КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
5. Построение алгоритмов для исполнителей: все задания
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число $N$ делится на $3$, то к этой записи дописываются три последние двоичные цифры;
- если число $N$ на $3$ не делится, то остаток от деления умножается на $3$, переводится в двоичную запись и дописывается в конец числа.
Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа $R$.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $12=1100_2$ результатом является число $1100100_2=100$, а для исходного числа $4=100_2$ результатом является число $10011_2=19$.
Укажите минимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, не меньшее чем $76$.
Рассмотрим возможные остатки от деления $N$ на $3$.
Если $N$ делится на $3$, к записи добавляются $3$ бита: $R=8N+(N\bmod 8)$.
При $N=9$: $R=8\cdot9+1=73<76$.
Следующее число, делящееся на $3$, — $12$, для него $R=100$. В этом случае минимальный кандидат — $12$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $1$, к записи дописывается число $3=11_2$, то есть: $R=4N+3$.
Из условия $4N+3\geq76$ получаем $N\geq19$. Минимальный кандидат — $19$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $2$, к записи дописывается число $6=110_2$, то есть: $R=8N+6$.
При $N=8$: $R=8\cdot8+6=70<76$.
Следующее число с остатком $2$ при делении на $3$ — $11$:
$11=1011_2$;
$R=1011110_2=94$.
Наименьшее из найденных значений $N$ равно $11$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число $N$ делится на $3$, то к этой записи дописываются три последние двоичные цифры;
- если число $N$ на $3$ не делится, то остаток от деления умножается на $3$, переводится в двоичную запись и дописывается в конец числа.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $12=1100_2$ результатом является число $1100100_2=100$, а для исходного числа $4=100_2$ это число $10011_2=19$.
Укажите максимальное число $R$, не превышающее $162$, которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Рассмотрим три возможных остатка от деления $N$ на $3$.
Если $N$ делится на $3$, дописываются три последние цифры двоичной записи: $R=8N+(N\bmod 8)$.
При $N=18$: $R=8\cdot18+2=146$.
Следующее кратное $3$ число — $21$: $R=8\cdot21+5=173>162$.
Если $N$ при делении на $3$ даёт остаток $1$, дописывается число $3=11_2$: $R=4N+3$.
Из условия $4N+3\leq162$ получаем $N\leq39$. Наибольшее число, не превосходящее $39$ и дающее остаток $1$, — $37$: $R=4\cdot37+3=151$.
Если $N$ при делении на $3$ даёт остаток $2$, дописывается число $6=110_2$: $R=8N+6$.
Из условия $8N+6\leq162$ получаем $N\leq19$. Наибольшее подходящее число — $17$: $R=8\cdot17+6=142$.
Максимальное из полученных значений: $\max(146,151,142)=151$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается $0$, а затем два левых разряда заменяются на $10$;
- если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается $1$, а затем два левых разряда заменяются на $11$.
Например, для исходного числа $6_{10}=110_2$ результатом является число $1000_2=8_{10}$, а для исходного числа $4_{10}=100_2$ результатом является число $1101_2=13_{10}$.
Укажите минимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, большее $29$. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Для чисел $N<8$ двоичная запись содержит не более трёх цифр. После выполнения алгоритма число $R$ содержит не более четырёх двоичных цифр, поэтому $R\leq15$.
Проверим числа, начиная с $8$.
$N=8=1000_2$. Сумма цифр нечётная: $1000\rightarrow10001\rightarrow11001_2=25$.
$N=9=1001_2$. Сумма цифр чётная: $1001\rightarrow10010\rightarrow10010_2=18$.
$N=10=1010_2$. Сумма цифр чётная: $1010\rightarrow10100\rightarrow10100_2=20$.
$N=11=1011_2$. Сумма цифр нечётная: $1011\rightarrow10111\rightarrow11111_2=31$.
