КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Естественные и искусственные спутники планет
Искусственные спутники Земли
На прошлом уроке мы познакомились с особенностями движения тел по окружности c постоянной по модулю скоростью. При таком движении тело обладает центростремительным ускорением, которое всегда направлено к центру окружности, и скоростью, направленной по касательной в каждой точке траектории (рисунок 1). Центростремительное ускорение мы можем рассчитать по формуле: $a_ц = \frac{{\upsilon}^2}{r}$.
Примером такого движения может являться движение планет вокруг Солнца или спутников вокруг планет. На данном уроке мы более подробно рассмотрим второй пример: установим связь между обращением спутника вокруг планеты и свободным падением, узнаем, от чего зависит скорость спутника на круговой орбите и как ее рассчитать.
Движение по окружности без сопротивления
Вернемся к одному из опытов, который помог нам разобраться с новым материалом в прошлом уроке. Возьмем упругий резиновый шнур. Закрепим один его конец на столе в точке O. Ко второму концу прикрепим небольшой шарик (рисунок 2). Если мы толкнем шарик в направлении к точке B, то он опишет дугу AC и через какое-то время остановится.
Почему он остановился? Это результат действия на шарик тормозящих сил: силы трения и силы сопротивления воздуха. Если мы уменьшим действие этих сил (например, уменьшим действие силы трения, используя смазку или идеально гладкую поверхность), то шарик сможет сделать вокруг точки O одну или несколько окружностей, но потом все равно остановится.
Если бы для нас было возможным устранить все силы сопротивления движению, то наш шарик двигался бы бесконечно по окружности (или другой замкнутой кривой) вокруг точки O.
Именно таким образом движутся планеты вокруг Солнца (рисунок 3) и спутники вокруг планет.
Естественные и искусственные спутники планет
Все спутники делятся на две категории: естественные и искусственные (рисунок 4).
Естественные спутники
Естественные спутники планет — это космические тела естественного происхождения, которые вращаются вокруг планет.
У нашей планеты всего один естественный спутник — Луна. Она относится к категории именно естественных, ведь она появилась в процессе эволюции вселенной. У Марса 2 спутника: Фобос и Деймос. Вокруг Урана движутся 27 естественный спутников, Нептуна — 14 (рисунок 5), а Юпитера — 95. По состоянию на 2023 год рекордсменом по количеству спутников в Солнечной системе является Сатурн — у него их 146. При этом некоторые из спутников движутся по часовой стрелке, когда все остальные планеты и их спутники движутся против часовой стрелки, если смотреть со стороны северного полюса эклиптики.
Искусственные спутники
Другая категория спутников — это искусственные спутники (рисунок 6).
Искусственные спутники — это космические аппараты, созданные людьми, которые позволяют вести наблюдения за планетой, вокруг которой они обращаются, а также другими астрономическими объектами из космоса.
Искусственные спутники запускают не только вокруг Земли. Вокруг Луны, Марса, венеры также вращаются космические аппараты. Даже Солнце имеет искусственные спутники. Но в большинстве случаев — это следствие неудачных запусков, а не изначальная цель полета космического аппарата.
В данный момент для нас представляют наибольший интерес искусственные спутники Земли (сокращенно ИСЗ).
Траектория движения искусственных спутников Земли
Начнем более подробно рассматривать вопрос о запуске и движении искусственных спутников Земли. При каких условиях тело может стать таким спутником?
Изначально любое тело, обладающее некоторой массой, по закону всемирного тяготения будет притягиваться Землей. Например, если мы отпустим камень, который держали в руке, то он упадет на землю под действием силы тяжести (рисунок 7). Двигаться при этом он будет по прямой траектории.
Если же мы бросим этот камень горизонтально, то траекторией его движения будет кривая линия (рисунок 8).
Измерения нам покажут, что скорости камня во время броска и в конце полета будут различными. Скорость в конце полета $\vec \upsilon$ будет больше, ведь сила тяжести будет придавать камню ускорение $g$.
