8 класс Геометрия Четырехугольники Многоугольники

Многоугольники. Сумма углов, внешние углы, диагонали

Содержание

В уроке «Ломаная. Многоугольник. Периметр» вы узнали, что такое многоугольник, его стороны, вершины и диагонали. Теперь выясним, какие многоугольники называют выпуклыми, сколько у многоугольника диагоналей, чему равна сумма его углов и сумма внешних углов. Виды многоугольников кратко описаны и в уроке «Многоугольники».

Вопрос для начала. Робот-пылесос убирает вдоль стен: едет по прямой, в углу поворачивается и едет дальше. На сколько градусов он повернется в сумме, когда объедет всю комнату и вернется в исходную точку? Зависит ли ответ от числа стен? Ответим в последнем разделе.

Многоугольник можно собрать из палочек на шарнирах

Соберем каркас: стороны — палочки, вершины — шарниры. Треугольник из трех палочек жесткий: его форму не изменить. А пятиугольник $ABCDE$ складывается: шарнир $D$ можно вдавить внутрь, и длины палочек при этом не изменятся (рисунок ниже). Фигуры получились разные.

Проведем прямую через любую сторону левого пятиугольника: весь он лежит по одну сторону от нее. У правого это не так: прямая $CD$ разрезает его на части. А угол при вершине $D$ стал больше $180^\circ$.

Три каркаса из палочек на шарнирах: треугольник жесткий; пятиугольник из пяти палочек складывается — выпуклый, а вдавленный шарнир D делает его невыпуклым (угол D больше 180°, прямая через сторону CD режет фигуру) — Те же палочки: шарнир D вдавили — прямая CD прошла через многоугольник, угол D больше 180°

Определение

Выпуклый многоугольник — многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через его сторону.

Угол многоугольника при вершине $B$ — угол $ABC$ между сторонами $BA$ и $BC$, который содержит внутреннюю часть многоугольника. У выпуклого многоугольника каждый угол меньше $180^\circ$. Дальше в уроке все многоугольники выпуклые, если не сказано иное.

{"questions":[{"content":"В шестиугольнике $ABCDEF$ вершины названы по порядку обхода. Распределите отрезки по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Стороны","Диагонали"],"items":[["$AB$","$DE$","$FA$"],["$AC$","$BF$","$CF$"]]}},"instruction":"Распределите отрезки","hints":["Сторона соединяет соседние вершины — соседние буквы в записи $ABCDEF$. Последняя и первая вершины $F$ и $A$ тоже соседние: обход замыкается.","Диагональ соединяет несоседние вершины: у вершины $A$ соседи $B$ и $F$, у $B$ — $A$ и $C$, у $C$ — $B$ и $D$.","Ответ: стороны — $AB$, $DE$, $FA$; диагонали — $AC$, $BF$, $CF$."],"step":1},{"content":"У многоугольника один из внутренних углов равен $200^\\circ$. Какой вывод верен?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Многоугольник невыпуклый: у выпуклого каждый угол меньше $180^\\circ$","Многоугольник выпуклый: сумма его углов от этого не меняется","Многоугольник выпуклый, если остальные углы острые","Такого многоугольника нет: угол не бывает больше $180^\\circ$"],"explanations":["","Сумма углов не говорит о выпуклости: угол больше $180^\\circ$ означает, что вершина «вдавлена» внутрь","Выпуклость определяется каждым углом: один угол больше $180^\\circ$ уже делает многоугольник невыпуклым","Существует: у невыпуклого многоугольника бывают углы больше $180^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["У выпуклого многоугольника каждый внутренний угол меньше $180^\\circ$.","Угол $200^\\circ$ больше $180^\\circ$, значит, многоугольник невыпуклый."],"step":1}],"mix":1}

Из каждой вершины выходит на три диагонали меньше, чем вершин

Диагонали — это распорки каркаса между несоседними шарнирами. Из вершины $A$ семиугольника $ABCDEFG$ распорку нельзя провести к самой $A$ и к соседям $B$ и $G$: туда уже идут стороны. Остаются $AC$, $AD$, $AE$, $AF$ — четыре диагонали, $7-3=4$.

Всего вершин семь, $7 \cdot 4 = 28$. Но диагональ $AC$ попала в счет дважды: из вершины $A$ и из вершины $C$. У каждой распорки два конца, поэтому диагоналей $28 : 2 = 14$.

