Многоугольники. Сумма углов, внешние углы, диагонали

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите сумму углов выпуклого восьмиугольника в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1080"}},"hints":["Диагонали из одной вершины делят восьмиугольник на $8-2 = 6$ треугольников.","$6 \\cdot 180^\\circ = 1080^\\circ$."],"step":1},{"id":"1","content":"Найдите сумму углов выпуклого десятиугольника в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"1440"}},"hints":["$(10-2) \\cdot 180^\\circ = 1440^\\circ$."]},{"id":"2","content":"Сколько всего диагоналей у выпуклого девятиугольника? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"27"}},"hints":["Из вершины выходит $9-3 = 6$ диагоналей.","Всего $9 \\cdot 6 : 2 = 27$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сколько всего диагоналей у выпуклого десятиугольника? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["Из вершины выходит $10-3 = 7$ диагоналей.","Всего $10 \\cdot 7 : 2 = 35$."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите утверждения о любом выпуклом $n$-угольнике.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Сумма внешних углов, взятых по одному при вершине, равна $360^\\circ$","Каждый внутренний угол меньше $180^\\circ$","Из каждой вершины выходит $n-3$ диагонали"],["Сумма внутренних углов равна $360^\\circ$","Все углы равны","Каждый внешний угол равен $360^\\circ : n$"]]}},"instruction":"Распределите утверждения","hints":["Верно для любого выпуклого многоугольника: внешние углы (по одному при вершине) дают $360^\\circ$, каждый внутренний угол меньше $180^\\circ$, из вершины выходит $n-3$ диагонали.","Равенство углов и внешний угол $360^\\circ : n$ — только у правильного многоугольника; сумма внутренних углов $360^\\circ$ — только у четырехугольника."],"step":1},{"id":"3","content":"Распределите утверждения о любом выпуклом $n$-угольнике.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Диагонали из одной вершины делят его на $n-2$ треугольника","Сумма внутренних углов равна $(n-2) \\cdot 180^\\circ$","Внешний и внутренний углы при вершине в сумме дают $180^\\circ$"],["Из каждой вершины выходит $n-1$ диагональ","Сумма внешних углов растет с числом сторон","Все стороны равны"]]}},"instruction":"Распределите утверждения","hints":["Верно для любого выпуклого многоугольника: диагонали из одной вершины делят его на $n-2$ треугольника, отсюда сумма углов $(n-2) \\cdot 180^\\circ$; внешний и внутренний углы при вершине смежные.","Из вершины нельзя провести диагональ к самой вершине и к двум соседним — диагоналей $n-3$, а не $n-1$; сумма внешних углов всегда $360^\\circ$; равные стороны — только у правильного."],"step":1},{"id":"4","content":"У выпуклого многоугольника $20$ диагоналей. Сколько у него сторон? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Число диагоналей равно $n(n-3) : 2$, значит, $n(n-3) = 40$.","Подходит $n = 8$: $8 \\cdot 5 = 40$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"У выпуклого многоугольника $65$ диагоналей. Сколько у него сторон? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["$n(n-3) : 2 = 65$, значит, $n(n-3) = 130$.","Подходит $n = 13$: $13 \\cdot 10 = 130$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Найдите внутренний угол правильного шестиугольника в градусах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["Сумма углов: $(6-2) \\cdot 180^\\circ = 720^\\circ$.","$720^\\circ : 6 = 120^\\circ$."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите внутренний угол правильного двенадцатиугольника в градусах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"150"}},"hints":["Сумма углов: $(12-2) \\cdot 180^\\circ = 1800^\\circ$.","$1800^\\circ : 12 = 150^\\circ$."],"step":1},{"id":"6","content":"Внутренний угол правильного многоугольника равен $144^\\circ$. Сколько у него сторон? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Внешний угол: $180^\\circ-144^\\circ = 36^\\circ$.","Внешних углов $360^\\circ : 36^\\circ = 10$ — столько же, сколько сторон."],"step":1},{"id":"6","content":"Внутренний угол правильного многоугольника равен $156^\\circ$. Сколько у него сторон? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Внешний угол: $180^\\circ-156^\\circ = 24^\\circ$.","$n = 360 : 24 = 15$."],"step":1},{"id":"7","content":"Внешние углы выпуклого пятиугольника, взятые по одному при каждой вершине, равны $60^\\circ$, $70^\\circ$, $80^\\circ$, $90^\\circ$ и [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$72^\\circ$","$60^\\circ$","$120^\\circ$"],"answer":1}},"hints":["Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при вершине) равна $360^\\circ$ при любом числе сторон.","$60 + 70 + 80 + 90 = 300$, значит, пятый угол $360^\\circ-300^\\circ = 60^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"Внешние углы выпуклого шестиугольника, взятые по одному при каждой вершине, равны $45^\\circ$, $50^\\circ$, $60^\\circ$, $65^\\circ$, $85^\\circ$ и [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$55^\\circ$","$60^\\circ$","$125^\\circ$"],"answer":0}},"hints":["Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при вершине) равна $360^\\circ$ при любом числе сторон.","$45 + 50 + 60 + 65 + 85 = 305$, значит, шестой угол $360^\\circ-305^\\circ = 55^\\circ$."],"step":1},{"id":"8","content":"Ученик считает: «Разрежем выпуклый семиугольник на треугольники — по одному на каждую