КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
6. Определение результатов работы алгоритма: исполнитель цапля
Исполнитель Цапля действует на плоскости с декартовой системой координат.
Цапле был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 180 Вперёд 2 Направо 90 Вперёд 40 Направо 90 Вперёд 2 Повтори 4 [Дуга 5, 5, 0, 180].
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
Вначале Цапля находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения первых команд она перемещается следующим образом: $(0;0)\rightarrow(0;-2)\rightarrow(-40;-2)\rightarrow(-40;0)$.
Далее четыре раза выполняется команда Дуга 5, 5, 0, 180. Каждая команда строит верхнюю полуокружность радиуса $5$. Центры полуокружностей находятся в точках $(-35;0)$, $(-25;0)$, $(-15;0)$, $(-5;0)$.
Полученная область ограничена снизу отрезком $y=-2$, а сверху — четырьмя полуокружностями радиуса $5$.
Сначала посчитаем точки с координатой $y=-1$. Координата $x$ может принимать целые значения от $-39$ до $-1$: $-1-(-39)+1=39$ точек.
Теперь посчитаем точки с $y\geq0$, находящиеся под одной полуокружностью. Рассмотрим расстояние $d$ от целочисленной точки до абсциссы центра полуокружности:
- при $d=0$ высота равна $5$, поэтому подходят $5$ значений $y$: от $0$ до $4$;
- при $d=1$ высота равна $\sqrt{24}$, поэтому для двух значений $x$ получаем $2\cdot5=10$ точек;
- при $d=2$ высота равна $\sqrt{21}$, поэтому получаем $2\cdot5=10$ точек;
- при $d=3$ высота равна $4$, но точки на дуге не учитываются, поэтому получаем $2\cdot4=8$ точек;
- при $d=4$ высота равна $3$, поэтому получаем $2\cdot3=6$ точек.
Под одной полуокружностью находится $5+10+10+8+6=39$ целочисленных точек с $y\geq0$.
Всего полуокружностей четыре: $4\cdot39=156$.
Общее количество точек внутри области: $156+39=195$.
20
Исполнитель Цапля действует на плоскости с декартовой системой координат.
Цапле был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 180 Вперёд 5 Направо 90 Вперёд 50 Направо 90 Вперёд 5 Повтори 5 [Дуга 5, 5, 0, 180].
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
В начальный момент Цапля находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения первых команд она перемещается следующим образом: $(0;0)\rightarrow(0;-5)\rightarrow(-50;-5)\rightarrow(-50;0)$.
Далее пять раз выполняется команда Дуга 5, 5, 0, 180. Каждая команда рисует верхнюю полуокружность радиуса $5$. Центры полуокружностей находятся в точках $(-45;0)$, $(-35;0)$, $(-25;0)$, $(-15;0)$, $(-5;0)$.
После выполнения пятой команды Цапля возвращается в точку $(0;0)$, поэтому линия замыкается.
Сначала посчитаем целочисленные точки ниже оси абсцисс. Координата $y$ может принимать значения $-4$, $-3$, $-2$, $-1$.
Для каждого из этих значений координата $x$ принимает значения от $-49$ до $-1$, то есть имеется $-1-(-49)+1=49$ точек. Всего: $4\cdot49=196$.
Теперь посчитаем точки, находящиеся под полуокружностями при $y\geq0$.
Для одной полуокружности радиуса $5$:
- при $y=0$ подходят $9$ значений $x$;
- при $y=1$ подходят $9$ значений $x$;
- при $y=2$ подходят $9$ значений $x$;
- при $y=3$ подходят $7$ значений $x$;
- при $y=4$ подходят $5$ значений $x$.
Точки на дуге и в концах полуокружностей не учитываются. Под одной полуокружностью находится $9+9+9+7+5=39$ целочисленных точек.
Всего полуокружностей пять: $5\cdot39=195$.
Общее количество точек внутри области: $196+195=391$.
20
Исполнитель Цапля действует на плоскости с декартовой системой координат.
Цапле был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 7 [Дуга 4, 0, 4 Дуга 4, 4, 0 Дуга 4, 0, -4 Дуга 4, -4, 0]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
В начальный момент Цапля находится в точке $(0;0)$.
Проследим выполнение четырёх команд одного повторения.
- Дуга 4, 0, 4: центр полуокружности — $(0;4)$, Цапля перемещается из $(0;0)$ в $(0;8)$.
- Дуга 4, 4, 0: центр — $(4;8)$, Цапля перемещается в $(8;8)$.
- Дуга 4, 0, -4: центр — $(8;4)$, Цапля перемещается в $(8;0)$.
- Дуга 4, -4, 0: центр — $(4;0)$, Цапля возвращается в $(0;0)$.
