Многоугольники

Что такое многоугольник мы уже немного знакомы: это плоская фигура, у которой есть стороны, вершины и углы. Ранее встречались с треугольниками, четырехугольниками, а значит, — с простейшими многоугольниками уже работали.

Пришло время разобраться в этом мире подробнее: какие бывают многоугольники, как они устроены, и какие свойства можно встретить у правильных и произвольных фигур.

Многоугольник

Когда мы говорим «многоугольник», обычно представляем что-то вроде треугольника, квадрата или шестиугольника. Но, вообще-то, многоугольников может быть сколько угодно — от самых простых до невероятно сложных. Главное — уметь отличить, где просто набор отрезков, а где настоящая геометрическая фигура.

Многоугольником называют геометрическую фигуру, составленную из конечного числа отрезков, которые соединяются последовательно так, чтобы получился замкнутый «ломаный» контур. Эти отрезки называются сторонами, точки, в которых они соединяются, — вершинами.

Фигура при этом должна лежать в одной плоскости, и никакие две стороны не должны пересекаться, кроме как в общих вершинах.

То есть, если соединить отрезками 5 точек так, чтобы получился замкнутый контур без самопересечений, мы получим пятиугольник. Если 6 точек — шестиугольник и так далее. Многоугольник, у которого $n$ сторон, называют $n$-угольником, где $n$ — количество его сторон, углов или вершин.

Например, звезда, расположенная слева на рисунке (зеленым) — многоугольником будет являться, а та, что справа (красным) — нет, так как все ее стороны пересекаются между собой.

Причем, звезда, которая расположена левее, — десятиугольник. Почему? Потому что у нее $10$ соединенных между собой точек, которые, как мы уже знаем, называются вершинами, и $10$ сторон. Хотя, все называют такую звезду пятиугольной за то, что у нее $5$ выпуклых углов.

{"questions":[{"content":"Какое условие должно выполняться, чтобы фигура являлась многоугольником?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/kola.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Число сторон  должно быть больше или равно пяти.","Стороны не должны пересекаться.","Из одной вершины должно выходить три стороны.","Контур должен быть ломаным."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните изображение пятиконечной звезды.","Контур должен быть без самопересечений."]}]}

Выпуклые и вогнутые многоугольники

Итак, звезда, которую мы рассмотрели, хоть и имеет десять сторон и десять вершин, выглядит совсем не как обычный многоугольник. Потому что некоторые ее углы как будто «вдавлены» внутрь. Такие фигуры называются невыпуклыми или вогнутыми.

Такое может быть не только у звезд, но и у других ломаных контуров с «внутренними провалами». Вогнутым многоугольником с наименьшим числом сторон может быть только четырехугольник. Треугольнику быть вогнутым не дано.

Но далеко не все многоугольники такие. В большинстве задач, рисунков и построений мы имеем дело с выпуклыми многоугольниками.

Выпуклый многоугольник — это такой, у которого все углы «смотрят» наружу, и никакая часть фигуры не вогнута внутрь. Если соединить любые две точки внутри такого многоугольника, отрезок полностью остается внутри фигуры и называется диагональю.

Вогнутым (или невыпуклым) многоугольником называют такой многоугольник, у которого хотя бы один отрезок, соединяющий две точки внутри фигуры, проходит вне ее границ.

{"questions":[{"content":"Что можно сказать о любом отрезке, соединяющем две произвольные точки внутри выпуклого многоугольника?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/koster.svg","width":"300"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Он может выходить за пределы фигуры, но только если соединяет несоседние вершины.","Он всегда полностью лежит внутри многоугольника или на его границе.","Он лежит внутри фигуры только при четном числе сторон.","Такой отрезок обязательно проходит через центр многоугольника."],"explanations":["Данное свойство касается вогнутого многоугольника.","","",""],"answer":[1]}},"hints":["Выпуклый многоугольник — это фигура, которая не «прогибается» внутрь.","Любые две точки внутри такой фигуры можно соединить отрезком, который не выходит за ее пределы."]}]}

Сумма углов выпуклого многоугольника

Мы уже знаем, что у треугольника сумма внутренних углов всегда равна $180^\circ$. У четырехугольника — $360^\circ$. У пятиугольника — еще больше. Возникает вопрос: а можно ли заранее узнать, сколько градусов составит сумма углов любого выпуклого $n$-угольника?

Существует формула для подсчета такой суммы, и она не так проста для запоминания, хоть и коротка, но если рассмотреть ее визуально, то все становится значительно проще.

У многоугольника соседними называют такие вершины, которые соединены стороной. Например, в пятиугольнике $ABCDE$ вершины $A$ и $B$ — соседние, а $A$ и $C$ — нет: они соединены диагональю.

Интересный момент: у треугольника любые две вершины — соседние, потому что каждая вершина соединена с двумя другими сторонами. Поэтому диагоналей в треугольнике нет — и разбить его на более простые фигуры не получится.

Вот почему для треугольника сумма углов — это наша базовая точка отсчета: $180^\circ$.

А вот в многоугольнике с четырьмя и более вершинами можно провести диагонали — и тем самым разбить его на треугольники. Именно это мы и будем использовать для вывода формулы.

Итак, возьмем выпуклый $n$-угольник. Выберем одну вершину и назовем ее $A$. Проведем из нее диагонали ко всем вершинам, которые не являются соседними. Каждая такая диагональ будет делить многоугольник на треугольники.

Как видно, соседних вершин, к которым нельзя провести диагонали, около точки $A$ две. Поэтому треугольников, которые будут находиться внутри $n$-угольника, всегда будет получаться на $2$ меньше, чем количество его вершин, то есть — $(n -2)$.