Если бросить тот же камень с большой силой, то он будет обладать большой скоростью. Вследствие этого он пролетит большее расстояние и упадет дальше от места броска (рисунок 9).
В таких ситуациях мы считаем поверхность Земли плоской. И делаем мы это обоснованно, ведь рассматриваемые расстояния, например, в несколько километров, позволяют нам использовать такое приближение, так как радиус Земли намного больше таких расстояний.
Но ведь можно сообщить телу (тому же камню) настолько большую скорость, что при рассмотрении расстояния его полета будет заметна кривизна поверхности Земли (рисунок 10). В случае таких расстояний мы уже не можем рассматривать поверхность Земли как плоскость. Необходимо учитывать, что наша планета имеет шарообразную форму.
Постепенно придавая телу все большую и большую скорость, можно обнаружить такую ее величину, при которой тело не упадет на землю. В полете на тело будет действовать сила тяжести. Скорость тела будет постоянно изменять свое направление, а траектория будет искривляться (рисунок 11). Когда произойдет такое искривление траектории, тело может оказаться в таком месте, где поверхность Земли так же закругляется. В итоге, тело будет двигаться параллельно поверхности Земли.
Итак, при рассмотрении такого движения на малом отрезке модуль скорости у нас не изменился, а скорость направлена параллельно земной поверхности. При этом высота над поверхностью Земли тоже не изменилась. Получается, что тело стало двигаться по окружности с постоянной по модулю скоростью. При таком движении имеет место центростремительное ускорение, которое и создает сила тяжести (рисунок 12).
На высотах, где возможно такое движение, отсутствует сопротивление воздуха. Значит, тело движется только под действием силы тяжести — находится в состоянии свободного падения. Такое тело мы можем назвать искусственным спутником Земли.
Спутники планет (и естественные, и искусственные) находятся в состоянии свободного падения.
Почему Луна не падает на Землю?
Луна, являясь естественным спутником Земли, движется вокруг Земли вышеописанным образом уже около четырех миллиардов лет.
Во время своего движения Луна находится в состоянии свободного падения — движется только под действием силы тяжести. Она не падает на Землю, потому что обладает достаточно большой скоростью, которая направлена по касательной к круговой траектории (рисунок 13). Если каким-то образом уменьшить скорость движения Луны, то да, закручиваясь по спирали, она рано или поздно упадет на Землю. Но с той скоростью движения, которую она имеет сейчас, падение просто невозможно.
С другой стороны, можно представить что сила тяжести, которая удерживает спутник на круговой орбите, играет роль веревки. Если «отключить» гравитацию («перерезать веревку»), то Луна улетит по касательной (рисунок 14) в космическое пространство.
Первая космическая скорость
Итак, для того чтобы тело стало искусственным спутником Земли, его необходимо вывести за пределы земной атмосферы (чтобы исключить сопротивление воздуха) и сообщить определенную скорость, направленную по касательной к окружности, по которой это тело впоследствии будет двигаться.
Сопротивление воздуха практически отсутствует с высоты в $300 \space км$ от поверхности Земли. Поэтому обычно спутники запускают на высоте в $300-400 \space км$ от земной поверхности.
Так как тело движется только под действием силы тяжести, именно эта сила и будет сообщать ему ускорение, равное ускорению свободного падения $g$. В нашем случае движения по круговой орбите оно будет являться центростремительным ускорением (рисунок 15).
Центростремительное ускорение можно рассчитать по формуле:
$a_ц = \frac{\upsilon^2}{r}$.
Для спутника $g = a_ц$. Тогда мы можем записать:
$g = \frac{\upsilon^2}{r}$.
Выразим отсюда скорость:
${\upsilon}^2 = gr$,
$\upsilon = \sqrt{gr}$.
Эта скорость называется первой космической скоростью.
Первая космическая (круговая) скорость — это скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно обращалось по окружности вокруг Земли на расстоянии $r$ от ее центра:
$\upsilon = \sqrt{gr}$.