сторону. Сумма углов равна $7 \\cdot 180^\\circ = 1260^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо умножить на $180^\\circ$ число диагоналей: $14 \\cdot 180^\\circ$","Углы при общей точке ($360^\\circ$) не входят в углы семиугольника: $1260^\\circ-360^\\circ = 900^\\circ$","Ошибки нет: сумма углов равна $n \\cdot 180^\\circ$","Надо вычесть $180^\\circ$: $1260^\\circ-180^\\circ = 1080^\\circ$"],"explanations":["Число диагоналей не нужно: углы считаем по числу треугольников $n-2$","","Для четырехугольника эта формула дала бы $720^\\circ$, а на самом деле $360^\\circ$","Вокруг точки полный угол $360^\\circ$, а не развернутый: правильная сумма — $900^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Где сходятся вершины всех семи треугольников? Углы вокруг этой точки дают $360^\\circ$.","Они не входят в углы семиугольника: $1260^\\circ-360^\\circ = 900^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Ученик считает: «Разрежем выпуклый девятиугольник на треугольники — по одному на каждую сторону. Сумма углов равна $9 \\cdot 180^\\circ = 1620^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Надо вычесть $180^\\circ$: $1620^\\circ-180^\\circ = 1440^\\circ$","Надо умножить на $180^\\circ$ число диагоналей","Углы при общей точке ($360^\\circ$) не входят в углы девятиугольника: $1620^\\circ-360^\\circ = 1260^\\circ$","Ошибки нет: сумма углов равна $n \\cdot 180^\\circ$"],"explanations":["Вокруг точки полный угол $360^\\circ$, а не развернутый: правильная сумма — $1260^\\circ$","Число диагоналей не нужно: углы считаем по числу треугольников $n-2$","","Для четырехугольника эта формула дала бы $720^\\circ$, а на самом деле $360^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Где сходятся вершины всех девяти треугольников? Углы вокруг этой точки дают $360^\\circ$.","Они не входят в углы девятиугольника: $1620^\\circ-360^\\circ = 1260^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Ученик считает: «У выпуклого шестиугольника из каждой вершины выходит $3$ диагонали, вершин $6$, значит, диагоналей $6 \\cdot 3 = 18$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Каждая диагональ посчитана дважды: ответ $9$","Надо вычесть число сторон: $18-6 = 12$","Из вершины выходит $5$ диагоналей, а не $3$","Ошибки нет: диагоналей $18$"],"explanations":["","Стороны уже исключены, когда из $6$ вершин убрали вершину и двух соседей","Пять — число отрезков из вершины ко всем остальным; диагоналей — $6-3 = 3$ (без самой вершины и двух соседних)","Диагональ связывает две вершины и считается один раз: $18$ — это удвоенное число"],"answer":[0]}},"hints":["Диагональ $AC$ посчитана и из вершины $A$, и из вершины $C$.","Каждая диагональ посчитана дважды: $6 \\cdot 3 : 2 = 9$."],"step":1},{"id":"9","content":"Ученик считает: «У выпуклого пятиугольника из каждой вершины выходит $2$ диагонали, вершин $5$, значит, диагоналей $5 \\cdot 2 = 10$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Надо разделить на число вершин: $10 : 5 = 2$","Из вершины выходит $4$ диагонали, а не $2$","Ошибки нет: диагоналей $10$","Каждая диагональ посчитана дважды: ответ $5$"],"explanations":["Делить нужно на $2$, потому что у каждой диагонали два конца, а не на число вершин","Четыре — отрезки ко всем остальным вершинам, включая соседние стороны; диагоналей — $5-3 = 2$","Диагональ связывает две вершины и считается один раз: $10$ — удвоенное число",""],"answer":[3]}},"hints":["Диагональ $AC$ посчитана и из вершины $A$, и из вершины $C$.","Каждая диагональ посчитана дважды: $5 \\cdot 2 : 2 = 5$."],"step":1},{"id":"10","content":"Существует ли правильный многоугольник, внутренний угол которого равен $100^\\circ$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Нет: внешний угол $80^\\circ$, а $360 : 80 = 4{,}5$ — не целое","Да: $360 : 100 = 3{,}6 \\approx 4$, это правильный четырехугольник","Нет: $100$ не делится на $180$ нацело","Да: $360 : 80 = 4{,}5 \\approx 5$, это правильный пятиугольник"],"explanations":["","Округлять нельзя: число сторон должно быть целым, а у квадрата угол $90^\\circ$, а не $100^\\circ$","Вывод «нет» верный, но причина неверная: делить надо $360$ на внешний угол, а не угол на $180^\\circ$","Округлять нельзя: у правильного пятиугольника угол $108^\\circ$, а не $100^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Внешний угол: $180^\\circ-100^\\circ = 80^\\circ$.","Число сторон $360 : 80 = 4{,}5$ — не целое, значит, такого многоугольника нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Существует ли правильный многоугольник, внутренний угол которого равен $130^\\circ$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Нет: внешний угол $50^\\circ$, а $360 : 50 = 7{,}2$ — не целое","Да: $(7-2) \\cdot 180 : 7 \\approx 128{,}6$, это правильный семиугольник","Да: $(8-2) \\cdot 180 : 8 = 135$, это правильный восьмиугольник","Нет: $130$ не делится на $180$ нацело"],"explanations":["","У правильного семиугольника угол около $128{,}6^\\circ$, а не $130^\\circ$","У правильного восьмиугольника угол $135^\\circ$, а не $130^\\circ$","Вывод «нет» верный, но причина неверная: делить надо $360$ на внешний угол, а не угол на $180^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Внешний угол: $180^\\circ-130^\\circ = 50^\\circ$.","Число сторон $360 : 50 = 7{,}2$ — не целое, значит, такого многоугольника нет."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>