КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Равномерное движение по окружности
Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью
Механическое движение описывается изменением положения тела в пространстве с течением времени. При этом тело может двигаться по прямой линии, а может более сложно — по криволинейной траектории.
Криволинейных траекторий существует невероятное множество, но, к нашему счастью, практически любую из них мы можем представить в виде совокупности движений по дугам окружностей различного радиуса (рисунок 1).
Самым простым видом криволинейного движения является движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью. То есть такое движение будет являться равномерным. На данном уроке мы рассмотрим это движение более подробно и охарактеризуем его.
Равномерное движение по окружности и вектор скорости
Равномерное движение по окружности — это движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги (поворачивает на одинаковые углы за равные промежутки времени).
Скорость при таком движении остается постоянной по модулю, но постоянно изменяет свое направление. Куда она будет направлена?
Мы уже говорили о том, что мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории будет направлена по касательной к ней. Это утверждение справедливо и для движения по окружности (рисунок 2).
Убедиться в этом мы можем и на опыте. Если к вращающемуся точильному камню поднести металлический прут, то из-под него будут вылетать искры. Это раскаленные частицы камня, которые отрываются при трении о прут (рисунок 3).
Мы увидим, что эти частицы отлетают по касательной к окружности в точке отрыва. А вектор движения у нас всегда сонаправлен движению. Значит, данный опыт является подтверждением того, что вектор скорости направлен по касательной к криволинейной траектории.
Изменение вектора скорости при движении по окружности
Скорость является векторной величиной. Поэтому она характеризуется как модулем (численным значением), так и направлением. Если изменится даже одна из этих характеристик, изменится и сам вектор скорости.
При движении по окружности модуль вектора скорости может изменяться — тело будет двигаться неравномерно. А может оставаться постоянным, тогда тело будет двигаться равномерно. Но направление вектора скорости при движении по окружности будет изменяться всегда. То есть вектор скорости тела, движущегося по окружности — это переменная величина независимо от того, меняется модуль скорости или нет.
Если же вектор скорости постоянно изменяется, значит движение по окружности всегда происходит с некоторым ускорением.
Центростремительное ускорение
Итак, изменение направления скорости приводит к появлению ускорения:
$\vec a = \frac{\vec \upsilon \space − \space \vec \upsilon_0}{t} = \frac{\Delta \vec \upsilon}{t}$.
При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью ускорение всегда будет направлено по радиусу окружности к ее центру (рисунок 4). Мы будем называть это ускорение центростремительным.
Направление центростремительного ускорения
Почему же центростремительное ускорение будет направлено к центру окружности? Разберем этот вопрос подробнее.
Пусть некоторое тело (материальная точка) движется по дуге окружности радиуса $r$ (рисунок 5). Векторы скорости $\vec \upsilon_1$ и $\vec \upsilon_2$ в точках 1 и 2 соответственно направлены по касательной к траектории движения. При этом их модули равны друг другу: $|\vec \upsilon_1| = |\vec \upsilon_2|$. Но эти векторы имеют разные направления.
Теперь давайте вычтем из вектора $\vec \upsilon_2$ вектор $\vec \upsilon_1$, чтобы получить вектор $\Delta \vec \upsilon$, который и будет задавать направление вектора ускорения (по определению: $\vec a = \frac{\Delta \vec \upsilon}{t}$).
Для того чтобы выполнить вычитание, нам необходимо параллельно перенести вектор $\vec \upsilon_1$ в начало вектора $\vec \upsilon_2$. Далее достраиваем до треугольника. Полученная третья сторона треугольника и будет вектором разности скоростей — $\Delta \vec \upsilon$ (рисунок 6). По правилам вычитании векторов направлен он будет в сторону уменьшаемого вектора $\vec \upsilon_2$.
Из рисунка мы уже видим, что вектор $\Delta \vec \upsilon$ направлен в сторону окружности. Нужно более точно определить его направление.
Рассмотрим более пристально полученный при вычитании векторов треугольник (рисунок 7).
Внимательно посмотрим на две его стороны, образованные векторами $\vec \upsilon_1$ и $\vec \upsilon_2$. Этот треугольник будет равнобедренным, ведь модули скоростей равны. Значит, углы при основании тоже равны друг другу. Так как сумма углов треугольника составляет $180 \degree$, мы можем записать следующее равенство:
$\alpha \space + \space 2 \beta = 180 \degree$.
Теперь будем в нашем воображении все сводить к изменениям за очень маленький промежуток времени, который буквально стремится к нулю. Точка 2 тогда будет приближаться к точке 1. Направление векторов будет отличаться друг от друга намного меньше, чем на рисунке 6. Угол $\alpha$ будет стремиться к нулю, а углы $\beta$ — к $90 \degree$ (рисунок 8).
