8 класс Геометрия Четырехугольники Многоугольники

Четырехугольник. Сумма углов, выпуклые и невыпуклые четырехугольники, виды

Содержание

В уроке о многоугольниках вы нашли сумму углов выпуклого многоугольника. Теперь займемся самым частым из них — четырехугольником: разберем его элементы, сумму углов (и у невыпуклого тоже), признаки выпуклости и виды четырехугольников, которые будем изучать дальше.

Вопрос для начала. Стеллаж собрали из четырех досок на болтах: две по $4$ дм и две по $6$ дм. Через месяц его рамка покосилась: доски те же, но прямых углов больше нет. Почему с треугольной рамкой так не бывает и что ставят мастера, чтобы рамка не складывалась? Ответим в последнем разделе.

Одни и те же палочки складываются в разные фигуры

Соединим шарнирами четыре палочки по кругу: $AB = 5$ см, $BC = 8$ см, $CD = 8$ см, $DA = 5$ см. Получился каркас $ABCD$. Вообразавр тянет вершину $A$, и каркас меняет форму: угол $A$ был $60^\circ$, стал $120^\circ$, а потом вершина $A$ даже «вдавилась» внутрь, и угол стал больше $180^\circ$.

Длины палочек не меняются, поэтому периметр все время равен $5+8+8+5 = 26$ см. А углы и диагонали меняются. С треугольником так не выйдет: три палочки на шарнирах не сдвинуть, три стороны задают треугольник целиком (вспомните урок о втором и третьем признаках равенства треугольников).

Одни и те же палочки 5, 8, 8, 5 в трех положениях: угол A равен 60°, 120° и 240°; форма разная, периметр 26 см один и тот же, в третьем положении четырехугольник невыпуклый — Палочки 5, 8, 8, 5 те же, периметр 26 см, а углы разные: стороны не задают четырехугольник

Важно

Четыре стороны не задают четырехугольник: при тех же длинах сторон его углы и диагонали могут быть разными.

Ошибка

«Стороны четырехугольника $ABCD$ равны $5$, $8$, $8$ и $5$. Значит, его углы известны: ведь углы треугольника по трем сторонам определены однозначно».

Проверим. Соберем каркас с $\angle A = 60^\circ$. Треугольник $ABD$ равнобедренный ($AB = AD = 5$) с углом $60^\circ$, значит, равносторонний, и $BD = 5$. Из тех же палочек соберем каркас с $\angle A = 120^\circ$. Теперь угол $A$ в треугольнике $ABD$ тупой, против него лежит большая сторона: $BD > 5$ (измерение дает около $8{,}7$ см).

Обе формы действительно собираются: в треугольнике $BCD$ стороны $8$, $8$ и $BD$, а $BD < 5+5 = 10 < 8+8$, так что неравенство треугольника выполняется. Значит, из одних палочек получились два четырехугольника, у которых различаются угол $A$, диагональ $BD$ и углы $B$, $C$, $D$ (см. рисунок).

Где сломалось рассуждение: жесткость доказана для треугольника. У четырехугольника из тех же сторон бывает сколько угодно форм.

{"questions":[{"content":"Из четырех палочек длиной $4$, $6$, $4$, $6$ соединили шарнирами четырехугольник. Однозначно ли определена его форма?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Да, но только если палочки попарно равны","Нет: при тех же сторонах углы бывают разными","Да: если известны все стороны, каркас жесткий и фигура единственная","Нет: такого четырехугольника не существует"],"explanations":["Каркас складывается и при равных парах палочек: можно сложить и прямоугольник $4 \\times 6$, и скошенную рамку с острым углом","","Для треугольника это верно (он жесткий), а четырехугольник из палочек на шарнирах складывается","Существует: например, прямоугольник со сторонами $4$ и $6$"],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните рисунок в начале раздела: одни и те же палочки 5, 8, 8, 5.","Форму задают еще, например, диагональ или угол."],"step":1},{"content":"Решавр начертил прямоугольник со сторонами $3$ и $5$ и измерил диагональ: $AC \\approx 5{,}8$. Вывод: «У любого четырехугольника $ABCD$ с $AB = CD = 3$ и $BC = AD = 5$ диагональ $AC \\approx 5{,}8$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: стороны задают диагональ, как у треугольника","Стороны не задают диагональ: каркас складывается","Вывод верен только для выпуклых четырехугольников","Измерение неверно: диагональ равна $3 + 5 = 8$"],"explanations":["Это верно для треугольника, а каркас из четырех палочек складывается","","Прямоугольник выпуклый, и у других выпуклых с теми же сторонами диагональ другая","Диагональ меньше суммы двух сторон; измерение верно для прямоугольника, а вывод — нет"],"answer":[1]}},"hints":["Четырехугольник не жесткий: при тех же сторонах диагональ $AC$ меняется при складывании.","Диагональ определена, если задан еще один параметр (угол или другая диагональ)."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Палочки соединены по кругу — вершины называют по обходу

