20. Текстовые задачи: Задачи на проценты, сплавы и смеси

$1.$ Найдем число жителей в $2009$ году:
$40\space000 \cdot 1.08 = 43\space200$

$2.$ Найдем число жителей в $2010$ году:
$43\space200 \cdot 1.09 = 47\space088$

Ответ: В $2010$ году в квартале проживало $47\space088$ человек.

$1.$ Пусть начальная стоимость акций равна $100$ единиц.

$2.$ В понедельник акции подорожали на $x$ $\%$, их стоимость стала:
$$100 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)$$
$3.$ Во вторник акции подешевели на $x\%$, их стоимость стала:
$$100 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 — \frac{x}{100}\right)$$
$4.$ По условию, конечная стоимость акций на $4\%$ меньше начальной:
$$100 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1-\frac{x}{100}\right) = 100 \cdot 0.96$$
$5.$ Упростим уравнение:
$$\left(1 + \frac{x}{100}\right)\left(1-\frac{x}{100}\right) = 0.96$$ $$1-\left(\frac{x}{100}\right)^2 = 0.96$$ $$\left(\frac{x}{100}\right)^2 = 0.04$$ $$\frac{x}{100} = 0.2$$ $$x = 20$$

Ответ: в понедельник акции подорожали на $20\%.$

$1.$ Стоимость четырех рубашек составляет $92\%$ стоимости куртки.

$2.$ Значит, стоимость одной рубашки составляет:
$\dfrac{92\%}{4} = 23\%$ стоимости куртки.

$3.$ Поэтому стоимость пяти рубашек составляет:
$5 \cdot 23\% = 115\%$ стоимости куртки.

$4.$ Это превышает стоимость куртки на:
$115\%-100\% = 15\%.$

Ответ: $15\%.$

$1.$ Пусть общий доход семьи равен $100\%$.

$2.$ Если зарплата мужа увеличится вдвое, общий доход семьи вырастет на $67\%$. Это означает, что зарплата мужа составляет $67\%$ от общего дохода семьи.

$3.$ Если стипендия дочери уменьшится втрое, общий доход семьи сократится на $4\%$. Это значит, что $\dfrac{2}{3}$ стипендии составляют $4\%$ дохода семьи. Следовательно, вся стипендия дочери составляет:
Стипендия дочери = $\dfrac{4\%}{\dfrac{2}{3}} = 6\% \, \text{дохода семьи}.$

$4.$ Теперь найдем долю дохода жены:
Доход жены = $100\%-67\%-6\% = 27\%.$

Ответ: зарплата жены составляет примерно $27\%$ от общего дохода семьи.

Пусть $x\%$ — процент уменьшения цены за год. Тогда каждый год цена составляет $(100-x)\%$ от предыдущей.
2. После первого года цена будет:
$$20\space000 \cdot \dfrac{100-x}{100}$$3. После второго года цена будет:$$20\space000 \cdot \left(\dfrac{100-x}{100}\right)^2 = 15\space842$$ 4. Решаем уравнение:
$$\left(\dfrac{100-x}{100}\right)^2 = \dfrac{15\space842}{20\space000}$$ $$\left(\dfrac{100-x}{100}\right)^2 = 0.7921$$ $$\dfrac{100-x}{100} = \sqrt{0.7921}$$ $$\dfrac{100-x}{100} = 0.89$$ $$100-x = 89$$ $$x = 11$$Ответ: каждый год цена уменьшалась на $11\%.$

$1.$ Рассчитаем доли каждого учредителя в уставном капитале:
Митя: $14\%$ от $200\space000 = 0.14 \cdot 200\space000 = 28\space000$ рублей.
Антон: $42\space000$ рублей (дано).
Гоша: $12\%$ от $200\space000 = 0.12 \cdot 200\space000 = 24\space000$ рублей.
Борис: оставшаяся часть капитала.

$2.$ Найдём долю Бориса:
$200\space000-(28\space000 + 42\space000 + 24\space000) = 106\space000$ рублей.