Получается, что угол между вектором изменения скорости и вектором самой скорости будет приблизительно равен $90 \degree$. При этом вектор скорости направлен по касательной. $90 \degree$ от касательной дадут нам направление к центру окружности. Значит, ускорение тоже направлено к центру окружности:
$\vec a_ц = \frac{\Delta \vec \upsilon}{t}$,
$\Delta \vec \upsilon \perp \upsilon$,
$\frac{\Delta \vec \upsilon}{t} \perp \upsilon$,
$\vec a_ц \perp \vec \upsilon$.
Так мы доказали, что центростремительное ускорение $\vec a_ц$ будет направлено к центру окружности.
Центростремительное ускорение, с которым тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, в любой точке направлено по радиусу окружности к ее центру.
Формула центростремительного ускорения
Как рассчитать центростремительное ускорение? Вернемся снова к рассмотрению движения тела по дуге окружности из точки 1 в точку 2 (рисунок 9).
На рисунке у нас есть два треугольника. Первый — это треугольник, образованный векторами скоростей $\vec \upsilon_1$ и $\vec \upsilon_2$ и вектором их разности $\Delta \vec \upsilon$. Второй треугольник образован радиусами $r$ и вектором перемещения $s$. На рисунке у этих треугольников отмечены равные друг другу углы $\alpha$. Они равны как углы между двумя взаимно перпендикулярными сторонами (по свойству касательной и построению).
Итак, оба треугольника являются равнобедренными с одинаковыми углами $\alpha$ при вершине. Значит, треугольники подобны друг другу по двум сторонам и углу между ними. Для нас это означает, что соответствующие стороны треугольников будут относиться одинаково (здесь мы можем перейти к модулям этих векторов):
$\frac{\Delta \upsilon}{\upsilon} = \frac{s}{r}$.
Выразим из этого равенства изменение скорости, которое фигурирует в определении ускорения ($a = \frac{\Delta \upsilon}{t}$):
$\Delta \upsilon = \frac{\upsilon s}{r}$.
Перемещение $s$ по определению:
$s = \upsilon t$.
Тогда формулу для изменения скорости мы можем записать так:
$\Delta \upsilon = \frac{\upsilon \cdot \upsilon t}{r} = \frac{\upsilon^2 t}{r}$.
Подставим в формулу ускорения:
$a_ц = \frac{\Delta \upsilon}{t} = \frac{\frac{\upsilon^2 t}{r}}{t} = \frac{\upsilon^2}{r}$.
Так мы получили формулу для расчета центростремительного ускорения.
$a_ц = \frac{\upsilon^2}{r}$.
Сила, под действием которой тело движется по окружности
При равномерном движении тела по окружности скорость остается постоянной по величине, но изменяется по направлению. Любое изменение говорит нам о наличии ускорения (а данном случае — центростремительного). А раз тело обладает ускорением, значит, на него действует какая-то сила.
По второму закону Ньютона ($\vec F = m \vec a$) вектор ускорения всегда сонаправлен вектору силы, в результате действия которой оно возникает. В случае равномерного движения по окружности вектор силы будет всегда направлен к центру окружности (рисунок 10).
Сила, под действием которой тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, в каждой точке направлена по радиусу окружности к ее центру.
Подставив во второй закон Ньютона полученную формулу для центростремительного ускорения, мы получим формулу для расчета этой силы:
$F = ma_ц = m \cdot \frac{\upsilon^2}{r} = \frac{m \upsilon^2}{r}$.
$F = \frac{m \upsilon^2}{r}$
Примеры равномерного движения тел по окружности
Равномерное движение по окружности довольно часто встречается нам в повседневной жизни. Силы же, под действием которых происходит это движение, могут быть совершенно разной природы.
Например, планеты обращаются вокруг Солнца под действием силы всемирного тяготения (рисунок 11).
Автомобиль совершает поворот за счет трения колес о дорогу (рисунок 12).
Движение электронов вокруг ядра в атоме происходит под действием сил электрического притяжения (рисунок 13).
Под действием каждой из этих сил возникает ускорение. Оно в свою очередь меняет направление скорости тела. В результате этого беспрерывного изменения тело движется по окружности или по ее дуге.
Упражнения
Упражнение № 1
При работе стиральной машины в режиме сушки поверхность ее барабана, находящаяся на расстоянии $21 \space см$ от оси вращения, движется вокруг этой оси со скоростью $20 \frac{м}{с}$. Определите ускорение, с которым движутся точки поверхности барабана.