В каркасе $A$ соединена с $B$, $B$ — с $C$, $C$ — с $D$, а $D$ — снова с $A$. Поэтому вершины четырехугольника перечисляют по обходу: $ABCD$, $BCDA$ и $DCBA$ — одна и та же фигура. А запись $ABDC$ означает другой четырехугольник: в нем $B$ соединена с $D$.

Определение

Четырехугольник — фигура из четырех точек и четырех отрезков, последовательно их соединяющих. Никакие три точки не лежат на одной прямой, а отрезки не пересекаются.

Стороны с общей вершиной называют соседними ($AB$ и $BC$), без общих вершин — противоположными ($AB$ и $CD$, $BC$ и $AD$). Вершины, не соединенные стороной, — противоположные ($A$ и $C$, $B$ и $D$), углы при них — тоже противоположные. Диагональ четырехугольника — отрезок, соединяющий противоположные вершины; диагоналей две: $AC$ и $BD$. Периметр — сумма длин всех сторон, в каркасе — общая длина палочек.

Четырехугольник ABCD: противоположные стороны AB и CD, соседние стороны AB и BC, диагонали AC и BD, обход вершин A, B, C, D — Противоположные стороны не имеют общих вершин, диагонали соединяют противоположные вершины

Пример 1

Длины палочек каркаса относятся как $1:2:2:3$, а вместе палочки имеют длину $48$ см. Найдите длину каждой палочки.

Решение. Всего $1+2+2+3 = 8$ частей, одна часть равна $48:8 = 6$ см. Палочки: $6$, $12$, $12$ и $18$ см. Проверка: $6+12+12+18 = 48$.

Ответ: $6$ см, $12$ см, $12$ см, $18$ см.

{"questions":[{"content":"Вершины четырехугольника названы по обходу: $ABCD$. Сопоставьте описание и элемент. Три элемента лишние.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Сторона, противоположная стороне $AB$","Угол, противоположный углу $B$","Диагональ, выходящая из вершины $A$"],"items":["$CD$","$\\angle D$","$AC$","$BC$","$\\angle C$","$BD$"]}},"instruction":"Сопоставьте описание и элемент","hints":["Противоположные стороны и углы не имеют общих вершин; диагональ соединяет противоположные вершины.","Обход $A \\to B \\to C \\to D \\to A$: против стороны $AB$ лежит $CD$, против угла $B$ — угол $D$, из вершины $A$ выходит диагональ $AC$.","Лишние: $BC$ — соседняя с $AB$ сторона, $\\angle C$ — соседний с $\\angle B$ угол, $BD$ — диагональ, которая через $A$ не проходит."],"step":1},{"content":"Вершины четырехугольника названы по обходу так: $ABCD$. Какое еще название обозначает тот же четырехугольник?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$CDAB$","$BDAC$","$ABDC$","$ACBD$"],"explanations":["","В названии $BDAC$ подряд идут $B$ и $D$ — это диагональ, а не сторона","В названии $ABDC$ вершины $B$ и $D$ идут подряд, значит, $BD$ — сторона, а в $ABCD$ это диагональ","В названии $ACBD$ подряд идут $A$ и $C$ — это диагональ, а не сторона"],"answer":[0]}},"hints":["Вершины перечисляют по обходу, начиная с любой и в любую сторону.","Подходит $CDAB$: тот же порядок, начиная с $C$."],"step":1},{"content":"Стороны четырехугольника относятся как $2 : 3 : 4 : 5$, периметр равен $56$. Найдите наибольшую сторону. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Всего $2 + 3 + 4 + 5 = 14$ частей, одна часть $56 : 14 = 4$.","Наибольшая сторона $5 \\cdot 4 = 20$."],"step":1}],"mix":1}

Диагональ режет четырехугольник на два треугольника

Проведем в четырехугольнике $ABCD$ диагональ $AC$. Она разрежет его на треугольники $ABC$ и $ACD$. Углы $B$ и $D$ целиком достаются треугольникам, а углы $A$ и $C$ диагональ делит на части — по части в каждый треугольник. Значит, сумма углов четырехугольника равна сумме углов двух треугольников: $180^\circ+180^\circ = 360^\circ$. Это формула $(n-2)\cdot 180^\circ$ из урока о многоугольниках при $n = 4$.

