14. Стереометрическая задача: Углы: прямые, плоскости

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$
Сторона основания $AB = 8.$
Боковое ребро $SC = 6.$
Точка $M$ — середина $SA.$
Точка $K$ — середина $SC.$

$а)$ Доказательство перпендикулярности $SB$ и $MK$:

$1.$ $MK$ — средняя линия $\triangle ASC$ $\Rightarrow$ $MK \parallel AC.$

$2.$ Диагонали квадрата $AC \perp BD.$
В правильной пирамиде $SB$ проектируется на $BD.$

$3.$ По теореме о трех перпендикулярах:
$AC \perp BD$ и $AC \perp SO$ $\Rightarrow$ $AC \perp SB.$
Следовательно, $SB \perp MK.$

$б)$ Найдем угол между плоскостями $BMK$ и $ABC{:}$

$1.$ Найдем параметры пирамиды: $$OB = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}.$$ $$SO = \sqrt{6^2-(4\sqrt{2})^2} = 2.$$ $2.$ Построим линейный угол:
$Q$ — середина $MK$ $\Rightarrow$ $QO = \frac{SO}{2} = 1.$
$QB \perp MK$, $OB \perp MK.$
Угол между плоскостями — $\angle QBO.$

$3.$ Вычислим тангенс угла: $$\tg \angle QBO = \frac{QO}{OB} = \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}$$

Ответ:
$а)$ Прямые $SB$ и $MK$ перпендикулярны.
$б)$ Угол между плоскостями $BMK$ и $ABC$ — $\arctg \dfrac{\sqrt{2}}{8}.$

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ имеет:
Сторону основания $AB = BC = AC = 2.$
Диагональ боковой грани $A_1B = \sqrt{5}.$

Требуется:
$а)$ Доказать, что объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$ вдвое больше объема пирамиды $AA_1BC.$
$б)$ Найти угол между плоскостью $A_1BC$ и плоскостью основания призмы.

$а)$ Доказательство соотношения объемов:

$1.$ Объем призмы: $$V_{\text{призмы}} = S_{\triangle ABC} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 \cdot h = \sqrt{3}h$$ $2.$ Объем пирамиды $AA_1BC$: $$V_1 = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \cdot h = \frac{\sqrt{3}h}{3}$$
$3.$ Объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$:$$V_2 = V_{\text{призмы}}-V_1 = \sqrt{3}h-\frac{\sqrt{3}h}{3} = \frac{2\sqrt{3}h}{3}$$
$4.$ Соотношение объемов: $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\dfrac{2\sqrt{3}h}{3}}{\dfrac{\sqrt{3}h}{3}} = 2$$

$б)$ Нахождение угла между плоскостями:

$1.$ Найдем высоту призмы:
Из прямоугольного треугольника $A_1AB$: $$AA_1 = \sqrt{A_1B^2-AB^2} = \sqrt{5-4} = 1$$

$2.$ Построим линейный угол:
Пусть $H$ — середина $BC$, тогда:
$AH = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$ (высота основания).
$A_1H = \sqrt{A_1A^2 + AH^2} = \sqrt{1 + 3} = 2.$

$3.$ Угол между плоскостями — угол $\angle A_1HA$: $$\tan \angle A_1HA = \frac{AA_1}{AH} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$\angle A_1HA = 30^\circ$$

Ответ:
$а)$ Объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$ действительно в $2$ раза больше объема пирамиды $AA_1BC.$
$б)$ Угол между плоскостями равен $30^\circ.$

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ имеет:

Сторону основания $AB = BC = CD = AD = 4$
Боковое ребро $SA = SB = SC = SD = 7$
Точки $N$ на $CD$ и $K$ на $SC$ такие, что $DN : NC = 1 : 3$ и $SK : KC = 1 : 3$

$а)$ Доказательство параллельности $\alpha$ и $SA{:}$

$1.$ Построим плоскость $\alpha$:
— Проведем $MN \parallel BC$ $($ $M \in AB).$
— Проведем $KP \parallel BC$ $($ $P \in SB).$
— Плоскость $NMP$ — искомая $\alpha.$

$2.$ По теореме о пропорциональных отрезках:
$$\frac{SP}{PB} = \frac{AM}{MB} = \frac{1}{3}$$

$3.$ Отсюда $PM \parallel SA$ (по обратной теореме Фалеса), значит $\alpha \parallel SA$

$б)$ Нахождение угла между $\alpha$ и $SBC{:}$

$1.$ Установим, что $\alpha \parallel SDA$:
$NM \parallel DA$ (по построению).
$PM \parallel SA$ (из пункта а).
Значит $\alpha \parallel SDA.$

$2.$ Угол между $\alpha$ и $SBC$ равен углу между $SDA$ и $SBC.$

$3.$ Найдем этот угол:
Пусть $O$ — центр основания, $F$ — середина $BC.$
$OF = 2$, $SF = \sqrt{7^2-2^2} = 3\sqrt{5}.$
$\sin \phi = \frac{OF}{SF} = \dfrac{2}{3\sqrt{5}}.$
Искомый угол: $2\arcsin \dfrac{2}{3\sqrt{5}}.$

Ответ:
$а)$ Плоскость $\alpha$ действительно параллельна прямой $SA.$

$б)$ Угол между плоскостями равен $2\arcsin \dfrac{2}{3\sqrt{5}}.$

В треугольной пирамиде $ABCD$ заданы:
Длины ребер: $AB = BD = DC = AC = 5.$
Двугранные углы при ребрах $AD$ и $BC$ равны.

