8 класс Геометрия Площадь Площадь многоугольника

Площадь прямоугольника и квадрата

Содержание

В уроке «Площадь многоугольника» площадь измеряли плитками: квадрат со стороной $1$ — единица площади, а площадь фигуры показывает, сколько таких плиток в ней помещается. Сегодня выведем формулы площади прямоугольника и квадрата — сначала для целых сторон, затем для дробных — и научимся решать обратные задачи; две простые задачи на эту тему есть также в уроке «Площадь квадрата и прямоугольника». Вопрос для начала: пол прихожей — прямоугольник $3{,}5 \times 2{,}5$ м, сколько квадратных метров он занимает и сколько плиток $50 \times 50$ см на него уйдет, — ответим в последнем разделе.

Площадь прямоугольника — это ряды плиток

Начнем с пола, где все считается легко. Комната — прямоугольник $4 \times 3$ м. Выложим пол квадратными плитками со стороной $1$ м. Вдоль стены длиной $3$ м помещаются $3$ плитки — это один ряд. Таких рядов вдоль стены длиной $4$ м — $4$. Всего $4 \cdot 3 = 12$ плиток, значит, площадь пола $12\ \text{м}^2$.

Пол 4 на 3 метра: 4 ряда по 3 плитки, всего 12 плиток — 4 ряда по 3 плитки: считать по одной не нужно, площадь пола 4 · 3 = 12 м²

Считать плитки по одной не нужно: достаточно знать, сколько плиток в ряду и сколько рядов. Если стороны прямоугольника — целые числа $a$ и $b$, в нем помещается $a$ рядов по $b$ квадратов со стороной $1$, всего $ab$ квадратов.

Теорема (площадь прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

Доказательство (целые стороны)

Дано: прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Доказать: $S = ab$.

Шаг 1. Разделим одну сторону на $a$ отрезков длиной $1$, другую — на $b$ таких отрезков. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам. Прямоугольник разбит на $a$ рядов по $b$ квадратов со стороной $1$, всего на $ab$ квадратов.

Шаг 2. Площадь каждого такого квадрата равна $1$: площадь квадрата со стороной $1$ равна $1$.

Шаг 3. Площадь многоугольника равна сумме площадей его частей. Частей $ab$, каждая площадью $1$, поэтому $S = ab$. Что и требовалось доказать.

Ошибка

Частая ошибка — считать площадь по формуле периметра: «$S = 2(a+b)$». Для пола $4 \times 3$ м она дает $2 \cdot (4 + 3) = 14$, а плиток на полу $12$.

Где ломается рассуждение: $2(a+b)$ — длина границы, то есть сколько метров плинтуса нужно вдоль стен. Площадь — сколько плиток лежит внутри. Периметр измеряют в метрах, площадь — в квадратных метрах. Иногда числа совпадают: у квадрата $4 \times 4$ периметр $16$ м и площадь $16\ \text{м}^2$. Но у прямоугольника $7 \times 1$ тот же периметр $16$ м, а плиток внутри всего $7$.

Один пол 4 на 3 метра: слева длина границы 14 м, справа 12 плиток — 12 квадратных метров — Плинтус идет по границе — 14 м, плитки лежат внутри — 12 м². Формула 2(a + b) считает плинтус, а не плитки