$3.$ Рассчитаем долю Бориса в процентах:
$\dfrac{106\space000}{200\space000} \cdot 100\% = 53\%.$

$4.$ Найдём сумму прибыли, причитающуюся Борису:
$1\space000\space000 \cdot 0.53 = 530\space000$ рублей.

Ответ: Борису причитается $530\space000$ рублей.

$1.$ Обозначим общую сумму уставного капитала за $x$ рублей.

$2.$ Рассчитаем доли каждого участника:
Дима: $35\%$ от $x = 0.35x$ рублей.
Катя: $60\space000$ рублей.
Петя: $25\%$ от $x = 0.25x$ рублей.
Маша: оставшаяся часть капитала.

$3.$ Составим уравнение для определения общей суммы:
$x = 0.35x + 60\space000 + 0.25x + $ вклад Маши.

$4.$ Найдём вклад Маши:
$x-(0.35x + 60\space000 + 0.25x) = 0.4x-60\space000.$

$5.$ Рассчитаем долю Маши в процентах:
$0.4x-60\space000 = x -0.6x-60\space000;$
$0.4x-60\space000 = 0.4x-60\space000.$

$6.$ Найдём общую сумму капитала:
$0.6x = 60\space000;$
$x = 100\space000$ рублей.

$7.$ Рассчитаем вклад Маши:
$0.4 \cdot 100\space000-60\space000 = 40\space000-60\space000 = 10\space000$ рублей.

$8.$ Найдём долю Маши в процентах:
$\dfrac{10\space000}{100\space000} \cdot 100\% = 10\%.$

$9.$ Рассчитаем прибыль Маши:
$800\space000 \cdot 0.1 = 80\space000$ рублей.

Ответ: Маша получит $80\space000$ рублей.

$1.$ Пусть начальная стоимость акций равна $x.$
$2$. Пусть акции подорожали в четверг на $p\%.$
$3.$ После подорожания в четверг стоимость стала: $$x\cdot(1 + \dfrac{p}{100})$$ $4.$ После падения в пятницу стоимость стала: $$x \cdot (1 + \dfrac{p}{100}) \cdot (1-\dfrac{p}{100})$$ $5.$ По условию, конечная стоимость на $36\%$ меньше начальной: $$x \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1-\frac{p}{100}) = x \cdot 0.64$$ $6.$ Сокращаем $x$: $$(1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 — \frac{p}{100}) = 0.64$$ $7.$ Используем формулу разности квадратов: $$1-(\dfrac{p}{100})^2 = 0.64$$ $8.$ Решаем уравнение: $$(\dfrac{p}{100})^2 = 0.36$$ $$\dfrac{p}{100} = 0.6$$ $$p = 60$$
Ответ: акции компании в четверг подорожали на $60\%.$

$1.$ Обозначим:
$a$ — количество жителей в $2020$ году.
$b$ — количество жителей в $2021$году.
$c$ — количество жителей в $2022$ году.

$2.$ Из условия задачи:
в $2021$ году население увеличилось на $6\%.$ Это означает, что $b = a \cdot 1.06;$
в $2022$ году население увеличилось на $7\%.$ Это означает, что $c = b \cdot 1.07.$

$3.$ Подставим значения:
$a = 25\space000;$
$b = 25\space000 \cdot 1.06 = 26\space500;$
$c = 26\space500 \cdot 1.07 = 28\space355.$
Ответ: в $2022$ году в городе проживало $28\space355$ человек.

$1.$ Примем стоимость куртки за $100\%$.

$2.$ Тогда стоимость $10$ рубашек составляет $90\%$ от стоимости куртки.

$3.$ Найдем стоимость одной рубашки: $1$ рубашка = $\dfrac{90\%}{10} = 9\%$ от стоимости куртки.

$4.$ Найдем стоимость $12$ рубашек: $12$ рубашек = $12 \cdot 9\% = 108\%$ от стоимости куртки.

$5.$ Разница в процентах между стоимостью $12$ рубашек и куртки: $108\%-100\% = 8\%.$

Ответ: двенадцать рубашек дороже куртки на $8\%.$