13. Задачи по стереометрии: Параллелепипед
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $1,$ $2.$ Объем параллелепипеда равен $6.$ Найдите площадь его поверхности.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда: $$V = a \cdot b \cdot c$$Найдем третье ребро: $$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{6}{1 \cdot 2} = 3$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + ac + bc)$$Вычислим площадь:$$S = 2\cdot(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3) =22$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $22.$
20
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $5,$ $10.$ Объем параллелепипеда равен $750.$ Найдите площадь его поверхности.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \cdot b \cdot c$$Найдем третье ребро:$$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{750}{5 \cdot 10} = 15$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + ac + bc)$$Вычислим площадь:$$S = 2\cdot(5 \cdot 10 + 5 \cdot 15 + 10 \cdot 15)=550$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $550.$
20
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны $7$ и $4,$ а объем параллелепипеда равен $140.$ Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \cdot b \cdot c$$Найдем третье ребро:$$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{140}{7 \cdot 4} = 5$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + bc + ac)$$Вычислим площадь:$$S = 2\cdot(7 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 7 \cdot 5)=166$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $166.$
20
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $AB,$ $BC$ и диагональ боковой грани $BC_1$ равны соответственно $7,$ $3$ и $3\sqrt{5}.$ Найдите объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1.$
Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $CC_1{:}$
$$CC_1 = \sqrt{(3\sqrt{5})^2-3^2} = \sqrt{45-9} = \sqrt{36} = 6$$Найдем площадь основания:$$S_{\text{осн}} = AB \cdot BC = 7 \cdot 3 = 21$$Вычислим объем параллелепипеда:$$V = CC_1 \cdot S_{\text{осн}} = 6 \cdot 21 = 126$$Объем параллелепипеда равен $126.$
20
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $CD,$ $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $2,$ $4$ и $2\sqrt{10}$. Найдите площадь поверхности параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1.$
Найдем высоту параллелепипеда $DD_1$ по теореме Пифагора:$$DD_1 = \sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2} = \sqrt{40-4} = 6$$Площадь поверхности вычислим по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$где $a=CD=2,$ $b=CB=4,$ $c=DD_1=6.$
Выполним вычисления:$$S = 2\cdot(2 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 2 \cdot 6) = 88$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $88.$
20