Четырехугольник. Сумма углов, выпуклые и невыпуклые четырехугольники, виды

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Три угла выпуклого четырехугольника равны $65^\\circ$, $120^\\circ$ и $85^\\circ$. Найдите четвертый угол в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"90"}},"hints":["Сумма углов $360^\\circ$.","$65 + 120 + 85 = 270$, четвертый угол $360-270 = 90$."],"step":1},{"id":"1","content":"Три угла выпуклого четырехугольника равны $120^\\circ$, $60^\\circ$ и $100^\\circ$. Найдите четвертый угол в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"80"}},"hints":["Сумма углов $360^\\circ$.","$120 + 60 + 100 = 280$, $\\angle D = 360-280 = 80$."],"step":1},{"id":"2","content":"В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ углы $A$ и $B$ равны по $65^\\circ$, а углы $C$ и $D$ равны между собой. Тогда $\\angle C =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$230^\\circ$","$115^\\circ$","$50^\\circ$"],"answer":1}},"hints":["Сумма углов четырехугольника $360^\\circ$: на углы $C$ и $D$ приходится $360-65-65 = 230$.","Углы равны: $\\angle C = 230 : 2 = 115^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ углы $A$ и $B$ равны по $55^\\circ$, а углы $C$ и $D$ равны между собой. Тогда $\\angle D =$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$125^\\circ$","$70^\\circ$","$250^\\circ$"],"answer":0}},"hints":["Сумма углов четырехугольника $360^\\circ$: на углы $C$ и $D$ приходится $360-55-55 = 250$.","Углы равны: $\\angle D = 250 : 2 = 125^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"В невыпуклом четырехугольнике один угол в $5$ раз больше каждого из трех остальных, а те равны между собой. Найдите больший угол в градусах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"225"}},"hints":["Пусть каждый из трех равных углов равен $x$, тогда больший угол $5x$. Сумма углов равна $360^\\circ$.","$3x + 5x = 360$, $x = 45$, больший угол $5 \\cdot 45 = 225$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"В невыпуклом четырехугольнике один угол в $7$ раз больше каждого из трех остальных, а те равны между собой. Найдите больший угол в градусах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"252"}},"hints":["Пусть каждый из трех равных углов равен $x$, тогда больший угол $7x$. Сумма углов равна $360^\\circ$.","$3x + 7x = 360$, $x = 36$, больший угол $7 \\cdot 36 = 252$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Стороны четырехугольника относятся как $1 : 2 : 3 : 4$, наименьшая сторона равна $5$. Найдите периметр. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Стороны: $5$, $10$, $15$, $20$.","$P = 5 + 10 + 15 + 20 = 50$."],"step":1},{"id":"4","content":"Стороны четырехугольника относятся как $2 : 3 : 3 : 4$, наименьшая сторона равна $6$. Найдите периметр. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Одна часть равна $6 : 2 = 3$, стороны $6$, $9$, $9$, $12$.","$P = 6 + 9 + 9 + 12 = 36$."],"step":1},{"id":"5","content":"Диагональ $BD$ делит четырехугольник $ABCD$ на треугольники $ABD$ и $CBD$ с периметрами $20$ и $24$. $BD = 6$. Найдите периметр $ABCD$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"32"}},"hints":["Сумма периметров треугольников $20 + 24 = 44$ содержит диагональ $BD$ дважды.","$P = 44-2 \\cdot 6 = 32$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Диагональ $BD$ делит четырехугольник $ABCD$ на треугольники $ABD$ и $CBD$ с периметрами $18$ и $26$. $BD = 5$. Найдите периметр $ABCD$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"34"}},"hints":["Сумма периметров $18 + 26 = 44$ содержит диагональ $BD$ дважды.","$P = 44-2 \\cdot 5 = 34$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Углы четырехугольника равны $190^\\circ$, $50^\\circ$, $60^\\circ$ и $60^\\circ$. Выпуклый ли он?