Расчет первой космической скорости вблизи поверхности Земли
Если спутник движется на малой по сравнению с земным радиусом высоте $h$ над поверхностью Земли, то мы можем ей пренебречь. Тогда мы будем считать, что $r \approx R_з$. Ускорение свободного падения вблизи земной поверхности обозначим как $g_0$.
Тогда формулу для расчета первой космической скорости спутника, который движется вблизи поверхности Земли, мы можем записать так:
$\upsilon = \sqrt{g_0 R_з}$.
Радиус Земли приблизительно равен $6.4 \cdot 10^6 \space м$, а ускорение свободного падения равно $9.8 \frac{м}{с^2}$. Рассчитаем скорость:
$\upsilon = \sqrt{9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \space м} = \sqrt{62.72 \frac{м^2}{с^2} \cdot 10^6} \approx 7.9 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 7.9 \frac{км}{с}$.
Первая космическая скорость на разных высотах
Теперь разберемся с ситуацией, когда высотой над поверхностью Земли нельзя пренебречь (рисунок 16).
Расстояние от центра Земли до спутника:
$r = R_з \space + \space h$, где $R_з$ — радиус Земли, а $h$ — расстояние от поверхности Земли до спутника.
При удалении от земной поверхности уменьшается величина ускорения свободного падения. Эту величину мы можем рассчитать по формуле:
$g \approx G \frac{M_з}{{R_з \space + \space h}^2}$.
Подставим эти выражения в формулу $\upsilon = \sqrt{gr}$:
$\upsilon \approx \sqrt{G \frac{M_з}{{R_з \space + \space h}^2} \cdot (R_з \space + \space h)} \approx \sqrt{G\frac{M_з}{R_з \space + \space h}}$.
Так мы с вами получили формулу, по которой можно вычислить первую космическую скорость спутника любой планеты. Для этого вместо массы и радиуса именно Земли нужно подставить соответственно массу и радиус другой планеты.
$\upsilon \approx \sqrt{G\frac{M_з}{R_з \space + \space h}}$
Из этой формулы мы видим, что чем больше высота $h$, тем меньшую скорость нужно сообщить телу, которое мы хотим сделать спутником. Например, на высоте $300 \space км$ над поверхность Земли первая космическая скорость приблизительно равна $7.8 \frac{км}{с}$, а на высоте в $500 \space км$ — $7.6 \frac{км}{с}$.
Если скорость тела превышает первую космическую скорость на этой высоте, то его орбита будет представлять собой эллипс (рисунок 17).
Чем больше скорость, тем более вытянутой будет орбита. При скорости в $11.2 \frac{км}{с}$, тело преодолеет притяжение к Земле и улетит в космическое пространство. Эту скорость называют второй космической скоростью.
Иногда также говорят о третьей и четвертой космических скоростях. Если придать телу третью космическую скорость, то оно преодолеет притяжение Солнца и покинет пределы Солнечной системы. А с четвертой космической скоростью тело сможет преодолеть притяжение галактики и покинуть ее. На данный момент времени всего несколько спутников покинуло пределы Солнечной системы, а вот пределы галактики Млечный путь — пока ни одного.
Первый искусственный спутник Земли
Первая космическая скорость составляет приблизительно $7.9 \frac{км}{с}$. Это почти $29 \space 000 \frac{км}{ч}$! Придать телу такую огромную скорость совсем непросто. Для запуска спутников используют ракеты. Их двигатели должны совершить работу против сил тяжести и сил сопротивления воздуха, и, конечно, сообщить телу необходимую скорость.
Первый удачный запуск был совершен 4 октября 1957 года. Советский союз запустил на орбиту Земли первый в истории искусственный спутник (рисунок 18).
В настоящее время десятки и сотни спутников запускаются каждый год для различных научных исследований и прикладных задач. Например, для исследования атмосферы, прогнозирования погоды и стихийных бедствий, осуществления теле- и радиосвязи и др.