А если вершина каркаса вдавлена внутрь? Диагональ из вдавленной вершины лежит внутри четырехугольника и тоже режет его на два треугольника. Например, если вдавлена вершина $D$, диагональ $BD$ делит угол $D$ на две части, каждая меньше $180^\circ$, и каждая часть достается своему треугольнику: $ABD$ или $CBD$. Вторая диагональ, $AC$, проходит снаружи — для подсчета она не годится.

Диагональ внутри четырехугольника делит его на два треугольника, поэтому сумма углов 180°+180°=360° — и у выпуклого, и у невыпуклого; у невыпуклого такая диагональ идет из вдавленной вершины — Диагональ, лежащая внутри, делит любой четырехугольник на два треугольника: 180° + 180° = 360°

Теорема

Сумма углов любого четырехугольника, выпуклого или невыпуклого, равна $360^\circ$.

Пример 2

Углы четырехугольника относятся как $3:4:5:6$. Найдите наибольший угол.

Решение. Всего $3+4+5+6 = 18$ частей, на них приходится $360^\circ$, одна часть равна $360^\circ:18 = 20^\circ$. Углы: $60^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$, $120^\circ$. Проверка: $60+80+100+120 = 360$.

Ответ: $120^\circ$.

Пример 3

В невыпуклом четырехугольнике $ABCD$ вершина $D$ вдавлена внутрь, $\angle A = 35^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 30^\circ$. Найдите угол $D$.

Решение. Сумма углов равна $360^\circ$ и для невыпуклого четырехугольника. Поэтому $\angle D = 360^\circ-(35^\circ+45^\circ+30^\circ) = 360^\circ-110^\circ = 250^\circ$. Угол больше $180^\circ$, как и должно быть у вдавленной вершины.

Ответ: $250^\circ$.

Ошибка

«Приложим транспортир к сторонам $DA$ и $DC$: угол $D$ равен $110^\circ$. Тогда сумма углов $35+45+30+110 = 220^\circ$. Значит, у невыпуклых четырехугольников сумма углов другая».

Проверим: $110^\circ+250^\circ = 360^\circ$. Это два угла со сторонами $DA$ и $DC$, вместе они составляют полный угол вокруг точки $D$. Угол $110^\circ$ смотрит наружу, на нем нет точек четырехугольника, а внутрь фигуры обращен угол $250^\circ$.

Где сломалось рассуждение: угол четырехугольника при вершине — тот, внутри которого лежит фигура. У вдавленной вершины он больше $180^\circ$, и транспортир показывает не его, а дополнение до $360^\circ$.

Невыпуклый четырехугольник ABCD: углы A=35°, B=45°, C=30°; угол при вдавленной вершине D, лежащий внутри фигуры, равен 250°, а 110° смотрит наружу; 110°+250°=360° — У вдавленной вершины угол четырехугольника — 250°, он внутри фигуры; 110° — угол снаружи

{"questions":[{"content":"Три угла выпуклого четырехугольника равны $80^\\circ$, $95^\\circ$ и $100^\\circ$. Найдите четвертый угол в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"85"}},"hints":["Сумма углов четырехугольника $360^\\circ$.","$80 + 95 + 100 = 275$, четвертый угол $360-275 = 85$."],"step":1},{"content":"В невыпуклом четырехугольнике $ABCD$ вершина $D$ вдавлена, углы $A$, $B$, $C$ равны $25^\\circ$, $60^\\circ$, $45^\\circ$. Решавр приложил транспортир к сторонам $DA$ и $DC$, получил $130^\\circ$ и сложил: $25+60+45+130 = 260$. «Значит, у невыпуклого сумма углов меньше $360^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибка в том, что сумма углов четырехугольника $180^\\circ$","Ошибка в сложении: на самом деле получается $360^\\circ$","Ошибки нет: у невыпуклого сумма углов меньше $360^\\circ$","Взят угол снаружи: угол $D$ четырехугольника равен $360-130 = 230^\\circ$"],"explanations":["Сумма углов четырехугольника $360^\\circ$, а $180^\\circ$ — у треугольника","$25 + 60 + 45 + 130 = 260$: сложение верное, а неверно взят сам угол $D$","Сумма углов любого четырехугольника, в том числе невыпуклого, равна $360^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Угол четырехугольника — тот, внутри которого лежит фигура; у вдавленной вершины он больше $180^\\circ$.","Транспортир показал угол снаружи: $360-130 = 230$, и $25 + 60 + 45 + 230 = 360$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В невыпуклом четырехугольнике $ABCD$ углы $A$, $B$ и $C$ равны $30^\\circ$, $40^\\circ$ и $50^\\circ$. Найдите угол $D$ (он больше $180^\\circ$) в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"240"}},"hints":["Диагональ делит и невыпуклый четырехугольник на два треугольника, сумма углов тоже $360^\\circ$.","$30 + 40 + 50 = 120$, $\\angle D = 360-120 = 240$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Линейка, приложенная к стороне выпуклого четырехугольника, его не режет

