14. Стереометрическая задача: #195710

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$
Сторона основания $AB = 8.$
Боковое ребро $SC = 6.$
Точка $M$ — середина $SA.$
Точка $K$ — середина $SC.$

$а)$ Доказательство перпендикулярности $SB$ и $MK$:

$1.$ $MK$ — средняя линия $\triangle ASC$ $\Rightarrow$ $MK \parallel AC.$

$2.$ Диагонали квадрата $AC \perp BD.$
В правильной пирамиде $SB$ проектируется на $BD.$

$3.$ По теореме о трех перпендикулярах:
$AC \perp BD$ и $AC \perp SO$ $\Rightarrow$ $AC \perp SB.$
Следовательно, $SB \perp MK.$

$б)$ Найдем угол между плоскостями $BMK$ и $ABC{:}$

$1.$ Найдем параметры пирамиды: $$OB = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}.$$ $$SO = \sqrt{6^2-(4\sqrt{2})^2} = 2.$$ $2.$ Построим линейный угол:
$Q$ — середина $MK$ $\Rightarrow$ $QO = \frac{SO}{2} = 1.$
$QB \perp MK$, $OB \perp MK.$
Угол между плоскостями — $\angle QBO.$

$3.$ Вычислим тангенс угла: $$\tg \angle QBO = \frac{QO}{OB} = \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}$$

Ответ:
$а)$ Прямые $SB$ и $MK$ перпендикулярны.
$б)$ Угол между плоскостями $BMK$ и $ABC$ — $\arctg \dfrac{\sqrt{2}}{8}.$