Получили $31>29$. Следовательно, минимальное подходящее число $N$ равно $11$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится троичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число $N$ делится на $3$, то к этой записи дописываются две последние троичные цифры;
- если число $N$ на $3$ не делится, то остаток от деления умножается на $5$, переводится в троичную запись и дописывается в конец числа.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $11=102_3$ результатом является число $102101_3=307$, а для исходного числа $6=20_3$ это число $2020_3=60$.
Укажите минимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, не меньшее $86$.
Рассмотрим три возможных остатка от деления $N$ на $3$.
Если $N$ делится на $3$, к записи добавляются две троичные цифры: $R=9N+(N\bmod 9)$.
При $N=9$: $R=9\cdot9+0=81<86$.
Следующее число, делящееся на $3$, — $12$, поэтому минимальный кандидат в этом случае равен $12$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $1$, дописывается троичная запись числа $5$, то есть $12_3$: $R=9N+5$.
Из условия $9N+5\geq86$ получаем $N\geq9$. Минимальное число с остатком $1$ при делении на $3$ — $10$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $2$, дописывается троичная запись числа $10$, то есть $101_3$: $R=27N+10$.
При $N=2$: $R=27\cdot2+10=64<86$.
Следующее число с остатком $2$ при делении на $3$ — $5$: $5=12_3$; $R=12101_3=145$.
Наименьшее из найденных значений $N$ равно $5$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается $0$, а затем два левых разряда заменяются на $10$;
- если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается $1$, а затем два левых разряда заменяются на $11$.
Например, для исходного числа $6_{10}=110_2$ результатом является число $1000_2=8_{10}$, а для исходного числа $4_{10}=100_2$ результатом является число $1101_2=13_{10}$.
Укажите минимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, большее $40$. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Для всех чисел $N<16$ двоичная запись содержит не более $4$ цифр. После дописывания одной цифры запись числа $R$ содержит не более $5$ цифр, поэтому: $R\leq11111_2=31$.
Следовательно, при $N<16$ получить число $R>40$ невозможно.
Проверим $N=16$: $16_{10}=10000_2$.
Сумма цифр равна $1$, то есть нечётная. Дописываем справа $1$: $10000\rightarrow100001$.
Заменяем два левых разряда на $11$:
$100001\rightarrow110001_2$.
$110001_2=49_{10}>40$.
Следовательно, минимальное подходящее число $N$ равно $16$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число $N$ делится на $3$, то к этой записи дописываются три последние двоичные цифры;
- если число $N$ на $3$ не делится, то остаток от деления умножается на $3$, переводится в двоичную запись и дописывается в конец числа.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $12_{10}=1100_2$ результатом является число $1100100_2=100_{10}$, а для исходного числа $4_{10}=100_2$ это число $10011_2=19_{10}$.
Укажите максимальное число $R$, не превышающее $208$, которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Рассмотрим три возможных остатка от деления $N$ на $3$.
Если $N$ делится на $3$, дописываются три последние цифры двоичной записи: $R=8N+(N\bmod 8)$.
Наибольшее подходящее число $N$, кратное $3$, — $24$: $R=8\cdot24+0=192$.
При следующем числе $N=27$: $R=8\cdot27+3=219>208$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $1$, дописывается число $3=11_2$: $R=4N+3$.
Из условия $4N+3\leq208$ получаем $N\leq51$. Наибольшее число, не превосходящее $51$ и дающее остаток $1$ при делении на $3$, — $49$: $R=4\cdot49+3=199$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $2$, дописывается число $6=110_2$: $R=8N+6$.
Из условия $8N+6\leq208$ получаем $N\leq25$. Наибольшее число, не превосходящее $25$ и дающее остаток $2$ при делении на $3$, — $23$: $R=8\cdot23+6=190$.
