14. Стереометрическая задача: #195713

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ имеет:

Сторону основания $AB = BC = CD = AD = 4$
Боковое ребро $SA = SB = SC = SD = 7$
Точки $N$ на $CD$ и $K$ на $SC$ такие, что $DN : NC = 1 : 3$ и $SK : KC = 1 : 3$

$а)$ Доказательство параллельности $\alpha$ и $SA{:}$

$1.$ Построим плоскость $\alpha$:
— Проведем $MN \parallel BC$ $($ $M \in AB).$
— Проведем $KP \parallel BC$ $($ $P \in SB).$
— Плоскость $NMP$ — искомая $\alpha.$

$2.$ По теореме о пропорциональных отрезках:
$$\frac{SP}{PB} = \frac{AM}{MB} = \frac{1}{3}$$

$3.$ Отсюда $PM \parallel SA$ (по обратной теореме Фалеса), значит $\alpha \parallel SA$

$б)$ Нахождение угла между $\alpha$ и $SBC{:}$

$1.$ Установим, что $\alpha \parallel SDA$:
$NM \parallel DA$ (по построению).
$PM \parallel SA$ (из пункта а).
Значит $\alpha \parallel SDA.$

$2.$ Угол между $\alpha$ и $SBC$ равен углу между $SDA$ и $SBC.$

$3.$ Найдем этот угол:
Пусть $O$ — центр основания, $F$ — середина $BC.$
$OF = 2$, $SF = \sqrt{7^2-2^2} = 3\sqrt{5}.$
$\sin \phi = \frac{OF}{SF} = \dfrac{2}{3\sqrt{5}}.$
Искомый угол: $2\arcsin \dfrac{2}{3\sqrt{5}}.$

Ответ:
$а)$ Плоскость $\alpha$ действительно параллельна прямой $SA.$

$б)$ Угол между плоскостями равен $2\arcsin \dfrac{2}{3\sqrt{5}}.$