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нет: один угол больше $180^\\circ$","Да: сумма углов равна $360^\\circ$","Да: три угла острые","Нет: четырехугольника с такими углами не существует"],"explanations":["","Сумма $360^\\circ$ у любого четырехугольника, и о выпуклости не говорит","Число острых углов тоже ничего не говорит о выпуклости: смотрим на наибольший угол","Существует: сумма $190 + 50 + 60 + 60 = 360$"],"answer":[0]}},"hints":["У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\\circ$.","Угол $190^\\circ$ больше $180^\\circ$, значит, четырехугольник невыпуклый."],"step":1},{"id":"6","content":"Углы четырехугольника равны $80^\\circ$, $100^\\circ$, $70^\\circ$ и $110^\\circ$. Выпуклый ли он?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Нельзя определить без сторон","Нет: углы разные","Да: все углы меньше $180^\\circ$","Нет: среди углов есть тупые"],"explanations":["Выпуклость видна по углам: все они меньше $180^\\circ$","Равенство углов для выпуклости не нужно","","Тупой угол меньше $180^\\circ$ и выпуклости не мешает: невыпуклость дает угол больше $180^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["У выпуклого многоугольника все углы меньше $180^\\circ$.","Все углы меньше $180^\\circ$ и в сумме дают $360^\\circ$: четырехугольник выпуклый."],"step":1},{"id":"7","content":"Распределите утверждения: какие верны для любого четырехугольника, в том числе невыпуклого, а какие — только для выпуклого.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно для любого четырехугольника","Верно только для выпуклого"],"items":[["Сумма углов равна $360^\\circ$","У него ровно две диагонали"],["Все углы меньше $180^\\circ$","Обе диагонали лежат внутри него"]]}},"instruction":"Распределите утверждения","hints":["Невыпуклый четырехугольник тоже делится внутренней диагональю на два треугольника, поэтому сумма его углов $360^\\circ$; диагоналей у него, как у любого, две.","Но у невыпуклого один угол больше $180^\\circ$, а одна из диагоналей лежит снаружи."],"step":1},{"id":"7","content":"Распределите утверждения: какие верны для любого четырехугольника, в том числе невыпуклого, а какие — только для выпуклого.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно для любого четырехугольника","Верно только для выпуклого"],"items":[["Одна из диагоналей делит его на два треугольника","Сумма его углов такая же, как у квадрата"],["Каждая диагональ делит его на два треугольника","Он лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону"]]}},"instruction":"Распределите утверждения","hints":["У любого четырехугольника хотя бы одна диагональ лежит внутри и делит его на два треугольника: отсюда сумма углов $360^\\circ$.","У невыпуклого вторая диагональ лежит снаружи, а сам он не лежит по одну сторону от прямой, содержащей сторону при «вдавленной» вершине."],"step":1},{"id":"8","content":"Какое из утверждений неверно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Каждый прямоугольник — параллелограмм","Каждый квадрат — ромб","Каждый ромб — параллелограмм","Каждый параллелограмм — прямоугольник"],"explanations":["Это верное утверждение: у прямоугольника противоположные стороны параллельны","Это верное утверждение: у квадрата все стороны равны","Это верное утверждение: у ромба противоположные стороны параллельны",""],"answer":[3]}},"hints":["Неверно, что любой параллелограмм — прямоугольник: у параллелограмма углы могут быть не прямые.","Остальные верны: вложенность «квадрат → ромб → параллелограмм»."],"step":1},{"id":"8","content":"Какое из утверждений неверно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Каждый квадрат — прямоугольник","Каждая трапеция — параллелограмм","Каждый ромб — четырехугольник","Некоторые прямоугольники — квадраты"],"explanations":["Это верное утверждение: у квадрата все углы прямые","","Это верное утверждение","Это верное утверждение: прямоугольник с равными сторонами — квадрат"],"answer":[1]}},"hints":["Неверно, что любая трапеция — параллелограмм: у трапеции две стороны не параллельны.","Остальные верны."],"step":1},{"id":"9","content":"Решавр рассуждает: «У четырехугольника $ABCD$ все стороны по $4$. Значит, все его углы прямые, это квадрат». