13. Задачи по стереометрии: Параллелепипед

Формула объема прямоугольного параллелепипеда: $$V = a \cdot b \cdot c$$Найдем третье ребро: $$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{6}{1 \cdot 2} = 3$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + ac + bc)$$Вычислим площадь:$$S = 2\cdot(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3) =22$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $22.$

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \cdot b \cdot c$$Найдем третье ребро:$$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{750}{5 \cdot 10} = 15$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + ac + bc)$$Вычислим площадь:$$S = 2\cdot(5 \cdot 10 + 5 \cdot 15 + 10 \cdot 15)=550$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $550.$

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \cdot b \cdot c$$Найдем третье ребро:$$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{140}{7 \cdot 4} = 5$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + bc + ac)$$Вычислим площадь:$$S = 2\cdot(7 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 7 \cdot 5)=166$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $166.$

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $CC_1{:}$
$$CC_1 = \sqrt{(3\sqrt{5})^2-3^2} = \sqrt{45-9} = \sqrt{36} = 6$$Найдем площадь основания:$$S_{\text{осн}} = AB \cdot BC = 7 \cdot 3 = 21$$Вычислим объем параллелепипеда:$$V = CC_1 \cdot S_{\text{осн}} = 6 \cdot 21 = 126$$Объем параллелепипеда равен $126.$

Найдем высоту параллелепипеда $DD_1$ по теореме Пифагора:$$DD_1 = \sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2} = \sqrt{40-4} = 6$$Площадь поверхности вычислим по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$где $a=CD=2,$ $b=CB=4,$ $c=DD_1=6.$

Выполним вычисления:$$S = 2\cdot(2 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 2 \cdot 6) = 88$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $88.$

Заметим, что многогранник $A BCA_1 B_1C_1$ занимает ровно половину объема исходного параллелепипеда. Найдем объем данного параллелепипеда и разделим на два.

$$V_{пар-да} = abc = 2\cdot 1 \cdot 3 = 6$$ $$V_{A BCA_1 B_1C_1} = 6:2 = 3$$

Площадь поверхности куба можно найти по формуле:$$S= 6a^2$$

$$S = 6 (5a)^2 = 6 a^2 \cdot 25$$