Полученная замкнутая линия состоит из четырёх полуокружностей радиуса $4$, построенных наружу от квадрата с вершинами $(0;0)$, $(0;8)$, $(8;8)$, $(8;0)$.
Остальные шесть повторений проводят ту же самую линию и не изменяют область.
В квадрате $0\leq x\leq8$, $0\leq y\leq8$ находится $9\cdot9=81$ точка с целочисленными координатами. Четыре угловые точки лежат на заданной линии, поэтому внутри области находятся $81-4=77$ точек квадрата.
Посчитаем точки в одной из четырёх полуокружностей, расположенные за пределами квадрата. Рассмотрим левую полуокружность: $x^2+(y-4)^2<16,\qquad x<0$.
- При $x=-1$ подходят $7$ значений $y$: от $1$ до $7$.
- При $x=-2$ также подходят $7$ значений $y$: от $1$ до $7$.
- При $x=-3$ подходят $5$ значений $y$: от $2$ до $6$.
- При $x=-4$ точка $(-4;4)$ лежит на линии и не учитывается.
Таким образом, в одной полуокружности находится $7+7+5=19$ дополнительных точек.
Полуокружностей четыре, поэтому общее количество точек равно $77+4\cdot19=77+76=153$.
20
Исполнитель Цапля действует на плоскости с декартовой системой координат.
Цапле был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 180 Вперёд 2 Направо 90 Вперёд 80 Направо 90 Вперёд 2 Повтори 8 [Дуга 5, 5, 0]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
В начальный момент Цапля находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения первых команд она перемещается следующим образом: $(0;0)\rightarrow(0;-2)\rightarrow(-80;-2)\rightarrow(-80;0)$.
Затем восемь раз выполняется команда Дуга 5, 5, 0. Каждая команда строит верхнюю полуокружность радиуса $5$. Их центры находятся в точках $(-75;0)$, $(-65;0)$, $(-55;0)$, $(-45;0)$, $(-35;0)$, $(-25;0)$, $(-15;0)$, $(-5;0)$.
После последней дуги Цапля возвращается в точку $(0;0)$, и линия замыкается.
Ниже оси абсцисс внутри области возможно только значение $y=-1$. При этом $-79\leq x\leq-1$, поэтому здесь находится $-1-(-79)+1=79$ целочисленных точек.
Посчитаем точки под одной полуокружностью при $y\geq0$. Точки на дуге не учитываются:
- при $y=0$ подходят $9$ значений $x$;
- при $y=1$ — $9$ значений;
- при $y=2$ — $9$ значений;
- при $y=3$ — $7$ значений;
- при $y=4$ — $5$ значений.
Под одной полуокружностью находится $9+9+9+7+5=39$ точек.
Всего полуокружностей $8$, поэтому количество точек в верхней части области равно $8\cdot39=312$.
Общее количество точек: $79+312=391$.
20
Исполнитель Цапля действует на плоскости с декартовой системой координат.
Цапле был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 180 Вперёд 3 Направо 90 Вперёд 48 Направо 90 Вперёд 3 Повтори 6 [Дуга 4, 4, 0]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
В начальный момент Цапля находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения первых команд она перемещается следующим образом: $(0;0)\rightarrow(0;-3)\rightarrow(-48;-3)\rightarrow(-48;0)$.
Затем $6$ раз выполняется команда Дуга 4, 4, 0. Каждая команда строит верхнюю полуокружность радиуса $4$. Центры полуокружностей находятся в точках $(-44;0)$, $(-36;0)$, $(-28;0)$, $(-20;0)$, $(-12;0)$, $(-4;0)$.
После последней дуги Цапля возвращается в точку $(0;0)$, и линия замыкается.
Ниже оси абсцисс внутри области возможны значения $y=-2$ и $y=-1$. Для каждого из них координата $x$ принимает целые значения от $-47$ до $-1$: $-1-(-47)+1=47$.
Всего в нижней части находится $2\cdot47=94$ точки.
Посчитаем точки под одной полуокружностью радиуса $4$, включая точки на оси абсцисс, но не включая точки на дуге:
- при $y=0$ подходят $7$ значений $x$;
- при $y=1$ подходят $7$ значений $x$;
- при $y=2$ подходят $7$ значений $x$;
- при $y=3$ подходят $5$ значений $x$.
Под одной полуокружностью находится $7+7+7+5=26$ целочисленных точек.
Всего полуокружностей $6$, поэтому в верхней части области находится $6\cdot26=156$ точек.
Общее количество точек: $94+156=250$.
20
Исполнитель Цапля действует на плоскости с декартовой системой координат.
Цапле был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 180 Вперёд 4 Направо 90 Вперёд 42 Направо 90 Вперёд 4 Повтори 7 [Дуга 3, 3, 0]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
В начальный момент Цапля находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения первых команд она перемещается следующим образом: $(0;0)\rightarrow(0;-4)\rightarrow(-42;-4)\rightarrow(-42;0)$.