Дано:
$r = 21 \space см$
$\upsilon = 20 \frac{м}{с}$
СИ:
$r = 0.21 \space м$
$a_ц — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Формула центростремительного ускорения:
$a_ц = \frac{\upsilon^2}{r}$.
Подставим в нее значения скорости и радиуса барабана стиральной машины, чтобы рассчитать ускорение:
$a_ц = \frac{{20 \frac{м}{с}}^2}{0.21 \space м} = \frac{400 \frac{м^2}{с^2}}{0.21 \space м} \approx 1\space 905 \frac{м}{с^2}$.
Ответ: $a_ц \approx 1\space 905 \frac{м}{с^2}$.
Упражнение № 2
Определите ускорение конца секундной стрелки часов, если он находится на расстоянии $r = 2 \space см$ от центра вращения. Длина $l$ окружности радиусом $r$ определяется по формуле: $l = 6.28r$.
Дано:
$r = 2 \space см$
$l = 6.28r$
СИ:
$r = 0.02 \space м$
$a_ц — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Для начала нам нужно вычислить скорость, с которой движется секундная стрелка. Она делает полный оборот (то есть проходит расстояние, равное длине окружности) за $60 \space с$:
$\upsilon = \frac{l}{t}$.
Подставим сюда предложенную в условии задачи формулу для расчета длины окружности:
$\upsilon = \frac{6.28r}{t}$.
Подставим полученное выражение в формулу для расчета центростремительного ускорения:
$a_ц = \frac{\upsilon^2}{r} = \frac{{\frac{6.28r}{t}}^2}{r} = \frac{6.28^2 r^2}{r t^2} \approx \frac{39.44r}{t^2}$.
Рассчитаем центростремительное ускорение:
$a_ц = \frac{39.44 \cdot 0.02 \space м}{{60 \space с}^2} = \frac{39.44 \cdot 0.02 \space м}{3600 \space с^2} \approx 0.000219 \frac{м}{с^2} \approx 2.19 \cdot 10^{−4} \frac{м}{с^2}$.
Ответ: $a_ц \approx 2.19 \cdot 10^{−4} \frac{м}{с^2}$.
Упражнение № 3
Докажите, что ускорение движения крайней точки стрелки часов в два раза больше ускорения средней точки этой стрелки (то есть точки, находящейся посередине между центром вращения стрелки и ее концом).
Дано:
$r_1 = r$
$r_2 = \frac{r}{2}$
Доказать:
$\frac{a_{ц1}}{a_{ц2}} = 2$
Показать доказательство
Скрыть
Доказательство:
Длина окружности (в данном случае расстояние, которое проходит крайняя точка стрелки) рассчитывается по формуле:
$l = 2 \pi r$.
Скорость движения стрелки по определению равна расстоянию, пройденному ей за единицу времени. Подставим это определение в выражение для длины окружности $l$:
$\upsilon = \frac{l}{t} = \frac{2 \pi r}{t}$.
Подставим полученное выражение в формулу для расчета центростремительного ускорения:
$a_ц = a_{ц1} = \frac{\upsilon^2}{r} = \frac{{\frac{2 \pi r}{t}}^2}{r} = \frac{4 \pi^2 r}{t^2}$.
А теперь посмотрим, чему будет равно это ускорение, если радиус будет в 2 раза меньше ($r_2 = \frac{r}{2}$):
$a_{ц2} = \frac{4 \pi^2 \frac{r}{2}}{t^2} = \frac{2 \pi^2 r}{t^2}$.
А теперь сравним полученные ускорения:
$\frac{a_{ц1}}{a_{ц2}} = \frac{\frac{4 \pi^2 r}{t^2}}{\frac{2 \pi^2 r}{t^2}} = \frac{4}{2} = 2$.
Так мы доказали, что ускорение движения крайней точки стрелки часов в 2 раза больше ускорения средней точки стрелки.
Упражнение № 4
Минутная и секундная стрелки часов вращаются вокруг общего центра. Расстояния от центра вращения до концов стрелок одинаковы. Чему равно отношение ускорений, с которыми движутся концы стрелок? Какая стрелка движется с бо́льшим ускорением?
Дано:
$t_1 = 60 \space мин$
$t_2 = 60 \space с$
$r_1 = r_2 = r$
СИ:
$t_1 = 3600 \space с$
$\frac{a_{ц2}}{a_{ц1}} — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Длина окружности (в данном случае расстояние, которое проходят стрелки часов) рассчитывается по формуле:
$l = 2 \pi r$.
Скорость движения стрелок по определению равна расстоянию, пройденному ими за единицу времени. Подставим это определение в выражение для длины окружности $l$:
$\upsilon_1 = \frac{l}{t_1} = \frac{2 \pi r}{t_1}$,
$\upsilon_2 = \frac{l}{t_2} = \frac{2 \pi r}{t_2}$.