Упражнения
Упражнение № 1
Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте $2600 \space км$ над поверхностью Земли. Масса Земли составляет $6 \cdot 10^{24} \space кг$, а радиус — $6.4 \cdot 10^6 \space м$.
Дано:
$h = 2600 \space км$
$M_з = 6 \cdot 10^{24} \space кг$
$R_з = 6.4 \cdot 10^6 \space м$
$G = 6.67 \cdot 10^{−11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$
СИ:
$h = 2.6 \cdot 10^6 \space м$
$\upsilon — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Если спутник движется по круговой орбите, значит, он движется с первой космической скоростью. Рассчитать ее мы можем по формуле:
$\upsilon \approx \sqrt{G\frac{M_з}{R_з \space + \space h}}$.
$\upsilon \approx \sqrt{6.67 \cdot 10^{−11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \frac{6 \cdot 10^{24} \space кг}{6.4 \cdot 10^6 \space м \space + \space 2.6 \cdot 10^6 \space м}} \approx \sqrt{44.47 \cdot 10^6 \frac{Н \cdot м}{кг}} \approx \sqrt{44.47 \cdot 10^6 \frac{кг \cdot \frac{м}{с^2} \cdot м}{c}} \approx \sqrt{44.47 \cdot 10^6 \frac{м^2}{с^2}} \approx 6.67 \cdot 10^3 \frac{м}{с} \approx 6670 \frac{м}{с}$.
Ответ: $\upsilon \approx 6670 \frac{м}{с}$.
Упражнение № 2
Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью $1.67 \frac{км}{с}$. Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на ее поверхности равно $1.6 \frac{м}{с^2}$.
Дано:
$\upsilon = 1.67 \frac{км}{с}$
$g_л = 1.6 \frac{м}{с^2}$
$G = 6.67 \cdot 10^{−11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$
CИ:
$\upsilon = 1.67 \cdot 10^3 \frac{м}{с}$
$R_л — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
В условии задачи ничего не сказано о высоте над поверхностью Луны, поэтому мы можем ей пренебречь. Тогда мы можем использовать формулу:
$\upsilon = \sqrt{gr} = \sqrt{g_л R_л}$.
Выразим отсюда радиус Луны:
${\upsilon}^2 = g_л R_л$,
$R_л = \frac{{\upsilon}^2}{g_л}$.
Рассчитаем радиус Луны:
$R_л = \frac{{1.67 \cdot 10^3 \frac{м}{с}}^2}{1.6 \frac{м}{с^2}} = \frac{2.7889 \cdot 10^6 \frac{м^2}{с^2}}{1.6 \frac{м}{с^2}} \approx 1.74 \cdot 10^6 \space м$.
Ответ: $R_л \approx 1.74 \cdot 10^6 \space м$.
Часто задаваемые вопросы
Примером такого движения будет являться обращение планет вокруг Солнца и спутников вокруг планет.
Спутники не падают на Землю, так как двигаются в безвоздушном пространстве с достаточно большой скоростью, направленной по касательной к траектории их движения.
Обращение спутника вокруг Земли можно считать свободным падением, так как он движется под действием только силы тяжести.
Чтобы тело стало искусственным спутником Земли, необходимо сообщить ему первую космическую скорость.
Сила тяжести, действующая на спутник, который движется по круговой орбите, сообщает ему центростремительное ускорение, равное ускорению свободного падения:
$a_ц = g$,
$g = \frac{{\upsilon}^2}{r}$,
$\upsilon = \sqrt{gr} = \sqrt{g_0 R_з}$, где $g_0$ — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли, $R_з$ — радиус Земли.
Спутник, обладающий первой космической скоростью, движется по круговой орбите вокруг планеты. Спутник, обладающий второй космической скоростью, преодолевает притяжение планеты и уходит в космическое пространство.
Ка пространство.
5
5
1
Хотите оставить комментарий?
Войти