Максимальное из полученных значений: $\max(192,199,190)=199$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается $0$, а затем два левых разряда заменяются на $10$;
- если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается $1$, а затем два левых разряда заменяются на $11$.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $6_{10}=110_2$ результатом является число $1000_2=8_{10}$, а для исходного числа $4_{10}=100_2$ это число $1101_2=13_{10}$.
Укажите минимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, большее $19$. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Для всех чисел $N<8$ двоичная запись содержит не более $3$ цифр. После дописывания одной цифры запись числа $R$ содержит не более $4$ цифр, поэтому: $R\leq1111_2=15$.
Следовательно, при $N<8$ получить число $R>19$ невозможно.
Проверим $N=8$: $8_{10}=1000_2$.
Сумма цифр равна $1$, то есть нечётная. Дописываем справа $1$: $1000\rightarrow10001$.
Заменяем два левых разряда на $11$:
$10001\rightarrow11001_2$.
$11001_2=25_{10}>19$.
Следовательно, минимальное подходящее число $N$ равно $8$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- К этой записи дописываются справа ещё несколько разрядов по следующему правилу:
- если $N$ чётное, то к нему справа приписываются два нуля, а слева единица;
- если $N$ нечётное, то к нему справа приписывается в двоичном виде сумма цифр его двоичной записи.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, исходное число $4_{10}=100_2$ преобразуется в число $110000_2=48_{10}$, а исходное число $13_{10}=1101_2$ преобразуется в число $110111_2=55_{10}$.
Укажите наименьшее число $R$, превышающее $205$, которое может быть результатом работы данного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Возьмём чётное число $N=20$: $20_{10}=10100_2$.
Справа дописываем два нуля, а слева — единицу:
$10100\rightarrow11010000_2$.
$11010000_2=208_{10}$.
Проверим, могут ли быть получены числа $206$ или $207$.
Если $N$ чётное, запись результата заканчивается двумя нулями. Числа $206_{10}=11001110_2$; $207_{10}=11001111_2$ двумя нулями не заканчиваются.
Если $N$ нечётное, в конец его записи дописывается двоичная запись количества единиц.
Для числа $206$ возможные окончания дают противоречия:
- окончание $10_2=2$, но в оставшейся части $110011$ содержится $4$ единицы;
- окончание $110_2=6$, но в оставшейся части $11001$ содержится $3$ единицы.
Для числа $207$:
- окончание $1_2=1$, но в оставшейся части $1100111$ содержится $5$ единиц;
- окончание $11_2=3$, но в оставшейся части $110011$ содержится $4$ единицы;
- окончание $111_2=7$, но в оставшейся части $11001$ содержится $3$ единицы.
Следовательно, числа $206$ и $207$ получить нельзя, а число $208$ получить можно.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится троичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число $N$ делится на $3$, то к этой записи дописываются две последние троичные цифры;
- если число $N$ на $3$ не делится, то остаток от деления умножается на $5$, переводится в троичную запись и дописывается в конец числа.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $11_{10}=102_3$ результатом является число $102101_3=307_{10}$, а для исходного числа $12_{10}=110_3$ это число $11010_3=111_{10}$.
Укажите минимальное число $R$, большее $133$, которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Рассмотрим три возможных остатка от деления $N$ на $3$.
Если $N$ делится на $3$, к записи дописываются две последние троичные цифры: $R=9N+(N\bmod 9)$.
Для $N=12$ получаем $R=111<133$.
Следующее число, делящееся на $3$, — $15$:
$15_{10}=120_3$;
$120_3\rightarrow12020_3$;
$12020_3=141_{10}$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $1$, дописывается число $5=12_3$: $R=9N+5$.
Из условия $9N+5>133$ получаем $N>14$. Наименьшее число, дающее остаток $1$ при делении на $3$, — $16$: $R=9\cdot16+5=149$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $2$, дописывается число $10=101_3$: $R=27N+10$.
Из условия $27N+10>133$ получаем $N>4$. Наименьшее подходящее число — $5$: $R=27\cdot5+10=145$.