Семиугольник ABCDEFG: из вершины A выходят 4 диагонали, всего диагоналей 14, потому что каждая посчитана с двух концов — Из A выходят 4 диагонали; диагональ AC посчитана и из A, и из C: всего 7 · 4 : 2 = 14

Правило

Из каждой вершины $n$-угольника выходит $n-3$ диагонали, а всего у него

Число диагоналей многоугольников: у треугольника 0, у четырехугольника 2, у пятиугольника 5, у шестиугольника 9, у семиугольника 14; из одной вершины 0, 1, 2, 3, 4 — Треугольнику распорки не нужны: 0 диагоналей; дальше 2, 5, 9, 14

Ошибка

Ученик считает диагонали двенадцатиугольника: «Из вершины выходит $12-3=9$ диагоналей, вершин 12, значит, диагоналей $12 \cdot 9 = 108$».

Проверим тот же способ на четырехугольнике $ABCD$: $4 \cdot 1 = 4$. А диагоналей у него две: $AC$ и $BD$.

Где сломалось рассуждение: каждую диагональ посчитали с обоих концов. Верно: $108 : 2 = 54$.

Пример 1

У выпуклого многоугольника 44 диагонали. Сколько у него сторон?

Решение. $\frac{n(n-3)}{2} = 44$, значит, $n(n-3) = 88$. Ищем два числа, которые отличаются на 3, с произведением 88: $10 \cdot 7 = 70$ мало, $11 \cdot 8 = 88$ подходит.

Ответ: 11 сторон.

{"questions":[{"content":"Вообразавр считает диагонали $n$-угольника так: «Из каждой из $n$ вершин выходит $n-3$ диагонали, значит, всего их $n(n-3)$». Проверьте формулу на четырехугольнике $ABCD$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: у четырехугольника $ABCD$ четыре диагонали","Каждую диагональ посчитали дважды — из обоих концов: у $ABCD$ вышло $4$ вместо $2$","Из каждой вершины выходит не $n-3$, а $n-1$ диагональ","Из произведения надо вычесть число сторон: $n(n-3)-n$"],"explanations":["У $ABCD$ только $AC$ и $BD$; $AC$ и $CA$ — одна и та же диагональ, посчитанная с двух концов","","Отрезки из вершины к двум соседним — стороны, а не диагонали; диагоналей из вершины $n-3$","Для $ABCD$ получится $4-4=0$, а диагоналей две; стороны в произведении и так не посчитаны"],"answer":[1]}},"hints":["У четырехугольника $ABCD$ две диагонали: $AC$ и $BD$. А формула дает $4 \\cdot 1 = 4$.","Диагональ $AC$ посчитана дважды: из вершины $A$ и из вершины $C$. Произведение надо разделить на 2: $n(n-3) : 2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сколько всего диагоналей у выпуклого пятнадцатиугольника? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"90"}},"hints":["Из каждой вершины выходит $15-3 = 12$ диагоналей.","Каждая диагональ посчитана дважды — из обоих концов: $15 \\cdot 12 : 2 = 90$."],"step":1}],"mix":1}

Распорки из одной вершины делят многоугольник на треугольники

Поставим в пятиугольнике $ABCDE$ распорки $AC$ и $AD$. Каркас стал жестким: он состоит из трех треугольников $ABC$, $ACD$, $ADE$. Углы этих треугольников вместе составляют углы пятиугольника: угол $A$ разрезан на три части, остальные углы — целые. Значит, сумма углов пятиугольника равна $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$ (урок о сумме углов треугольника).

У шестиугольника из одной вершины выходят 3 диагонали и получаются 4 треугольника: $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$. Каждая новая сторона добавляет один треугольник.

Диагонали из одной вершины делят пятиугольник на 3 треугольника, шестиугольник на 4, семиугольник на 5: треугольников на 2 меньше, чем сторон, поэтому сумма углов 3·180°=540°, 4·180°=720°, 5·180°=900°; каждая новая сторона добавляет один треугольник и 180° — Пятиугольник — 3 треугольника, шестиугольник — 4, семиугольник — 5: сумма углов 540°, 720°, 900°. Одна сторона добавляет один треугольник и 180°

Теорема

Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна

Доказательство

Шаг 1. Из вершины $A$ проведем все $n-3$ диагонали. Они делят многоугольник на треугольники. У каждого треугольника ровно одна сторона многоугольника, которая не выходит из $A$. Таких сторон $n-2$, значит, и треугольников $n-2$.