{"questions":[{"content":"Что нужно знать в каждой ситуации — площадь или периметр? Распределите ситуации по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Площадь","Периметр"],"items":[["Плитка на пол","Краска на потолок","Газон на участок"],["Плинтус вдоль стен","Забор вокруг участка","Багет для рамки"]]}},"instruction":"Распределите ситуации по группам","hints":["Площадь показывает, сколько квадратных плиток помещается внутри фигуры: ее измеряют в $\\text{м}^2$.","Периметр — длина границы фигуры: его измеряют в метрах. Плинтус, забор и рамка идут вдоль границы.","Ответ: площадь — плитка на пол, краска на потолок, газон на участок; периметр — плинтус, забор, рамка."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Найдите площадь прямоугольника со сторонами $7$ см и $4$ см в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fgssxi96dayj.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"28"}},"hints":["Прямоугольник можно разбить на $4$ ряда по $7$ плиток $1 \\times 1$.","$S = 7 \\cdot 4 = 28\\ \\text{см}^2$."],"step":1},{"content":"Пол кладовки — прямоугольник $5 \\times 2$ м. Решавр считает площадь: «$S = 2 \\cdot (5 + 2) = 14\\ \\text{м}^2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибка только в единицах: надо $14$ м, а не $14\\ \\text{м}^2$","Решавр нашел периметр; площадь пола равна $5 \\cdot 2 = 10\\ \\text{м}^2$","Надо было сложить стороны: $5 + 2 = 7\\ \\text{м}^2$","Ошибки нет: площадь прямоугольника равна удвоенной сумме сторон"],"explanations":["$14$ м — верный периметр, но спрашивали площадь: $5 \\cdot 2 = 10\\ \\text{м}^2$","","Сумма двух сторон — половина периметра, а площадь — произведение сторон","Удвоенная сумма сторон — длина плинтуса вдоль стен; плиток на полу $5 \\cdot 2 = 10$"],"answer":[1]}},"hints":["Выражение $2 \\cdot (5 + 2)$ — длина границы пола, то есть периметр.","Площадь — число плиток $1 \\times 1$ м: $5$ рядов по $2$ плитки, $S = 5 \\cdot 2 = 10\\ \\text{м}^2$."],"step":1}],"mix":1}

Сторона дробная — мельчим плитку

Вернемся к прихожей $3{,}5 \times 2{,}5$ м. Квадрат $1 \times 1$ м вдоль стен целое число раз не укладывается. Возьмем плитку мельче — квадрат со стороной $0{,}5$ м.

Четыре таких квадрата, по два в ряд, складываются ровно в квадрат $1 \times 1$ м. Они равны, значит, их площади равны, а вместе они дают $1\ \text{м}^2$. Поэтому площадь маленькой плитки равна $\frac{1}{4}\ \text{м}^2$, то есть $0{,}25\ \text{м}^2$.

Вдоль стены $3{,}5$ м помещается $3{,}5 : 0{,}5 = 7$ маленьких плиток, вдоль стены $2{,}5$ м — $5$. Пол — это $7$ рядов по $5$ плиток, всего $35$ плиток по $0{,}25\ \text{м}^2$: $S = 35 \cdot 0{,}25 = 8{,}75\ \text{м}^2$. А произведение сторон $3{,}5 \cdot 2{,}5$ тоже равно $8{,}75$. Формула снова верна.

Метровый квадрат из четырех плиток по 0,5 м и пол 3,5 на 2,5 м из 35 мелких плиток — Сторона плитки вдвое меньше — площадь вчетверо меньше: 7 рядов по 5, всего 35 плиток по 0,25 м², это 8,75 м²

Доказательство (дробные стороны)

Дано: прямоугольник, стороны $a$ и $b$ которого — положительные дроби. Доказать: $S = ab$.

Шаг 1. Приведем дроби к общему знаменателю: $a = \frac{m}{n}$, $b = \frac{k}{n}$, где $m$, $k$, $n$ — натуральные числа. В примере $3{,}5 = \frac{7}{2}$, $2{,}5 = \frac{5}{2}$, $n = 2$.

Шаг 2. Квадрат со стороной $1$ делится на $n$ рядов по $n$ квадратов со стороной $\frac{1}{n}$. Эти $n^2$ квадратов равны и вместе дают площадь $1$, поэтому площадь каждого равна $\frac{1}{n^2}$.

Шаг 3. Отрезок $\frac{1}{n}$ укладывается на стороне $a$ ровно $m$ раз, на стороне $b$ — $k$ раз. Значит, прямоугольник разбит на $m$ рядов по $k$ маленьких квадратов, всего на $mk$ квадратов.

Шаг 4. По свойству суммы частей $S = mk \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{m}{n} \cdot \frac{k}{n} = ab$. Что и требовалось доказать.