$а)$ Доказательство равенства ребер $AD$ и $BC$:

$1.$ Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$:
Они равны по трем сторонам ($AB = DB = 5$, $AC = DC = 5$, $BC$ — общая).

$2.$ Проведем высоты:
$AM \perp BC$ и $DM \perp BC$ (так как треугольники равнобедренные).
Получаем равные углы $\angle AMD = \angle BNC = \varphi.$

$3.$ Из равенства треугольников следует:
$$AN = BM = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$$ Следовательно, $AD = BC.$

$б)$ Вычисление объема пирамиды при $\varphi = 60^\circ$:

$1.$ Найдем длину ребер:
Из равностороннего треугольника $AMD$ $($ $\varphi = 60^\circ){:}$ $$AD = BC = 2\sqrt{5}$$ $2.$ Вычислим площадь основания $ABC{:}$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 10$$ $3.$ Найдем высоту пирамиды $DO{:}$ $$DO = AD \cdot \sin 60^\circ = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{15}$$ $4.$ Объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot \sqrt{15} = \frac{10\sqrt{15}}{3}$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что $AD = BC.$
$б)$ Объем пирамиды равен $\dfrac{10\sqrt{15}}{3}.$

В треугольной пирамиде $PABC$ с основанием $ABC$ известно:
$AB = 13,$ $PB = 15.$
$\cos \angle PBA = \dfrac{48}{65}.$
Основание высоты пирамиды — точка $C.$
$PA \perp BC.$

$а)$ Доказательство прямоугольности $\triangle ABC{:}$

$1.$ Так как $C$ — основание высоты, то $PC \perp (ABC)$, значит $PC \perp BC.$

$2.$ По условию $PA \perp BC$, следовательно $BC \perp$ плоскости $APC.$

$3.$ Отсюда $BC \perp AC$, что доказывает прямоугольность $\triangle ABC$ при вершине $C.$

$б)$ Вычисление объема пирамиды:

$1.$ Найдем $PA$ по теореме косинусов:
$$PA = \sqrt{PB^2 + AB^2-2 \cdot PB \cdot AB \cdot \cos \angle PBA}$$ $$PA = \sqrt{225 + 169-2 \cdot 15 \cdot 13 \cdot \frac{48}{65}} = \sqrt{106}$$
$2.$ Решим систему уравнений:
$$AC^2 + BC^2 = AB^2 = 169 $$ $$AC^2 + PC^2 = PA^2 = 106 $$ $$BC^2 + PC^2 = PB^2 = 225$$ $3.$ Найдем неизвестные: $$PC^2 = 81 \Rightarrow PC = 9 $$ $$BC^2 = 144 \Rightarrow BC = 12 $$ $$AC^2 = 25 \Rightarrow AC = 5$$ $4.$ Объем пирамиды:
$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot PC = \frac{1}{3} \cdot \frac{5 \cdot 12}{2} \cdot 9 = 90$$

Ответ:
$а)$ Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C.$
$б)$ Объем пирамиды равен $90.$

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$:

Основание $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB = 6,$ $AD = 8.$
Диагонали пересекаются в точке $O.$
Плоскость через $AC$, параллельная $B_1D$, пересекает $BB_1$ в точке $K.$
Угол между плоскостями $ABC$ и $ACK$ равен $45^\circ.$

$а)$ Доказательство неравенства угла:

$1.$ Найдем высоту $BH$ треугольника $ABC{:}$
$$BH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8$$ $2.$ Из условия $\angle KHB = 45^\circ$ следует:
$$KB = BH = 4.8$$ $$BO = \frac{AC}{2} = 5$$ $3.$ В треугольнике $KOB{:}$ $$\frac{KB}{BO} = \frac{4.8}{5} = 0.96 < 1$$
Следовательно, $\angle KOB < 45^\circ.$

$б)$ Вычисление объема параллелепипеда:

$1.$ Из параллельности $KO \parallel B_1D$ следует:
$$BB_1 = 2BK = 2BH = 9.6$$ $2.$ Объем параллелепипеда:
$$V = AB \cdot BC \cdot BB_1 = 6 \cdot 8 \cdot 9.6 = 460.8 $$
Или в дробном виде:
$$V = \frac{48}{5} \cdot 48 = \frac{2\space304}{5}$$

Ответ:
$а)$ Угол $KOB$ действительно меньше $45^\circ.$
$б)$ Объем параллелепипеда равен $\dfrac{2\space304}{5}.$