14. Стереометрическая задача: #195814

В треугольной пирамиде $PABC$ с основанием $ABC$ известно:
$AB = 13,$ $PB = 15.$
$\cos \angle PBA = \dfrac{48}{65}.$
Основание высоты пирамиды — точка $C.$
$PA \perp BC.$

$а)$ Доказательство прямоугольности $\triangle ABC{:}$

$1.$ Так как $C$ — основание высоты, то $PC \perp (ABC)$, значит $PC \perp BC.$

$2.$ По условию $PA \perp BC$, следовательно $BC \perp$ плоскости $APC.$

$3.$ Отсюда $BC \perp AC$, что доказывает прямоугольность $\triangle ABC$ при вершине $C.$

$б)$ Вычисление объема пирамиды:

$1.$ Найдем $PA$ по теореме косинусов:
$$PA = \sqrt{PB^2 + AB^2-2 \cdot PB \cdot AB \cdot \cos \angle PBA}$$ $$PA = \sqrt{225 + 169-2 \cdot 15 \cdot 13 \cdot \frac{48}{65}} = \sqrt{106}$$
$2.$ Решим систему уравнений:
$$AC^2 + BC^2 = AB^2 = 169 $$ $$AC^2 + PC^2 = PA^2 = 106 $$ $$BC^2 + PC^2 = PB^2 = 225$$ $3.$ Найдем неизвестные: $$PC^2 = 81 \Rightarrow PC = 9 $$ $$BC^2 = 144 \Rightarrow BC = 12 $$ $$AC^2 = 25 \Rightarrow AC = 5$$ $4.$ Объем пирамиды:
$$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot PC = \frac{1}{3} \cdot \frac{5 \cdot 12}{2} \cdot 9 = 90$$

Ответ:
$а)$ Треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C.$
$б)$ Объем пирамиды равен $90.$