Важно

Бывают отрезки, длину которых нельзя записать обыкновенной дробью. Плитками для них формулу не вывести, но она верна и для них: доказательство сложнее, в уроке мы его не приводим.

ploshchad-ab

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Стороны прямоугольника равны $2{,}5$ см и $1{,}5$ см. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/jtfjh0fh44kl.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":["3,75","3.75"]}},"hints":["Разобьем на плитки со стороной $0{,}5$ см: по длине $5$ плиток, по ширине $3$. Всего $15$ плиток.","Одна плитка — $0{,}5 \\cdot 0{,}5 = 0{,}25\\ \\text{см}^2$, значит, $S = 15 \\cdot 0{,}25 = 3{,}75$ (то же, что $2{,}5 \\cdot 1{,}5$)."],"step":1},{"content":"Прямоугольник $1{,}5 \\times 0{,}5$ дм разрезали на плитки $0{,}5 \\times 0{,}5$ дм. Сколько получилось плиток и чему равна площадь прямоугольника?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3$ плитки, площадь $3\\ \\text{дм}^2$","$3$ плитки, площадь $0{,}75\\ \\text{дм}^2$","$6$ плиток, площадь $1{,}5\\ \\text{дм}^2$","$3$ плитки, площадь $0{,}25\\ \\text{дм}^2$"],"explanations":["Плитка — не $1\\ \\text{дм}^2$, а $0{,}25\\ \\text{дм}^2$: четыре таких дают $1\\ \\text{дм}^2$","","Вдоль $0{,}5$ дм помещается одна плитка, а не две: плиток $3$","$0{,}25$ — площадь одной плитки; площадь всего прямоугольника $3 \\cdot 0{,}25 = 0{,}75$"],"answer":[1]}},"hints":["Вдоль стороны $1{,}5$ дм помещается $1{,}5 : 0{,}5 = 3$ плитки, вдоль $0{,}5$ дм — одна: всего $3$ плитки.","Четыре такие плитки дают $1\\ \\text{дм}^2$, поэтому каждая — $0{,}25\\ \\text{дм}^2$; $S = 3 \\cdot 0{,}25 = 0{,}75\\ \\text{дм}^2$ — столько же, сколько $1{,}5 \\cdot 0{,}5$."],"step":1}],"mix":1}

Квадрат — сторона, умноженная на себя

Квадрат — прямоугольник, у которого смежные стороны равны (подробнее — в уроке о квадрате). Поэтому в квадрате со стороной $a$ помещается $a$ рядов по $a$ плиток: $S = a \cdot a = a^2$. Отсюда и чтение записи $a^2$ — «$a$ в квадрате»: это площадь квадрата со стороной $a$.

Теорема (площадь квадрата)

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Обратная задача — найти сторону квадрата по площади: какое число, умноженное на себя, дает эту площадь. Пока будем решать ее только для площадей, которые равны квадратам целых чисел. Например, квадрат площадью $144\ \text{см}^2$ имеет сторону $12$ см, потому что $12 \cdot 12 = 144$.

$a$	$a^2$	$a$	$a^2$	$a$	$a^2$
$1$	$1$	$5$	$25$	$9$	$81$
$2$	$4$	$6$	$36$	$10$	$100$
$3$	$9$	$7$	$49$	$11$	$121$
$4$	$16$	$8$	$64$	$12$	$144$

Площадь квадрата можно найти и по диагонали, не зная стороны. Здесь помогут ножницы. Пусть диагональ квадрата равна $d$. Через каждую его вершину проведем прямую, параллельную той диагонали, которая через эту вершину не проходит. Диагонали перпендикулярны, поэтому получится прямоугольник, стороны которого равны диагоналям, — большой квадрат со стороной $d$. Диагонали маленького квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому они делят большой квадрат на $4$ равных квадрата со стороной $\frac{d}{2}$: у каждого прямые углы и равные стороны — половины диагоналей.

Каждый из этих четырех квадратов сторона маленького квадрата режет по диагонали на два равных треугольника: один лежит внутри маленького квадрата, другой — снаружи. Отрежем четыре уголка снаружи и сложим их внутрь — они закроют маленький квадрат ровно. Значит, маленький квадрат занимает половину большого.