Затем $7$ раз выполняется команда Дуга 3, 3, 0. Каждая команда строит верхнюю полуокружность радиуса $3$. Центры полуокружностей находятся в точках $(-39;0)$, $(-33;0)$, $(-27;0)$, $(-21;0)$, $(-15;0)$, $(-9;0)$, $(-3;0)$.
После выполнения последней команды Цапля возвращается в точку $(0;0)$, поэтому линия замыкается.
Посчитаем точки, расположенные ниже оси абсцисс. Координата $y$ может принимать значения $-3$, $-2$, $-1$.
При каждом таком значении координата $x$ принимает целые значения от $-41$ до $-1$: $-1-(-41)+1=41$.
Следовательно, в нижней части области находится $3\cdot41=123$ точки.
Теперь посчитаем точки под одной полуокружностью радиуса $3$. Точки на дуге и концы полуокружности не учитываются.
- При $y=0$ подходят $5$ значений координаты $x$.
- При $y=1$ подходят $5$ значений координаты $x$.
- При $y=2$ подходят $5$ значений координаты $x$.
- При $y=3$ единственная точка лежит на дуге, поэтому она не учитывается.
Таким образом, под одной полуокружностью находится $5+5+5=15$ целочисленных точек.
Всего построено $7$ полуокружностей: $7\cdot15=105$.
Общее количество точек внутри области: $123+105=228$.
20
Исполнитель Цапля действует на плоскости с декартовой системой координат.
Цапле был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 180 Вперёд 4 Направо 90 Вперёд 60 Направо 90 Вперёд 4 Повтори 5 [Дуга 6, 6, 0]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
В начальный момент Цапля находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения первых команд она перемещается следующим образом: $(0;0)\rightarrow(0;-4)\rightarrow(-60;-4)\rightarrow(-60;0)$.
Затем $5$ раз выполняется команда Дуга 6, 6, 0. Каждая команда строит верхнюю полуокружность радиуса $6$. Центры полуокружностей находятся в точках $(-54;0)$, $(-42;0)$, $(-30;0)$, $(-18;0)$, $(-6;0)$.
После выполнения последней команды Цапля возвращается в точку $(0;0)$, поэтому линия замыкается.
Ниже оси абсцисс внутри области координата $y$ может принимать значения $-3$, $-2$, $-1$.
При каждом таком значении координата $x$ принимает целые значения от $-59$ до $-1$. Количество таких значений: $-1-(-59)+1=59$.
Всего в нижней части области находится $3\cdot59=177$ точек.
Теперь посчитаем точки под одной полуокружностью радиуса $6$. Точки на дуге и концы полуокружности не учитываются.
- При $y=0$ подходят $11$ значений координаты $x$.
- При $y=1$ подходят $11$ значений координаты $x$.
- При $y=2$ подходят $11$ значений координаты $x$.
- При $y=3$ подходят $11$ значений координаты $x$.
- При $y=4$ подходят $9$ значений координаты $x$.
- При $y=5$ подходят $7$ значений координаты $x$.
Под одной полуокружностью находится $11+11+11+11+9+7=60$ целочисленных точек.
Всего построено $5$ полуокружностей, поэтому в верхней части области находится $5\cdot60=300$ точек.
Общее количество точек внутри области: $177+300=477$.
20
Исполнитель Цапля действует на плоскости с декартовой системой координат.
Цапле был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 180 Вперёд 5 Направо 90 Вперёд 56 Направо 90 Вперёд 5 Повтори 4 [Дуга 7, 7, 0]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
В начальный момент Цапля находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения первых команд она перемещается следующим образом: $(0;0)\rightarrow(0;-5)\rightarrow(-56;-5)\rightarrow(-56;0)$.
Затем $4$ раза выполняется команда Дуга 7, 7, 0. Каждая команда строит верхнюю полуокружность радиуса $7$. Центры полуокружностей находятся в точках $(-49;0)$, $(-35;0)$, $(-21;0)$, $(-7;0)$.
После выполнения последней команды Цапля возвращается в точку $(0;0)$, поэтому линия замыкается.
Сначала посчитаем точки, находящиеся ниже оси абсцисс. Координата $y$ может принимать значения $-4$, $-3$, $-2$, $-1$.
Для каждого значения $y$ координата $x$ принимает целые значения от $-55$ до $-1$. Количество таких значений: $-1-(-55)+1=55$.
В нижней части области находится $4\cdot55=220$ точек.
Теперь посчитаем точки под одной полуокружностью радиуса $7$. Для точки внутри полуокружности должно выполняться строгое неравенство $x^2+y^2<49$, поскольку точки на дуге учитывать не следует.