Шаг 2. Углы треугольников вместе составляют углы многоугольника.

Шаг 3. Сумма углов каждого треугольника $180^\circ$, поэтому сумма углов многоугольника $(n-2) \cdot 180^\circ$. Что и требовалось доказать.

Снимем распорки и сложим каркас иначе: углы изменятся. Поставим распорки снова — треугольников по-прежнему $n-2$, значит, сумма углов та же. Она зависит только от числа сторон.

mnogougolnik-diagonali

Ошибка

«Возьмем точку $O$ внутри пятиугольника и соединим ее с вершинами. Получится 5 треугольников, значит, сумма углов $5 \cdot 180^\circ = 900^\circ$».

Проверим тот же способ на прямоугольнике: $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$, а у прямоугольника четыре прямых угла, $360^\circ$.

Где сломалось рассуждение: в $900^\circ$ вошли и углы треугольников при точке $O$. Они не углы пятиугольника и вместе составляют полный угол $360^\circ$. Верно: $900^\circ-360^\circ = 540^\circ$, как и через диагонали.

Точка O внутри пятиугольника: пять треугольников дают 5·180°, но 360° вокруг точки O — лишние; после вычитания остаются те же 540° — Пять треугольников от точки O: лишние 360° вокруг O, поэтому 900° − 360° = 540°

Пример 2

Сумма углов выпуклого многоугольника равна $2340^\circ$. Сколько у него сторон? Бывает ли выпуклый многоугольник с суммой углов $2000^\circ$?

Решение. В сумме углов помещается $n-2$ раз по $180^\circ$: $2340 : 180 = 13$, значит, $n-2 = 13$ и $n = 15$. Число $2000$ на $180$ нацело не делится ($2000 : 180 \approx 11{,}1$), а число треугольников целое.

Ответ: 15 сторон; с суммой $2000^\circ$ — не бывает.

{"questions":[{"content":"Ученик рассуждает: «Сумма углов выпуклого шестиугольника равна $6 \\cdot 180^\\circ = 1080^\\circ$, потому что внутри можно взять точку и провести отрезки в вершины: получится $6$ треугольников». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: сумма углов $n$-угольника равна $n \\cdot 180^\\circ$","Надо вычесть $180^\\circ$ один раз","Углы вокруг точки ($360^\\circ$) не входят в углы шестиугольника — их надо вычесть","Треугольников должно быть $5$, а не $6$"],"explanations":["Для четырехугольника такая формула дает $720^\\circ$, а сумма углов, как у прямоугольника, равна $360^\\circ$","Получится $1080-180 = 900$, а сумма углов шестиугольника $720^\\circ$: вычитать нужно полный угол вокруг точки — $360^\\circ$","","От внутренней точки получается ровно $6$ треугольников — по одному на сторону; ошибка в том, что вокруг точки лишние $360^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Шесть треугольников от внутренней точки включают еще и полный угол вокруг точки.","Из $1080^\\circ$ надо вычесть $360^\\circ$: $1080-360 = 720$, что совпадает с $(6-2) \\cdot 180^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите сумму углов выпуклого одиннадцатиугольника в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1620"}},"hints":["Диагонали из одной вершины делят одиннадцатиугольник на $11-2 = 9$ треугольников.","$9 \\cdot 180^\\circ = 1620^\\circ$."],"step":1},{"content":"Сумма углов выпуклого многоугольника равна $2160^\\circ$. Сколько у него сторон? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["Сумма углов равна $(n-2) \\cdot 180^\\circ$: столько в ней треугольников по $180^\\circ$.","$2160 : 180 = 12$, значит, $n-2 = 12$ и $n = 14$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Равных палочек мало, чтобы многоугольник стал правильным

Соберем четырехугольник из четырех равных палочек. Он складывается: получаются и квадрат, и ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$. Равные стороны не делают углы равными. А у прямоугольника, наоборот, углы равны, а стороны нет. Нужно закрепить и то, и другое.