Квадрат с диагональю d вписан в квадрат со стороной d: четыре уголка снаружи равны четырем частям внутри — Четыре уголка снаружи равны четырем частям внутри: квадрат с диагональю d занимает половину квадрата d × d

Следствие (площадь квадрата по диагонали)

Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали.

Пример 1

Диагональ квадратной плитки равна $30$ см. Найдите площадь плитки.

Решение. Проведем через вершины плитки прямые, параллельные ее диагоналям. Получится квадрат со стороной $30$ см, его площадь $30^2 = 900\ \text{см}^2$. Плитка занимает ровно его половину: $S = 900 : 2 = 450\ \text{см}^2$.

Сторону плитки мы не искали — она и не нужна. Подбором ее не найти: $21^2 = 441$, $22^2 = 484$, и целого числа с квадратом $450$ нет.

Ответ: $450\ \text{см}^2$.

{"questions":[{"content":"Найдите площадь квадрата со стороной $9$ см в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"81"}},"hints":["У квадрата все стороны равны: $S = a \\cdot a = a^2$.","$S = 9^2 = 81$."],"step":1},{"content":"Площадь квадрата равна $49\\ \\text{см}^2$. Найдите его сторону в сантиметрах (сторона — целое число). [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$S = a \\cdot a$: нужно целое число, которое при умножении на себя дает $49$.","$7 \\cdot 7 = 49$, значит, $a = 7$."],"step":1},{"content":"Диагональ квадрата равна $8$ см. Найдите площадь квадрата в квадратных сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"32"}},"hints":["Опишите вокруг квадрата большой квадрат со стороной, равной диагонали: $8$ см. Его площадь $8^2 = 64\\ \\text{см}^2$.","Диагонали делят большой квадрат на $4$ равных квадрата, каждую из них сторона данного квадрата режет пополам: внутри половина, снаружи такая же половина.","Данный квадрат занимает ровно половину большого: $S = 64 : 2 = 32$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Площадь известна — найдем сторону и периметр

Формулу $S = ab$ можно читать и в обратную сторону. Если в каждом ряду $a$ плиток, а всего плиток $S$, то рядов $S : a$. Например, $24$ плитки по $6$ в ряд — это $4$ ряда.

Прямоугольник из 24 плиток: в ряду 6 плиток, сколько рядов — 24 разделить на 6 — 24 плитки по 6 в ряд — это 24 : 6 = 4 ряда: неизвестная сторона равна площади, деленной на известную

Следствие (сторона по площади)

Сторона прямоугольника равна его площади, деленной на смежную сторону.

Пример 2

Площадь прямоугольника равна $65\ \text{см}^2$, одна из сторон — $5$ см. Найдите периметр прямоугольника.

Решение. В каждом ряду $5$ плиток $1 \times 1$ см, всего плиток $65$, поэтому рядов $65 : 5 = 13$: другая сторона равна $13$ см. Периметр — длина границы: $P = 2 \cdot (5 + 13) = 36$ см.

Проверка смысла: $5 \cdot 13 = 65$ — площадь совпала. Ответ о периметре — в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах.

Ответ: $36$ см.

Обратите внимание

Одна площадь не задает прямоугольник. Площадь $36\ \text{см}^2$ имеют прямоугольники $36 \times 1$, $18 \times 2$, $12 \times 3$, $9 \times 4$ и $6 \times 6$, а периметры у них разные: $74$, $40$, $30$, $26$ и $24$ см. Чтобы найти периметр, кроме площади нужна еще одна сторона.

{"questions":[{"content":"Площадь прямоугольника равна $56\\ \\text{см}^2$, одна сторона равна $8$ см. Найдите другую сторону в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$S = a \\cdot b$, значит, $b = S : a$.","$b = 56 : 8 = 7$."],"step":1},{"content":"Периметр прямоугольника равен $26$ см, одна сторона равна $8$ см. Найдите площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Полупериметр: $26 : 2 = 13$ см — это сумма двух соседних сторон.","Другая сторона: $13-8 = 5$ см. Площадь: $8 \\cdot 5 = 40\\ \\text{см}^2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Стороны вдвое больше — площадь вчетверо

Вернемся к полу $4 \times 3$ м из первого раздела: на нем $12$ плиток. Увеличим каждую сторону вдвое — пол станет $8 \times 6$ м. Каждая прежняя плитка $1 \times 1$ м превращается в квадрат $2 \times 2$ м, а в нем $4$ плитки. Было $12$ плиток, стало $12 \cdot 4 = 48$. Проверка по формуле: $8 \cdot 6 = 48$.

