15. Стереометрическая задача: #195813

В треугольной пирамиде $ABCD$ заданы:
Длины ребер: $AB = BD = DC = AC = 5.$
Двугранные углы при ребрах $AD$ и $BC$ равны.

$а)$ Доказательство равенства ребер $AD$ и $BC$:

$1.$ Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$:
Они равны по трем сторонам ($AB = DB = 5$, $AC = DC = 5$, $BC$ — общая).

$2.$ Проведем высоты:
$AM \perp BC$ и $DM \perp BC$ (так как треугольники равнобедренные).
Получаем равные углы $\angle AMD = \angle BNC = \varphi.$

$3.$ Из равенства треугольников следует:
$$AN = BM = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$$ Следовательно, $AD = BC.$

$б)$ Вычисление объема пирамиды при $\varphi = 60^\circ$:

$1.$ Найдем длину ребер:
Из равностороннего треугольника $AMD$ $($ $\varphi = 60^\circ){:}$ $$AD = BC = 2\sqrt{5}$$ $2.$ Вычислим площадь основания $ABC{:}$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 10$$ $3.$ Найдем высоту пирамиды $DO{:}$ $$DO = AD \cdot \sin 60^\circ = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{15}$$ $4.$ Объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot \sqrt{15} = \frac{10\sqrt{15}}{3}$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что $AD = BC.$
$б)$ Объем пирамиды равен $\dfrac{10\sqrt{15}}{3}.$