ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
14. Стереометрическая задача: #195830
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ основание $ABCD$ является прямоугольником со сторонами$ 6$ и $8,$ диагонали которого пересекаются в точке $O.$ Плоскость, содержащая диагональ $AC$ и параллельная прямой $B_1D,$ пересекает ребро $BB_1$ в точке $K.$ Угол между плоскостями $ABC$ и $ACK $ равен $45^\circ.$
$а)$ Докажите, что угол KOB меньше $45^\circ.$
$б)$ Найдите объем прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1.$
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$:
Основание $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB = 6,$ $AD = 8.$
Диагонали пересекаются в точке $O.$
Плоскость через $AC$, параллельная $B_1D$, пересекает $BB_1$ в точке $K.$
Угол между плоскостями $ABC$ и $ACK$ равен $45^\circ.$
$а)$ Доказательство неравенства угла:
$1.$ Найдем высоту $BH$ треугольника $ABC{:}$
$$BH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8$$ $2.$ Из условия $\angle KHB = 45^\circ$ следует:
$$KB = BH = 4.8$$ $$BO = \frac{AC}{2} = 5$$ $3.$ В треугольнике $KOB{:}$ $$\frac{KB}{BO} = \frac{4.8}{5} = 0.96 < 1$$
Следовательно, $\angle KOB < 45^\circ.$
$б)$ Вычисление объема параллелепипеда:
$1.$ Из параллельности $KO \parallel B_1D$ следует:
$$BB_1 = 2BK = 2BH = 9.6$$ $2.$ Объем параллелепипеда:
$$V = AB \cdot BC \cdot BB_1 = 6 \cdot 8 \cdot 9.6 = 460.8 $$
Или в дробном виде:
$$V = \frac{48}{5} \cdot 48 = \frac{2\space304}{5}$$
Ответ:
$а)$ Угол $KOB$ действительно меньше $45^\circ.$
$б)$ Объем параллелепипеда равен $\dfrac{2\space304}{5}.$
20