Пол 4 на 3 и пол 8 на 6: при удвоении обеих сторон каждая плитка становится блоком из четырех, площадь 48 вместо 12 — Каждая плитка превратилась в квадрат 2 × 2 из четырех плиток: стороны выросли вдвое, площадь — вчетверо

Ошибка

Рассуждают так: «Стороны увеличили вдвое — значит, и площадь вдвое: было $12\ \text{м}^2$, станет $24\ \text{м}^2$».

Проверка на числах: $8 \cdot 6 = 48$, а не $24$. Где ломается рассуждение: удвоение длины удваивает число плиток в каждом ряду, а удвоение ширины удваивает число рядов. Два удвоения дают рост в $2 \cdot 2 = 4$ раза. «Вдвое» верно, только если удвоить одну сторону: пол $8 \times 3$ м имеет площадь $24\ \text{м}^2$.

Свойство

Если каждую сторону прямоугольника увеличить в $k$ раз, его площадь увеличится в $k^2$ раз.

Так же и с уменьшением: если каждую сторону уменьшить вдвое, площадь уменьшится в $4$ раза. Для квадрата это особенно наглядно: сторона в $3$ раза больше — площадь в $9$ раз больше.

{"questions":[{"content":"Каждую сторону прямоугольника увеличили в $5$ раз. Его площадь увеличилась в [[fill_choice-1]] раз.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$25$","$5$","$10$","$125$"],"answer":0}},"hints":["Пусть стороны были $a$ и $b$, стали $5a$ и $5b$: в каждом ряду в $5$ раз больше плиток, и рядов в $5$ раз больше.","$5a \\cdot 5b = 25ab$: площадь выросла в $5 \\cdot 5 = 25$ раз."],"step":1},{"content":"Обе стороны прямоугольника уменьшили в $2$ раза. Во сколько раз уменьшилась площадь прямоугольника? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Пусть стороны были $a$ и $b$, стали $\\frac{a}{2}$ и $\\frac{b}{2}$.","Площадь была $ab$, стала $\\frac{ab}{4}$: уменьшилась в $4$ раза."],"step":1},{"content":"Квадратный коврик со стороной $4$ дм заменили ковриком со стороной $8$ дм. Решавр рассуждает: «Сторона выросла вдвое — значит, и площадь вдвое: была $16\\ \\text{дм}^2$, стала $32\\ \\text{дм}^2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Площадь стала $8 \\cdot 4 = 32\\ \\text{дм}^2$: удвоена одна сторона","Новая площадь $8 \\cdot 8 = 64\\ \\text{дм}^2$ — в $4$ раза больше","Площадь выросла на $4\\ \\text{дм}^2$, как и сторона: $16 + 4 = 20$","Ошибки нет: сторона выросла вдвое, значит, и площадь"],"explanations":["У квадрата обе стороны по $8$: $8 \\cdot 8 = 64$, а не $8 \\cdot 4$","","Сторона выросла на $4$ дм, а площадь — в $4$ раза: «на» и «в» — разное; $8 \\cdot 8 = 64$, а не $20$","Проверьте плитками: $8$ рядов по $8$ — это $64$, а не $32$"],"answer":[1]}},"hints":["Новый коврик — $8$ рядов по $8$ плиток $1 \\times 1$ дм: $8 \\cdot 8 = 64\\ \\text{дм}^2$.","Каждая старая плитка превратилась в квадрат $2 \\times 2$ из $4$ плиток: площадь выросла в $64 : 16 = 4$ раза."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Плитка-единица всегда квадрат

Единица площади — квадрат со стороной в единицу длины: $1\ \text{см}^2$ — квадрат $1 \times 1$ см, $1\ \text{дм}^2$ — квадрат $1 \times 1$ дм, $1\ \text{м}^2$ — квадрат $1 \times 1$ м. Квадрат $1 \times 1$ дм — это $10$ рядов по $10$ квадратиков $1 \times 1$ см, поэтому $1\ \text{дм}^2 = 100\ \text{см}^2$.