Минимальное из полученных значений: $\min(141,149,145)=141$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число чётное, то к двоичной записи числа слева дописывается $10$;
- если число нечётное, то к двоичной записи числа слева дописывается $1$ и справа дописывается $01$.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $4_{10}=100_2$ результатом является число $20_{10}=10100_2$, а для исходного числа $5_{10}=101_2$ это число $53_{10}=110101_2$.
Укажите максимальное число $R$, которое может быть результатом работы данного алгоритма, при условии, что $N$ не больше $12$. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Рассмотрим наибольшие чётное и нечётное значения $N$, не превышающие $12$.
Для чётного числа $N=12$:
$12_{10}=1100_2$;
$1100\rightarrow101100_2$;
$101100_2=44_{10}$.
Для нечётного числа $N=11$:
$11_{10}=1011_2$;
$1011\rightarrow1101101_2$;
$1101101_2=109_{10}$.
При меньших значениях $N$ результат также будет меньше. Следовательно, максимальное возможное число $R$ равно $109$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- К этой записи дописываются справа ещё несколько разрядов по следующему правилу:
- если $N$ чётное, то к нему справа приписываются два нуля, а слева единица;
- если $N$ нечётное, то к нему справа приписывается в двоичном виде сумма цифр его двоичной записи.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, исходное число $4_{10}=100_2$ преобразуется в число $110000_2=48_{10}$, а исходное число $13_{10}=1101_2$ преобразуется в число $110111_2=55_{10}$.
Укажите такое число $N$, для которого число $R$ является наименьшим среди чисел, превышающих $190$. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.
Рассмотрим чётное число $N=16$: $16_{10}=10000_2$.
Справа приписываем два нуля, а слева единицу:
$10000\rightarrow11000000_2$.
$11000000_2=192_{10}$.
Это число превышает $190$. Меньшим возможным результатом могло бы быть только число $191$.
Проверим число $191$: $191_{10}=10111111_2$.
При чётном $N$ результат заканчивается двумя нулями, поэтому число $191$ получить нельзя.
При нечётном $N$ справа приписывается двоичная запись количества единиц в записи $N$:
- если приписана цифра $1$, то запись $N$ равна $1011111_2$ и содержит $6$ единиц, а не $1$;
- если приписано $11_2=3$, то запись $N$ равна $101111_2$ и содержит $5$ единиц, а не $3$;
- если приписано $111_2=7$, то запись $N$ равна $10111_2$ и содержит $4$ единицы, а не $7$.
Следовательно, число $191$ получить нельзя, а наименьшее значение $R>190$ равно $192$ и получается при $N=16$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится троичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число $N$ делится на $3$, то к этой записи дописываются две последние троичные цифры;
- если число $N$ на $3$ не делится, то остаток от деления умножается на $5$, переводится в троичную запись и дописывается в конец числа.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $11=102_3$ результатом является число $102101_3=307$, а для исходного числа $12=110_3$ это число $11010_3=111$.
Укажите максимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, меньшее $159$.
Рассмотрим три возможных остатка от деления $N$ на $3$.
Если $N$ делится на $3$, к записи дописываются две последние троичные цифры: $R=9N+(N\bmod 9)$.
Для $N=15$:
$15=120_3$;
$120_3\rightarrow12020_3$;
$12020_3=141<159$.
Для следующего подходящего числа $N=18$: $R=9\cdot18+0=162>159$.
Максимальный кандидат в этом случае — $15$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $1$, дописывается число $5=12_3$: $R=9N+5$.
Из условия $9N+5<159$ получаем $N<\frac{154}{9}$. Наибольшее число с остатком $1$ при делении на $3$ — $16$: $R=9\cdot16+5=149<159$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $2$, дописывается число $10=101_3$: $R=27N+10$.
Из условия $27N+10<159$ получаем $N<\frac{149}{27}$. Наибольшее число с остатком $2$ при делении на $3$ — $5$:
$R=27\cdot5+10=145<159$.