Определение

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Ромб (равные стороны, углы разные) и прямоугольник (равные углы, стороны разные) не правильные; у правильного пятиугольника равны и стороны, и углы, каждый угол 108° — Ромб и прямоугольник не правильные; у правильного пятиугольника равны все стороны и все углы по 108°

Углов $n$, и они равны, значит, каждый — сумма, деленная на $n$. Правильный треугольник: $180^\circ : 3 = 60^\circ$. Квадрат: $360^\circ : 4 = 90^\circ$. Правильный пятиугольник: $540^\circ : 5 = 108^\circ$.

Правило

Каждый угол правильного $n$-угольника равен

Пример 3

Найдите угол правильного двадцатиугольника.

Решение. Сумма углов: $(20-2) \cdot 180^\circ = 3240^\circ$. Углов 20, они равны: $3240^\circ : 20 = 162^\circ$. Проверка: угол меньше $180^\circ$, многоугольник выпуклый.

Ответ: $162^\circ$.

Интересный факт: какими плитками можно замостить пол

Скрыть

Одинаковыми правильными плитками пол можно выложить без щелей, только если углы плиток, сходящиеся в одной точке, дают ровно $360^\circ$. Треугольники подходят: $360 : 60 = 6$. Квадраты подходят: $360 : 90 = 4$. А правильные пятиугольники нет: $360 : 108 \approx 3{,}3$ — не целое. Подходит еще ровно один правильный многоугольник. Найдите его сами.

Ответ: правильный шестиугольник: $360 : 120 = 3$.

{"questions":[{"content":"Какой из многоугольников правильный?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Пятиугольник: все стороны по $5$ см, один из углов $100^\\circ$","Четырехугольник: стороны $5$ и $7$ см, все углы по $90^\\circ$","Четырехугольник: все стороны по $5$ см, углы $60^\\circ$ и $120^\\circ$","Четырехугольник: все стороны по $5$ см, все углы по $90^\\circ$"],"explanations":["У правильного пятиугольника каждый угол $540^\\circ : 5 = 108^\\circ$, а здесь есть угол $100^\\circ$: углы не равны","Углы равны, а стороны нет: это прямоугольник, но не квадрат","Стороны равны, а углы нет: это ромб — сложенный каркас из равных палочек",""],"answer":[3]}},"hints":["Правильный многоугольник — выпуклый, у которого равны все стороны и все углы.","Равных сторон мало: каркас из равных палочек складывается, и углы меняются. Равных углов тоже мало: у прямоугольника стороны разные."],"step":1},{"content":"Каждый угол правильного $n$-угольника равен [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$(n-2) \\cdot 180^\\circ$","$\\frac{360^\\circ}{n}$","$\\frac{(n-3) \\cdot 180^\\circ}{n}$","$\\frac{(n-2) \\cdot 180^\\circ}{n}$"],"answer":3}},"hints":["Сумма углов $n$-угольника $(n-2) \\cdot 180^\\circ$ — это все углы вместе, а не один.","У правильного многоугольника $n$ равных углов, поэтому сумму делим на $n$. Проверка на треугольнике: $\\frac{1 \\cdot 180^\\circ}{3} = 60^\\circ$.","Ответ: $\\frac{(n-2) \\cdot 180^\\circ}{n}$."],"step":1},{"content":"Найдите внутренний угол правильного девятиугольника в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"140"}},"hints":["Сумма углов: $(9-2) \\cdot 180^\\circ = 1260^\\circ$.","Углы равны: $1260^\\circ : 9 = 140^\\circ$."],"step":1}],"mix":1}

Объехав многоугольник, робот делает полный оборот

Вернемся к роботу-пылесосу. Он едет вдоль стороны, а в вершине поворачивается и едет вдоль следующей. Если бы он не повернул, поехал бы по продолжению стороны. Угол поворота — угол между продолжением стороны и следующей стороной.

Определение

Внешний угол многоугольника при вершине — угол, смежный с углом многоугольника при этой вершине.

Угол многоугольника и внешний угол при одной вершине — смежные углы: в сумме $180^\circ$. В прямоугольной комнате робот поворачивается четыре раза на $90^\circ$: $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$. В комнате — правильном пятиугольнике — пять раз на $180^\circ-108^\circ = 72^\circ$: $5 \cdot 72^\circ = 360^\circ$.

Робот обходит пятиугольник и в каждой вершине поворачивает на внешний угол: 76°, 76°, 72°, 64°, 72°; сложенные вместе внешние углы дают полный круг 360° — В каждой вершине робот поворачивается на внешний угол; сложенные вместе, повороты дают 360°

Теорема

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.