Так же $1\ \text{м}^2 = 100 \cdot 100 = 10\,000\ \text{см}^2$, $1\ \text{м}^2 = 100\ \text{дм}^2$ и $1\ \text{см}^2 = 100\ \text{мм}^2$. Длины переводят умножением на $10$ или $100$, а площади — на $100$ или $10\,000$: обе стороны квадрата растут в одно и то же число раз, как в предыдущем разделе.

Квадрат 1 дм на 1 дм из 100 квадратиков по 1 см: слева сто квадратиков, справа лишь одна полоска из десяти — Квадрат 1 × 1 дм — 10 рядов по 10 квадратиков 1 × 1 см: 1 дм² = 100 см², а не 10 см²

Ошибка

Полка — прямоугольник $2$ м на $35$ см. Пишут: «$S = 2 \cdot 35 = 70\ \text{м}^2$».

Проверка на числах: $2$ м $= 200$ см, $S = 200 \cdot 35 = 7000\ \text{см}^2 = 0{,}7\ \text{м}^2$ — в $100$ раз меньше, чем $70$. Где ломается рассуждение: перемножая $2$ и $35$, мы считаем «плитки» размером $1$ м на $1$ см. Это узкая полоска, а не квадрат, — ни $\text{м}^2$, ни $\text{см}^2$. Поэтому сначала все стороны переводят в одни единицы, потом умножают.

Пример 3

Вернемся к прихожей из введения. Пол — прямоугольник $3{,}5 \times 2{,}5$ м, его покрывают плитками $50 \times 50$ см. Плитки продают упаковками по $6$ штук. Найдите площадь пола, число плиток и число упаковок.

Решение. Площадь: $S = 3{,}5 \cdot 2{,}5 = 8{,}75\ \text{м}^2$ — формула верна и для дробных сторон.

Плитки: переведем стороны в сантиметры — $350$ и $250$ см. По длине $350 : 50 = 7$ плиток, по ширине $250 : 50 = 5$, всего $7 \cdot 5 = 35$ плиток. Это те же маленькие плитки из второго раздела. Проверка через площади: $8{,}75\ \text{м}^2 = 87\,500\ \text{см}^2$, одна плитка — $50 \cdot 50 = 2500\ \text{см}^2$, и $87\,500 : 2500 = 35$.

Упаковки: в $5$ упаковках $30$ плиток — не хватит, поэтому нужно $6$ упаковок.