Сравним два положения каркаса из первого раздела: $\angle A = 120^\circ$ и $\angle A = 240^\circ$. Приложим линейку к каждой стороне по очереди. В первом положении фигура всякий раз остается по одну сторону от линейки. Во втором прямая $AB$ разрезает фигуру: вершины $C$ и $D$ оказываются по разные стороны от нее.

Определение

Четырехугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через его сторону. Иначе четырехугольник невыпуклый.

Выпуклый каркас лежит по одну сторону от прямой AB, обе диагонали внутри; у невыпуклого (угол A равен 240°) прямая AB режет фигуру, вершины C и D по разные стороны от нее, диагональ BD снаружи — Выпуклый лежит по одну сторону от прямой AB, у невыпуклого она режет фигуру, а диагональ BD выходит наружу

Линейку прикладывать не обязательно: выпуклость видна по углам и диагоналям.

	Выпуклый	Невыпуклый
Углы	все меньше $180^\circ$	один угол больше $180^\circ$
Диагонали	обе внутри, пересекаются	одна внутри, другая снаружи
Сумма углов	$360^\circ$	$360^\circ$

Угол больше $180^\circ$ у четырехугольника может быть только один: два таких угла вместе дали бы больше $360^\circ$, а это вся сумма углов.

karkas-sharnir

{"questions":[{"content":"Даны наборы из четырех углов. Распределите их по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Выпуклый четырехугольник","Невыпуклый четырехугольник","Такого четырехугольника нет"],"items":[["$110^\\circ$, $70^\\circ$, $110^\\circ$, $70^\\circ$","$90^\\circ$, $120^\\circ$, $60^\\circ$, $90^\\circ$"],["$200^\\circ$, $60^\\circ$, $50^\\circ$, $50^\\circ$","$250^\\circ$, $40^\\circ$, $30^\\circ$, $40^\\circ$"],["$100^\\circ$, $100^\\circ$, $100^\\circ$, $80^\\circ$","$170^\\circ$, $10^\\circ$, $20^\\circ$, $150^\\circ$"]]}},"hints":["Сначала сложите углы: у любого четырехугольника, выпуклого и невыпуклого, их сумма $360^\\circ$. Если сумма другая, такого четырехугольника нет.","Если сумма $360^\\circ$ и все углы меньше $180^\\circ$ — четырехугольник выпуклый; если один угол больше $180^\\circ$ — невыпуклый.","Ответ: выпуклые — $110^\\circ$, $70^\\circ$, $110^\\circ$, $70^\\circ$ и $90^\\circ$, $120^\\circ$, $60^\\circ$, $90^\\circ$; невыпуклые — $200^\\circ$, $60^\\circ$, $50^\\circ$, $50^\\circ$ и $250^\\circ$, $40^\\circ$, $30^\\circ$, $40^\\circ$; не существуют — суммы $380^\\circ$ и $350^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"По какому признаку можно сказать, что четырехугольник выпуклый?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["У него есть прямой угол","Один из его углов больше $180^\\circ$","Все его углы острые","Обе диагонали лежат внутри четырехугольника"],"explanations":["Прямой угол может быть и у невыпуклого четырехугольника","Это как раз признак невыпуклого четырехугольника: вершина «вдавлена» внутрь","Сумма углов равна $360^\\circ$, четыре острых угла дали бы меньше $360^\\circ$: такого четырехугольника нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Выпуклый четырехугольник целиком лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону; обе диагонали лежат внутри него."]}],"mix":1}

Что закрепили в каркасе, то и получили

Каркас из четырех палочек складывается. Особые четырехугольники получают, когда закрепляют что-то еще: параллельность сторон, прямой угол, равенство палочек. Их свойства мы изучим в следующих уроках, а сейчас — определения и то, как виды связаны.

