14. Стереометрическая задача: #195711

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ имеет:
Сторону основания $AB = BC = AC = 2.$
Диагональ боковой грани $A_1B = \sqrt{5}.$

Требуется:
$а)$ Доказать, что объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$ вдвое больше объема пирамиды $AA_1BC.$
$б)$ Найти угол между плоскостью $A_1BC$ и плоскостью основания призмы.

$а)$ Доказательство соотношения объемов:

$1.$ Объем призмы: $$V_{\text{призмы}} = S_{\triangle ABC} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 \cdot h = \sqrt{3}h$$ $2.$ Объем пирамиды $AA_1BC$: $$V_1 = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \cdot h = \frac{\sqrt{3}h}{3}$$
$3.$ Объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$:$$V_2 = V_{\text{призмы}}-V_1 = \sqrt{3}h-\frac{\sqrt{3}h}{3} = \frac{2\sqrt{3}h}{3}$$
$4.$ Соотношение объемов: $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\dfrac{2\sqrt{3}h}{3}}{\dfrac{\sqrt{3}h}{3}} = 2$$

$б)$ Нахождение угла между плоскостями:

$1.$ Найдем высоту призмы:
Из прямоугольного треугольника $A_1AB$: $$AA_1 = \sqrt{A_1B^2-AB^2} = \sqrt{5-4} = 1$$

$2.$ Построим линейный угол:
Пусть $H$ — середина $BC$, тогда:
$AH = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$ (высота основания).
$A_1H = \sqrt{A_1A^2 + AH^2} = \sqrt{1 + 3} = 2.$

$3.$ Угол между плоскостями — угол $\angle A_1HA$: $$\tan \angle A_1HA = \frac{AA_1}{AH} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$\angle A_1HA = 30^\circ$$

Ответ:
$а)$ Объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$ действительно в $2$ раза больше объема пирамиды $AA_1BC.$
$б)$ Угол между плоскостями равен $30^\circ.$