Подставим скорости в формулы для центростремительного ускорения:
$a_{ц1} = \frac{{\upsilon_1}^2}{r} = \frac{{\frac{2 \pi r}{t_1}}^2}{r} = \frac{4 \pi^2 r}{{t_1}^2}$,
$a_{ц2} = \frac{{\upsilon_2}^2}{r} = \frac{{\frac{2 \pi r}{t_2}}^2}{r} = \frac{4 \pi^2 r}{{t_2}^2}$.
Теперь сравним между собой эти центростремительные ускорения:
$\frac{a_{ц2}}{a_{ц1}} = \frac{\frac{4 \pi^2 r}{{t_2}^2}}{\frac{4 \pi^2 r}{{t_1}^2}} = {\frac{t_1}{t_2}}^2$.
Рассчитаем это отношение:
$\frac{a_{ц2}}{a_{ц1}} = {\frac{3600 \space с}{60 \space с}}^2 = {60}^2 = 3600$.
Ответ: $\frac{a_{ц2}}{a_{ц1}} = 3600$, секундная стрелка движется с бо́льшим ускорением.
Упражнение № 5
Масса Земли равна $6 \cdot 10^{24} \space кг$, а масса Луны — $7 \cdot 10^{22} \space кг$. Считая, что Луна движется вокруг Земли по окружности радиусом $384 \space 000 \space км$, определите:
а) силу притяжения между Землей и Луной;
б) центростремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли;
в) модуль скорости движения Луны относительно Земли.
Дано:
$r = 384 \space 000 \space км$
$M_з = 6 \cdot 10^{24} \space кг$
$M_л = 7 \cdot 10^{22} \space кг$
СИ:
$r = 3.84 \cdot 10^8 \space м$
а) $F — ?$
б) $a_ц — ?$
в) $\upsilon — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
а) Силу притяжения между Землей и Луной мы рассчитаем, используя закон всемирного тяготения:
$F = G \frac{M_з M_л}{r^2}$,
$F = 6.67 \cdot 10^{−11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \space кг \cdot 7 \cdot 10^{22} \space кг}{{3.84 \cdot 10^8 \space м}^2} \approx 6.67 \cdot 10^{−11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{42 \cdot 10^{46} \space кг^2}{14.75 \cdot 10^{16} \space м^2} \approx 6.67 \cdot 10^{−11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot 2.85 \cdot 10^{30} \frac{кг^2}{м^2} \approx 1.9 \cdot 10^{20} \space Н$.
б) Рассчитаем центростремительное ускорение Луны с помощью второго закона Ньютона:
$F = M_л a_ц$,
$a_ц = \frac{F}{M_л}$,
$a_ц = \frac{1.9 \cdot 10^{20} \space Н}{7 \cdot 10^{22} \space кг} = 2.7 \cdot 10^{−3} \frac{м}{с^2}$.
в) Пользуясь формулой центростремительного ускорения, рассчитаем скорость движения Луны вокруг Земли:
$a_ц = \frac{\upsilon^2}{r}$,
$\upsilon^2 = a_ц \cdot r$,
$\upsilon = \sqrt{a_ц \cdot r}$,
$\upsilon = \sqrt{2.7 \cdot 10^{−3} \frac{м}{с^2} \cdot 3.84 \cdot 10^8 \space м} = \sqrt{103.68 \cdot 10^4 \frac{м^2}{с^2}} \approx 10.2 \cdot 10^2 \frac{м}{с} \approx 1020 \frac{м}{с}$.
Ответ: a) $F \approx 1.9 \cdot 10^{20} \space Н$; б) $a_ц = 2.7 \cdot 10^{−3} \frac{м}{с^2}$; в) $\upsilon \approx 1020 \frac{м}{с}$.
Часто задаваемые вопросы
Если к вращающемуся точильному камню поднести металлический прут, то из-под него будут вылетать искры (раскаленные частицы камня, которые отрываются при трении о прут). Эти частицы отлетают по касательной к окружности в точке отрыва. При этом вектор движения у нас всегда сонаправлен движению. Значит, данный опыт является подтверждением того, что вектор скорости направлен по касательной к криволинейной траектории.
Ускорение, с которым тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, в любой точке направлено по радиусу окружности к ее центру. Это ускорение называется центростремительным.
Модуль вектора центростремительного ускорения можно рассчитать по формуле: $a_ц = \frac{\upsilon^2}{r}$.
Сила, под действием которой тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, в любой точке направлена по радиусу окружности к ее центру (совпадает по направлению с вектором центростремительного ускорения).
5
5
1
Хотите оставить комментарий?
Войти