Определение

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого есть прямой угол.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Карта видов четырехугольников: параллелограмм и трапеция — виды четырехугольника; прямоугольник и ромб — виды параллелограмма; квадрат — и прямоугольник, и ромб — Стрелка ведет к частному случаю: квадрат — и прямоугольник, и ромб; трапеция — отдельная ветка

Стрелка на карте значит «является частным случаем». Каждый квадрат — прямоугольник (у него есть прямой угол) и ромб (все стороны равны, противоположные параллельны). Но не каждый прямоугольник — квадрат: соседние стороны прямоугольника могут быть разными. К квадрату ведут два пути: прямоугольник, у которого все стороны равны, и ромб, у которого есть прямой угол. Трапеция — не параллелограмм: у нее параллельна только одна пара сторон.

Теперь ответ на вопрос о стеллаже. Болты работают как шарниры, поэтому прямоугольная рамка из досок $4$, $6$, $4$, $6$ дм сложилась в параллелограмм: стороны те же, а углы другие. Это тот же эффект, что у каркаса $5$, $8$, $8$, $5$ из первого раздела: у каркаса равны соседние палочки, у рамки — противоположные, но и там и там длины сторон форму не задают. Мастер ставит одну планку — раскос — по диагонали рамки. Раскос делит рамку на два треугольника, а треугольник с данными сторонами не складывается. Рамка остается прямоугольной.

Рамка стеллажа 4 на 9: без раскоса она складывается в параллелограмм (угол A уже не прямой), с раскосом по диагонали рамка делится на два жестких треугольника и не складывается — Без раскоса рамка складывается в параллелограмм; раскос делит ее на два жестких треугольника

{"questions":[{"content":"Квадрат — это прямоугольник, у которого [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["противоположные стороны попарно параллельны","две стороны параллельны, а две другие нет","есть прямой угол","все стороны равны"],"answer":3}},"hints":["Посмотрите на карту видов: от прямоугольника к квадрату ведет стрелка «все стороны равны».","Прямой угол и попарно параллельные противоположные стороны есть у каждого прямоугольника — они квадрат не выделяют. Две параллельные и две непараллельные стороны — это трапеция.","Ответ: все стороны равны."],"step":1},{"content":"Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Каждая трапеция — параллелограмм","Каждый прямоугольник — ромб","Каждый ромб — квадрат","Каждый квадрат — ромб"],"explanations":["У трапеции параллельна только одна пара сторон, у параллелограмма — две","У прямоугольника стороны могут быть разной длины","У ромба углы могут быть не прямые",""],"answer":[3]}},"hints":["Квадрат — прямоугольник с равными сторонами, значит, он ромб и параллелограмм.","Ответ: каждый квадрат — ромб."],"step":1},{"content":"Рамка в форме четырехугольника покосилась. Сколько раскосов (диагоналей) достаточно поставить, чтобы рамка перестала складываться? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Какая фигура из палочек на шарнирах не складывается?","Одна диагональ делит рамку на два треугольника, а треугольник жесткий: достаточно одной диагонали."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Когда в задаче даны только стороны четырехугольника, углы из них не найти: нужна диагональ или угол. А сумма $360^\circ$ дает четвертый угол по трем. Помогает вспомнить каркас из палочек на шарнирах.

Часто задаваемые вопросы

Из любых ли четырех палочек можно собрать четырехугольник?

Нет. Самая длинная палочка должна быть короче суммы трех остальных, иначе концы не сойдутся. Например, из палочек $2$, $3$, $4$ и $10$ см четырехугольник не собрать: $2+3+4 = 9 < 10$.

Может ли у четырехугольника быть ровно три прямых угла?

Нет. Три прямых угла дают $270^\circ$, на четвертый остается $360^\circ-270^\circ = 90^\circ$. Значит, и четвертый угол прямой.

Почему у квадрата на карте видов два «родителя»?

Квадрат удовлетворяет обоим определениям сразу: у него есть прямой угол, как у прямоугольника, и все стороны равны, как у ромба. Поэтому все, что вы узнаете о прямоугольнике и о ромбе, верно и для квадрата.

Как понять по чертежу, какой угол у вдавленной вершины считать?

Тот, внутри которого лежит фигура: он больше $180^\circ$ и вместе с углом снаружи дает $360^\circ$. Больше задач на углы четырехугольника — в уроке «Четырехугольники».

Награды за урок

Проверим знания по теме?

Четырехугольник. Сумма углов, выпуклые и невыпуклые четырехугольники, виды

Пройти тест