, ни сантиметрам","Переведена одна сторона: дециметры умножены на метры — единицы снова смешаны. Обе стороны в дм: $5 \\cdot 2 = 10$",""],"answer":[3]}},"hints":["Стороны выражены в разных единицах, их нельзя перемножать без перевода: $5$ дм $= 50$ см.","$S = 50 \\cdot 20 = 1000\\ \\text{см}^2$ (или $5 \\cdot 2 = 10\\ \\text{дм}^2$)."],"step":1}]}</textarea></pre></div>