Ответ: $8{,}75\ \text{м}^2$; $35$ плиток; $6$ упаковок.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте единицу площади и равную ей величину.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$1\\ \\text{дм}^2$","$1\\ \\text{м}^2$","$1\\ \\text{см}^2$"],"items":["$100\\ \\text{см}^2$","$10\\,000\\ \\text{см}^2$","$100\\ \\text{мм}^2$","$10\\ \\text{см}^2$"]}},"instruction":"Сопоставьте единицы","hints":["Квадрат $1 \\times 1$ дм — это $10$ рядов по $10$ квадратиков $1 \\times 1$ см, то есть $100\\ \\text{см}^2$.","Квадрат $1 \\times 1$ м — это $100$ рядов по $100$ квадратиков $1 \\times 1$ см: $10\\,000\\ \\text{см}^2$. Квадрат $1 \\times 1$ см — $10$ рядов по $10$ квадратиков $1 \\times 1$ мм: $100\\ \\text{мм}^2$.","Ответ: $1\\ \\text{дм}^2 = 100\\ \\text{см}^2$, $1\\ \\text{м}^2 = 10\\,000\\ \\text{см}^2$, $1\\ \\text{см}^2 = 100\\ \\text{мм}^2$; $10\\ \\text{см}^2$ лишнее."],"step":1},{"content":"Пол комнаты — прямоугольник $4{,}5\\ \\text{м} \\times 3\\ \\text{м}$. Пол покрывают квадратными плитками со стороной $50$ см. Сколько плиток нужно? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"54"}},"hints":["По длине: $450 : 50 = 9$ плиток, по ширине: $300 : 50 = 6$ плиток.","$9 \\cdot 6 = 54$ плитки."],"step":1},{"content":"Дорожка — прямоугольник $6$ м на $15$ см. Решавр записал: «$S = 6 \\cdot 15 = 90\\ \\text{м}^2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: единицы не мешают, $6 \\cdot 15 = 90\\ \\text{м}^2$","Перевести только ответ: $90\\ \\text{м}^2 = 9000\\ \\text{см}^2$","Ошибка в единицах ответа: надо $90\\ \\text{см}^2$, а не $90\\ \\text{м}^2$","Метры и сантиметры смешаны: $6 \\cdot 0{,}15 = 0{,}9\\ \\text{м}^2$"],"explanations":["Перемножены метры и сантиметры: «плитка» $1$ м на $1$ см — не квадрат; верно $0{,}9\\ \\text{м}^2$","Переводят стороны до умножения; к тому же $90\\ \\text{м}^2 = 900\\,000\\ \\text{см}^2$","Единицы смешаны и здесь: в сантиметрах $600 \\cdot 15 = 9000\\ \\text{см}^2$",""],"answer":[3]}},"hints":["Стороны выражены в разных единицах: $15$ см $= 0{,}15$ м.","$S = 6 \\cdot 0{,}15 = 0{,}9\\ \\text{м}^2$ (или $600 \\cdot 15 = 9000\\ \\text{см}^2$)."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Формула $S = ab$ нужна при любом ремонте: сколько плитки, ламината или краски купить. На ней держатся и следующие формулы — в уроке «Площадь параллелограмма» параллелограмм ножницами превратится в прямоугольник. Чтобы вспомнить главное, представьте пол, выложенный плитками.

Часто задаваемые вопросы

Чем площадь отличается от периметра?

Периметр — длина границы фигуры, его измеряют в сантиметрах или метрах: столько нужно плинтуса или забора. Площадь — сколько квадратных плиток помещается внутри, ее измеряют в $\text{см}^2$ или $\text{м}^2$. У прямоугольников с одним периметром площади бывают разными: $4 \times 4$ и $7 \times 1$.

При каком прямоугольнике с данным периметром площадь наибольшая?

Проверьте в интерактиве из второго раздела — наибольшая площадь у квадрата. Например, при периметре $20$ и целых сторонах получаются прямоугольники $9 \times 1$, $8 \times 2$, $7 \times 3$, $6 \times 4$ и $5 \times 5$ с площадями $9$, $16$, $21$, $24$ и $25$. Чем ближе стороны друг к другу, тем больше площадь.

Зачем доказывать формулу, если ее знают с пятого класса?

В пятом классе формулу получили, пересчитав клетки при целых сторонах, а для дробных сторон приняли без объяснения. Доказательство показывает, почему она верна и для дробных сторон, и на чем она держится — на трех свойствах площади. На формуле $S = ab$ будут построены формулы площади параллелограмма, треугольника и трапеции.

Почему $1\ ext{м}^2$ равен $10\,000\ ext{см}^2$, а не $100$?

В метре $100$ сантиметров, поэтому квадрат $1 \times 1$ м — это $100$ рядов по $100$ квадратиков $1 \times 1$ см. Рядов и квадратиков в ряду по $100$, всего $100 \cdot 100 = 10\,000$.

Как найти сторону квадрата, если площадь не равна квадрату целого числа?

Подбором целого числа такую сторону не найти: например, $5 \cdot 5 = 25$ и $6 \cdot 6 = 36$, а площадь $30$ лежит между ними. Точный способ дает алгебра, а в задачах этого урока площади подобраны так, чтобы сторону можно было найти подбором. Площадь же по диагонали, как в примере 1, находится вовсе без стороны.

Награды за урок