Максимальное из найденных значений: $\max(15,16,5)=16$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается $0$, а затем два левых разряда заменяются на $10$;
- если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается $1$, а затем два левых разряда заменяются на $11$.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $6_{10}=110_2$ результатом является число $1000_2=8_{10}$, а для исходного числа $4_{10}=100_2$ это число $1101_2=13_{10}$.
Укажите максимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, не превышающее $19$. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
При $N\geq16$ двоичная запись числа $N$ содержит не менее $5$ цифр. После выполнения алгоритма запись числа $R$ содержит не менее $6$ цифр и начинается с $10$ или $11$, поэтому $R\geq100000_2=32$. Значит, достаточно проверить числа, меньшие $16$, начиная с наибольшего.
$N=15=1111_2$. Сумма цифр чётная: $1111\rightarrow11110\rightarrow10110_2=22_{10}$.
$N=14=1110_2$. Сумма цифр нечётная: $1110\rightarrow11101\rightarrow11101_2=29_{10}$.
$N=13=1101_2$. Сумма цифр нечётная: $1101\rightarrow11011\rightarrow11011_2=27_{10}$.
$N=12=1100_2$. Сумма цифр чётная: $1100\rightarrow11000\rightarrow10000_2=16_{10}$.
Получили $R=16\leq19$. Следовательно, максимальное подходящее число $N$ равно $12$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится троичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число $N$ делится на $3$, то к этой записи дописываются две последние троичные цифры;
- если число $N$ на $3$ не делится, то остаток от деления умножается на $5$, переводится в троичную запись и дописывается в конец числа.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $11_{10}=102_3$ результатом является число $102101_3=307_{10}$, а для исходного числа $12_{10}=110_3$ это число $11010_3=111_{10}$.
Укажите минимальное число $R$, большее $180$, которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Рассмотрим три возможных остатка от деления $N$ на $3$.
Если $N$ делится на $3$, к записи дописываются две последние троичные цифры: $R=9N+(N\bmod 9)$.
Для $N=18$:
$18_{10}=200_3$;
$200_3\rightarrow20000_3$;
$20000_3=162_{10}<180$.
Для следующего кратного $3$ числа $N=21$:
$21_{10}=210_3$;
$210_3\rightarrow21010_3$;
$21010_3=192_{10}$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $1$, дописывается число $5=12_3$: $R=9N+5$.
При $N=19$: $R=9\cdot19+5=176<180$.
Следующее число с остатком $1$ при делении на $3$ — $22$: $R=9\cdot22+5=203$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $2$, дописывается число $10=101_3$: $R=27N+10$.
При $N=5$: $R=27\cdot5+10=145<180$.
Следующее число с остатком $2$ при делении на $3$ — $8$: $R=27\cdot8+10=226$.
Минимальное из полученных значений: $\min(192,203,226)=192$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится троичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число $N$ делится на $3$, то слева к нему приписывается «$1$», а справа «$02$»;
- если число $N$ на $3$ не делится, то остаток от деления на $3$ умножается на $5$, переводится в троичную запись и дописывается в конец числа.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $11_{10}=102_3$ результатом является число $102101_3=307_{10}$, а для исходного числа $12_{10}=110_3$ это число $111002_3=353_{10}$.
Укажите минимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, не меньшее $177$.
Рассмотрим возможные остатки от деления $N$ на $3$.
Если $N$ делится на $3$, проверим ближайшие значения:
$N=6_{10}=20_3$;
$20_3\rightarrow12002_3=137_{10}<177$.
Следующее число, делящееся на $3$:
$N=9_{10}=100_3$;
$100_3\rightarrow110002_3=326_{10}$.
Минимальный кандидат в этом случае — $9$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $1$, дописывается число $5_{10}=12_3$: $R=9N+5$.