Доказательство

При каждой из $n$ вершин угол многоугольника и внешний угол вместе дают $180^\circ$, всего $n \cdot 180^\circ$. Углы многоугольника из них составляют $(n-2) \cdot 180^\circ$. На внешние остается $n \cdot 180^\circ-(n-2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

Вот что на самом деле означает $n \cdot 180^\circ$: это углы многоугольника вместе с внешними. Ответ на вопрос из начала урока: объехав комнату, робот повернется ровно на $360^\circ$ — сколько бы ни было стен.

У правильного $n$-угольника внешние углы равны, каждый $360^\circ : n$. Отсюда удобный способ найти число сторон по углу многоугольника $\alpha$.

Правило

Число сторон правильного многоугольника с углом $\alpha$ равно

Если число не целое, такого правильного многоугольника нет.

Пример 4

Существуют ли правильные многоугольники с углом $165^\circ$; с углом $125^\circ$?

Решение. Внешний угол $180^\circ-165^\circ = 15^\circ$, $360 : 15 = 24$ — правильный 24-угольник. Проверка: $\frac{22 \cdot 180^\circ}{24} = 165^\circ$. Для $125^\circ$: внешний угол $55^\circ$, $360 : 55 \approx 6{,}5$ — не целое.

Ответ: с углом $165^\circ$ — да, 24-угольник; с углом $125^\circ$ — нет.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте правильный многоугольник и его внешний угол. Один угол лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Правильный треугольник","Правильный восьмиугольник","Правильный девятиугольник"],"items":["$120^\\circ$","$45^\\circ$","$40^\\circ$","$60^\\circ$"]}},"instruction":"Сопоставьте многоугольник и внешний угол","hints":["Внешние углы правильного $n$-угольника равны, а в сумме дают $360^\\circ$: каждый равен $360^\\circ : n$.","Треугольник: $360^\\circ : 3 = 120^\\circ$; восьмиугольник: $360^\\circ : 8 = 45^\\circ$; девятиугольник: $360^\\circ : 9 = 40^\\circ$.","Лишний угол $60^\\circ$ — внутренний угол правильного треугольника, а не внешний."],"step":1},{"content":"Робот-пылесос обходит комнату — правильный многоугольник — и в каждой вершине поворачивается на $20^\\circ$. Сколько сторон у комнаты? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["За полный обход робот поворачивается на $360^\\circ$ — это сумма внешних углов.","Все повороты равны: $n = 360 : 20 = 18$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Три внешних угла выпуклого четырехугольника равны $80^\\circ$, $95^\\circ$ и $100^\\circ$. Найдите четвертый внешний угол в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"85"}},"hints":["Сумма внешних углов (по одному при вершине) равна $360^\\circ$.","$80 + 95 + 100 = 275$, четвертый $360-275 = 85$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Сумма углов многоугольника нужна, чтобы проверить чертеж или раскрой, найти неизвестный угол детали или понять, какими плитками можно замостить пол. Вспомнить главное поможет каркас из палочек на шарнирах.

Часто задаваемые вопросы

Верна ли формула суммы углов для невыпуклого многоугольника?

Да, сумма углов любого $n$-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$, если угол больше $180^\circ$ считать целиком. Невыпуклый многоугольник тоже можно разрезать диагоналями на $n-2$ треугольника, но диагонали надо выбирать внимательно: из некоторых вершин они выходят наружу.

А если комната Г-образная?

У такой комнаты шесть углов: в пяти робот поворачивает в одну сторону на $90^\circ$, в одном — в другую. Если поворот в другую сторону считать со знаком «минус», получится $5 \cdot 90^\circ-90^\circ = 360^\circ$. Полный оборот сохраняется и здесь.

Как быстро проверить, верно ли я посчитал диагонали?

Подставьте в свой способ $n = 4$: у четырехугольника ровно две диагонали. Если получилось 4, вы забыли разделить на 2. Для пятиугольника должно выйти 5 — это пятиконечная звезда внутри.

Зачем внешние углы, если есть формула для внутренних?

С ними проще считать у правильных многоугольников: внешний угол равен $360^\circ : n$. Так сразу видно, существует ли правильный многоугольник с данным углом и сколько у него сторон.

Награды за урок

Проверим знания по теме?

Многоугольники. Сумма углов, внешние углы, диагонали

Пройти тест