14. Стереометрическая задача: #210547

$а)$ Заметим, что $AK = 8$ и $AL = 4.$
По теореме косинусов:
$$KL^2 = 8^2 + 4^2-2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 64 + 16-32 = 48$$ тогда $AK^2 = AL^2 + KL^2,$ откуда $\angle ALK = 90^\circ$ по теореме, обратной теореме Пифагора.

Учитывая, что плоскости $ACD$ и $ABD$ перпендикулярны, проекция прямой $CD$ на плоскость $ABD$ — это прямая $AD,$ а значит, по теореме о трех перпендикулярах отрезок $KL$ перпендикулярен ребру $CD.$

По теореме косинусов для треугольника $LMD{:}$
$$LM^2 = 6^2 + 3^2- 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \dfrac{1}{2} = 36 + 9 -18 = 27$$ значит, $LM^2 + MD^2 = 27 + 9 = 36 = LD^2,$ откуда $\angle LMD = 90^\circ.$

Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости плоскость $KLM$ перпендикулярна ребру $CD,$ поскольку отрезок $KL$ перпендикулярен ребру $CD$ и отрезок $LM$ перпендикулярен ребру $CD.$

$б)$ Пусть прямые $LK$ и $BD$ пересекаются в точке $S.$ Тогда по теореме Менелая:
$$\dfrac{AL}{LD} \cdot \dfrac{DS}{SB} \cdot \dfrac{BK}{KA} = 1 \Rightarrow \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{DS}{SB} \cdot \dfrac{2}{8} = 1 \Rightarrow \dfrac{DS}{SB} = 6$$

Пусть отрезок $MS$ пересекает ребро $BC$ в точке $P.$
По теореме Менелая для треугольника $BCD{:}$
$$\dfrac{DS}{SB} \cdot \dfrac{BP}{PC} \cdot \dfrac{CM}{MD} = 1 \Rightarrow 6 \cdot \dfrac{BP}{PC} \cdot \dfrac{7}{3} = 1 \Rightarrow \dfrac{BP}{PC} = \dfrac{1}{14}$$

Пусть $H$ — середина $AD.$ Тогда:
$$BC^2 = CH^2 + BH^2 = (5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2 = 75 + 75 = 150 \Rightarrow BC = \sqrt{150} = 5\sqrt{6}$$ Тогда, $BP = \dfrac{1}{15} \cdot BC = \dfrac{5\sqrt{6}}{15} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}.$

Найдем косинус угла $ABC$ по теореме косинусов:
$$\cos \angle ABC = \dfrac{AB^2 + BC^2-AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \dfrac{100 + 150 -100}{2 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{6}} = \dfrac{150}{100\sqrt{6}} = \dfrac{3}{2\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}$$

По теореме косинусов для треугольника $BPK{:}$
$$KP^2 = BP^2 + BK^2 -2 \cdot BP \cdot BK \cdot \cos \angle ABC = \left( \dfrac{\sqrt{6}}{3} \right)^2 + 2^2- 2 \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{3} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{4} = \dfrac{6}{9} + 4 -2 = \dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{8}{3}$$
Следовательно, $KP = \sqrt{\dfrac{8}{3}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}.$

Ответ:
$а)$ Плоскость $KLM$ перпендикулярна ребру $CD.$
$б)$ Длина отрезка пересечения равна $\dfrac{2\sqrt{6}}{3}.$