Из условия $9N+5\geq177$ получаем $N\geq20$. Наименьшее такое число с остатком $1$ при делении на $3$ — $22$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $2$, дописывается число $10_{10}=101_3$: $R=27N+10$.
Из условия $27N+10\geq177$ получаем $N\geq7$. Наименьшее число с остатком $2$ при делении на $3$ — $8$:
$8_{10}=22_3$;
$22_3\rightarrow22101_3=226_{10}$.
Минимальное из найденных значений: $\min(9,22,8)=8$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число чётное, то к двоичной записи числа слева дописывается $10$;
- если число нечётное, то к двоичной записи числа слева дописывается $1$ и справа дописывается $01$.
Например, для исходного числа $4_{10}=100_2$ результатом является число $20_{10}=10100_2$, а для исходного числа $5_{10}=101_2$ это число $110101_2=53_{10}$.
Укажите минимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, большее чем $516$. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Для чисел $N<64$ двоичная запись содержит не более $6$ цифр.
Если $N$ чётное, результат получается приписыванием слева $10$. Максимальное значение при $N<64$: $R<10,111111_2=191$.
Если $N$ нечётное, слева приписывается $1$, а справа — $01$. Наибольшее нечётное число, меньшее $64$, равно $63$:
$63_{10}=111111_2$;
$111111_2\rightarrow111111101_2$;
$111111101_2=509_{10}<516$.
Следовательно, подходящее число $N$ не меньше $64$.
Проверим:
$N=64_{10}=1000000_2$ — число чётное;
$1000000_2\rightarrow101000000_2=320_{10}<516$.
$N=65_{10}=1000001_2$ — число нечётное;
$1000001_2\rightarrow1100000101_2$;
$1100000101_2=773_{10}>516$.
Следовательно, минимальное подходящее число $N$ равно $65$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число $N$ делится на $3$, то к этой записи дописываются три последние двоичные цифры;
- если число $N$ на $3$ не делится, то остаток от деления умножается на $3$, переводится в двоичную запись и дописывается в конец числа.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $12=1100_2$ результатом является число $1100100_2=100$, а для исходного числа $4=100_2$ результатом является число $10011_2=19$.
Укажите максимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, меньшее чем $76$.
Рассмотрим три возможных остатка от деления $N$ на $3$.
Если $N$ делится на $3$, дописываются три последние цифры двоичной записи: $R=8N+(N\bmod 8)$.
При $N=9$:
$9=1001_2$;
$R=1001001_2=73<76$.
Следующее кратное $3$ число — $12$, для него $R=100>76$. Максимальный кандидат — $9$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $1$, дописывается число $3=11_2$: $R=4N+3$.
Из условия $4N+3<76$ получаем $N<18{,}25$. Наибольшее число с остатком $1$ при делении на $3$ — $16$: $R=4\cdot16+3=67<76$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $2$, дописывается число $6=110_2$: $R=8N+6$.
Из условия $8N+6<76$ получаем $N<8{,}75$. Наибольшее число с остатком $2$ при делении на $3$ — $8$: $R=8\cdot8+6=70<76$.
Максимальное из найденных значений: $\max(9,16,8)=16$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число $N$ делится на $3$, то к этой записи дописываются три последние двоичные цифры;
- если число $N$ на $3$ не делится, то остаток от деления умножается на $3$, переводится в двоичную запись и дописывается в конец числа.
Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа $R$.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $12=1100_2$ результатом является число $1100100_2=100$, а для исходного числа $4=100_2$ результатом является число $10011_2=19$.
Укажите максимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, меньшее чем $100$.
Рассмотрим три возможных остатка от деления $N$ на $3$.
Если $N$ делится на $3$, к записи дописываются три последние двоичные цифры: $R=8N+(N\bmod 8)$.
При $N=9$: $R=8\cdot9+1=73<100$.