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибка в том, что ромба с прямым углом не бывает","Ошибки нет: четыре равные стороны — это квадрат","Каркас из равных палочек складывается, но углы не меняются","Равные стороны — это ромб, его углы бывают разными"],"explanations":["Бывает: ромб с прямым углом — это квадрат, но равные стороны прямой угол не гарантируют","Четыре равные стороны у любого ромба, а у квадрата еще и прямые углы","Когда каркас складывается, углы как раз меняются, а стороны остаются равными",""],"answer":[3]}},"hints":["Четыре равные палочки на шарнирах складываются: углы меняются, а стороны остаются равными.","Получается ромб, у которого углы не обязательно прямые."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр рассуждает: «У четырехугольника $ABCD$ стороны $AB = CD = 6$ и $BC = AD = 9$. Значит, все его углы прямые, это прямоугольник». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибка в том, что четырехугольника с такими сторонами нет","Ошибка в том, что каркас с такими сторонами всегда невыпуклый","Стороны не задают углы: при тех же палочках углы бывают разными","Ошибки нет: две пары равных сторон — прямоугольник"],"explanations":["Такой четырехугольник существует: прямоугольник $6 \\times 9$ или скошенная рамка с острым углом","Каркас складывается и в выпуклый четырехугольник, например в прямоугольник $6 \\times 9$","","Две пары равных сторон не дают прямого угла: каркас складывается"],"answer":[2]}},"hints":["Каркас из палочек $6$, $9$, $6$, $9$ складывается: углы при тех же сторонах бывают любыми.","Прямые углы дает только особое положение."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В невыпуклом четырехугольнике $ABCD$ вершина $D$ вдавлена, углы $A$, $B$, $C$ равны $10^\\circ$, $40^\\circ$ и $50^\\circ$. Решавр считает: «По сумме $\\angle D = 360-100 = 260^\\circ$. Но транспортир у вершины $D$ показывает $100^\\circ$. Значит, сумма $360^\\circ$ здесь не работает и $\\angle D = 100^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Ошибка в вычитании: должно получиться $100^\\circ$","Ошибки нет: сумма $360^\\circ$ верна только для выпуклых","Ошибка в сумме: у четырехугольника она $180^\\circ$","Транспортир показал угол снаружи; внутри фигуры угол $D$ равен $260^\\circ$"],"explanations":["$10 + 40 + 50 = 100$ и $360-100 = 260$: вычитание верное","Сумма углов любого четырехугольника, в том числе невыпуклого, равна $360^\\circ$","Сумма углов четырехугольника $360^\\circ$, а $180^\\circ$ — у треугольника",""],"answer":[3]}},"hints":["Угол четырехугольника — тот, внутри которого лежит фигура; у вдавленной вершины он больше $180^\\circ$.","Транспортир показывает угол снаружи: $100 + 260 = 360$, а сумма углов четырехугольника равна $360^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В невыпуклом четырехугольнике $ABCD$ вершина $D$ вдавлена, углы $A$, $B$, $C$ равны $15^\\circ$, $25^\\circ$ и $30^\\circ$. Решавр считает: «По сумме $\\angle D = 360-70 = 290^\\circ$. Но транспортир у вершины $D$ показывает $70^\\circ$. Значит, сумма $360^\\circ$ здесь не работает и $\\angle D = 70^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибка в сумме: у четырехугольника она $180^\\circ$","Ошибки нет: сумма $360^\\circ$ верна только для выпуклых","Транспортир показал угол снаружи; внутри фигуры угол $D$ равен $290^\\circ$","Ошибка в вычитании: должно получиться $70^\\circ$"],"explanations":["Сумма углов четырехугольника $360^\\circ$, а $180^\\circ$ — у треугольника","Сумма углов любого четырехугольника, в том числе невыпуклого, равна $360^\\circ$","","$15 + 25 + 30 = 70$ и $360-70 = 290$: вычитание верное"],"answer":[2]}},"hints":["Угол четырехугольника — тот, внутри которого лежит фигура; у вдавленной вершины он больше $180^\\circ$.","Транспортир показывает угол снаружи: $70 + 290 = 360$, а сумма углов четырехугольника равна $360^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>