Для одной полуокружности:
- при $y=0$ подходят $13$ значений $x$;
- при $y=1$ подходят $13$ значений $x$;
- при $y=2$ подходят $13$ значений $x$;
- при $y=3$ подходят $13$ значений $x$;
- при $y=4$ подходят $11$ значений $x$;
- при $y=5$ подходят $9$ значений $x$;
- при $y=6$ подходят $7$ значений $x$.
Под одной полуокружностью находится $13+13+13+13+11+9+7=79$ целочисленных точек.
Всего построено $4$ полуокружности, поэтому в верхней части области находится $4\cdot79=316$ точек.
Общее количество точек внутри области: $220+316=536$.
20
Исполнитель Цапля действует на плоскости с декартовой системой координат.
Цапле был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 180 Вперёд 6 Направо 90 Вперёд 80 Направо 90 Вперёд 6 Повтори 5 [Дуга 8, 8, 0]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
В начальный момент Цапля находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения первых команд она перемещается следующим образом: $(0;0)\rightarrow(0;-6)\rightarrow(-80;-6)\rightarrow(-80;0)$.
Затем $5$ раз выполняется команда Дуга 8, 8, 0. Каждая команда строит верхнюю полуокружность радиуса $8$. Центры полуокружностей находятся в точках $(-72;0)$, $(-56;0)$, $(-40;0)$, $(-24;0)$, $(-8;0)$.
После выполнения последней команды Цапля возвращается в точку $(0;0)$, поэтому линия замыкается.
Сначала посчитаем точки ниже оси абсцисс. Координата $y$ может принимать значения $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$.
При каждом таком значении координата $x$ принимает целые значения от $-79$ до $-1$. Количество значений $x$: $-1-(-79)+1=79$.
В нижней части области находится $5\cdot79=395$ точек.
Теперь посчитаем точки под одной полуокружностью радиуса $8$. Точки на дуге и концы полуокружности учитывать нельзя.
- при $y=0$ подходят $15$ значений $x$;
- при $y=1$ подходят $15$ значений $x$;
- при $y=2$ подходят $15$ значений $x$;
- при $y=3$ подходят $15$ значений $x$;
- при $y=4$ подходят $13$ значений $x$;
- при $y=5$ подходят $13$ значений $x$;
- при $y=6$ подходят $11$ значений $x$;
- при $y=7$ подходят $7$ значений $x$.
Под одной полуокружностью находится $15+15+15+15+13+13+11+7=104$ целочисленные точки.
Всего построено $5$ полуокружностей, поэтому в верхней части области находится $5\cdot104=520$ точек.
Общее количество точек внутри области: $395+520=915$.
20
Исполнитель Цапля действует на плоскости с декартовой системой координат.
Цапле был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 180 Вперёд 5 Направо 90 Вперёд 72 Направо 90 Вперёд 5 Повтори 4 [Дуга 9, 9, 0]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
В начальный момент Цапля находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения первых команд она перемещается следующим образом: $(0;0)\rightarrow(0;-5)\rightarrow(-72;-5)\rightarrow(-72;0)$.
Затем $4$ раза выполняется команда Дуга 9, 9, 0. Каждая команда строит верхнюю полуокружность радиуса $9$. Центры полуокружностей находятся в точках $(-63;0)$, $(-45;0)$, $(-27;0)$, $(-9;0)$.
После выполнения последней команды Цапля возвращается в точку $(0;0)$, поэтому линия замыкается.
Сначала посчитаем точки, расположенные ниже оси абсцисс. Координата $y$ может принимать значения $-4$, $-3$, $-2$, $-1$.
При каждом таком значении координата $x$ принимает целые значения от $-71$ до $-1$. Количество таких значений: $-1-(-71)+1=71$.
В нижней части области находится $4\cdot71=284$ точки.
Теперь посчитаем точки под одной полуокружностью радиуса $9$. Относительно центра полуокружности координаты внутренних точек удовлетворяют неравенству $x^2+y^2<81$.
Точки на дуге учитывать не следует.
- при $y=0$ подходят $17$ значений $x$;
- при $y=1$ подходят $17$ значений $x$;
- при $y=2$ подходят $17$ значений $x$;
- при $y=3$ подходят $17$ значений $x$;
- при $y=4$ подходят $17$ значений $x$;
- при $y=5$ подходят $15$ значений $x$;
- при $y=6$ подходят $13$ значений $x$;
- при $y=7$ подходят $11$ значений $x$;
- при $y=8$ подходят $9$ значений $x$.
Под одной полуокружностью находится $17\cdot5+15+13+11+9=133$ целочисленные точки.
Всего построено $4$ полуокружности, поэтому в верхней части области находится $4\cdot133=532$ точки.
Общее количество точек внутри области: $284+532=816$.
20