При следующем кратном $3$ числе $N=12$ получаем $R=100$, что не подходит. Кандидат — $9$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $1$, дописывается число $3=11_2$: $R=4N+3$.
Из условия $4N+3<100$ получаем $N<24{,}25$. Наибольшее число с остатком $1$ при делении на $3$ — $22$: $R=4\cdot22+3=91<100$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $2$, дописывается число $6=110_2$: $R=8N+6$.
Из условия $8N+6<100$ получаем $N<11{,}75$. Наибольшее число с остатком $2$ при делении на $3$ — $11$: $R=8\cdot11+6=94<100$.
Максимальное из найденных значений: $\max(9,22,11)=22$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если число $N$ делится на $3$, то к этой записи дописываются три последние двоичные цифры;
- если число $N$ на $3$ не делится, то остаток от деления умножается на $3$, переводится в двоичную запись и дописывается в конец числа.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $12=1100_2$ результатом является число $1100100_2=100$, а для исходного числа $4=100_2$ это число $10011_2=19$.
Укажите максимальное число $R$, не превышающее $138$, которое может быть получено с помощью описанного алгоритма. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
Рассмотрим три возможных остатка от деления $N$ на $3$.
Если $N$ делится на $3$, дописываются три последние цифры двоичной записи: $R=8N+(N\bmod 8)$.
При $N=15$:
$15=1111_2$;
$1111_2\rightarrow1111111_2$;
$R=127$.
При следующем кратном $3$ числе $N=18$: $R=8\cdot18+2=146>138$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $1$, дописывается число $3=11_2$: $R=4N+3$.
Из условия $4N+3\leq138$ получаем $N\leq33$. Наибольшее число, дающее остаток $1$ при делении на $3$, — $31$: $R=4\cdot31+3=127$.
Если остаток от деления $N$ на $3$ равен $2$, дописывается число $6=110_2$: $R=8N+6$.
Из условия $8N+6\leq138$ получаем $N\leq16$. Наибольшее число, дающее остаток $2$ при делении на $3$, — $14$: $R=8\cdot14+6=118$.
Максимальное из полученных значений: $\max(127,127,118)=127$.
20
На вход алгоритма подаётся натуральное число $N$. Алгоритм строит по нему новое число $R$ следующим образом.
- Строится двоичная запись числа $N$.
- Далее эта запись обрабатывается по следующему правилу:
- если сумма цифр в двоичной записи числа чётная, то к этой записи справа дописывается $0$, а затем два левых разряда заменяются на $10$;
- если сумма цифр в двоичной записи числа нечётная, то к этой записи справа дописывается $1$, а затем два левых разряда заменяются на $11$.
Полученная таким образом запись является двоичной записью искомого числа $R$.
- Результат переводится в десятичную систему и выводится на экран.
Например, для исходного числа $6_{10}=110_2$ результатом является число $1000_2=8_{10}$, а для исходного числа $4_{10}=100_2$ это число $1101_2=13_{10}$.
Укажите минимальное число $N$, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число $R$, большее $50$. В ответе запишите это число в десятичной системе счисления.
При $N<16$ двоичная запись содержит не более $4$ цифр. После дописывания одной цифры запись числа $R$ содержит не более $5$ цифр, поэтому $R\leq31$. Значит, начинаем проверку с $N=16$.
$N=16_{10}=10000_2$. Сумма цифр нечётная: $10000\rightarrow100001\rightarrow110001_2=49_{10}$.
$N=17_{10}=10001_2$. Сумма цифр чётная: $10001\rightarrow100010\rightarrow100010_2=34_{10}$.
$N=18_{10}=10010_2$. Сумма цифр чётная: $10010\rightarrow100100\rightarrow100100_2=36_{10}$.
$N=19_{10}=10011_2$. Сумма цифр нечётная: $10011\rightarrow100111\rightarrow110111_2=55_{10}$.
Получили $R=55>50$. Следовательно, минимальное подходящее число $N$ равно $19$.
20