{"questions":[{"content":"Сколько получится треугольников внутри $12$-ти угольника, если провести из одной вершины все диагонали?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/vybor2-01-1.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$12$","$11$","$10$","$9$"],"answer":[2]}},"hints":["У каждой вершины любого многоугольника есть две соседние, через которые не проходят диагонали.","Треугольников внутри многоугольника всегда будет на $(n -2)$ меньше, чем его вершин."]}]}

Формула

В каждом треугольнике сумма его углов равна $180^\circ$, значит, сумма всех внутренних углов $n$-угольника:

$$S_n = (n -2) \cdot 180^\circ.$$

Данная формула работает для любого выпуклого $n$-угольника, где $n \ge 4$.

Задача

Сумма всех внутренних углов выпуклого многоугольника равна $2340^\circ$.

Найдите количество его сторон.

Решение

Скрыть

Внимательный читатель заметит, что если подставить в эту формулу $3$ (количество сторон треугольника), то получится верное равенство: $1 \cdot 180^\circ = 180^\circ$.

Действительно, формула верна и для треугольника, но справедлива она лишь для многоугольников с числом сторон не меньше четырех. Потому что при $n = 3$ (треугольник) — мы не проводим диагоналей и не делим его на треугольники — он уже сам треугольник.

Поэтому правильнее будет так:

Формула $S_n = (n -2) \cdot 180^\circ$ верна для любого выпуклого $n$-угольника, где $n \ge 4$.

{"questions":[{"content":"Чему равна сумма всех внутренних углов выпуклого $21$-угольника?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/shestirenka-2-01.svg","width":"299"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$3380^\\circ$","$3420^\\circ$","$3270^\\circ$","$3960^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните формулу для суммы внутренних углов выпуклого $n$-угольника.","Формула выглядит так:  $S_n = (n — 2) \\cdot 180^\\circ$.","Подставим $n = 21$:<br />$$S_{21} = (21 — 2) \\cdot 180^\\circ = 3420^\\circ.$$<br />Ответ: $S_{21} = 3420^\\circ $.<br />"]}],"mix":1}

Интерактив

Правильные многоугольники

Многоугольники бывают самые разные: с острыми и тупыми углами, с длинными и короткими сторонами. Но среди всего этого разнообразия особое место занимают правильные многоугольники.

Правильным $n$-угольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все внутренние углы равны.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, а также описать ее вокруг него, следовательно, существуют и центры таких окружностей. Расстояния от которых будут одинаковы либо до углов, либо сторон. Центры таких окружностей совпадают с центром симметрии многоугольника.

С формулой суммы внутренних углов $n$-угольника мы уже знакомы, а так как у правильного многоугольника все углы равны, то справедлива формула для нахождения одного его угла:

$$\alpha = \dfrac{(n -2) \cdot 180^\circ}{n}.$$

Задача

Найдите величину одного внутреннего угла правильного восьмиугольника.

Решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"У какой из фигур обязательно можно найти центральную точку, из которой до всех вершин одинаковое расстояние?[[choice-1]][[image-8]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["У описанного вогнутого многоугольника.","У правильного вписанного многоугольника.","У правильного описанного многоугольника.","У выпуклого вписанного многоугольника."],"explanations":["Около вогнутого многоугольника нельзя описать окружность.","В этом случае, одинаковым будет расстояние от центральной точки до сторон многоугольника.","",""],"answer":[3]},"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/molodoi-pomogaet-s-kompyuterom.svg","width":"300"}},"hints":["В правильном многоугольнике все вершины лежат на одной окружности.","Центр окружности — это и есть точка, равноудаленная от всех вершин."]}],"mix":1}

Интересные факты

Многоугольники интересовали людей с древности. Уже в Древнем Египте землемеры использовали треугольники и четырехугольники, чтобы восстанавливать границы полей после разливов Нила. А в Древней Греции многоугольники стали частью не только математики, но и философии.

Пифагорейцы особенно любили правильный пятиугольник - пентагон. Его форма содержала золотое сечение, которое они считали символом гармонии и красоты. Именно пентагон стал тайным знаком их школы.

Эвклид, автор знаменитых Начал, первым подробно описал свойства многоугольников, дал определения и доказал, что сумма углов треугольника всегда равна $180^\circ$. Именно это стало основой для вывода формулы суммы углов для $n$-угольников.

Позже Архимед использовал многоугольники, чтобы приближённо вычислить число $\pi$.

Он вписывал и описывал правильные многоугольники вокруг круга, увеличивая число сторон, пока не получил очень точные значения.
Для 96-угольника он показал, что $\pi$ лежит между $3 \dfrac{10}{71}$ и $3 \dfrac{1}{7}$.

А в 1796 году Карл Фридрих Гаусс, которому тогда было всего 19 лет, доказал, что правильный 17-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Это стало математической сенсацией.

Гаусс так гордился этим результатом, что хотел, чтобы на его могиле вырезали изображение правильного 17-угольника (но от этой идеи позже отказались - было слишком сложно высечь такое изображение на камне).

Сегодня многоугольники можно встретить не только в учебниках, но и в самых неожиданных местах. Например, архитекторы используют выпуклые и невыпуклые формы, чтобы создавать здания с необычной геометрией.

Оглядитесь вокруг: многоугольники прячутся в современных логотипах, флагах и мозаиках, от арабских орнаментов до дизайна упаковки. Геометрия по-прежнему окружает нас - только теперь ее углы стали не просто строгими, а еще и красивыми.

Часто задаваемые вопросы