21. Молекулярная физика - электродинамика: качественная задача: Электричество и магнетизм

По условию, ток входит в рамку через контакт $»+»$ и выходит через $»-«.$
В левом проводнике рамки ток направлен к наблюдателю ⊙, в правом — от наблюдателя ⊗.

Сила Ампера вычисляется по формуле:
$$\vec{F}_A = I \cdot \vec{L} \cdot \vec{B} $$ где $I$ — сила тока, $\vec{L}$ — вектор длины проводника, $\vec{B}$ — вектор магнитной индукции.
Для левого проводника направление силы: вверх (правило левой руки).
Для правого проводника направление силы: вниз.

Силы $F_{A1}$ (вверх) и $F_{A2}$ (вниз) создают вращающий момент:
$$ \vec{M} = \vec{r} \cdot \vec{F}_A $$ где $\vec{r}$ — радиус-вектор от оси вращения.
Момент направлен по часовой стрелке.

Рамка повернется на $90°,$ пока не встанет перпендикулярно оси магнита.
В конечном положении контакт $»+»$ окажется внизу.
Силы Ампера будут направлены вдоль оси $MO$ и не создадут момента.

Ответ:
Рамка повернется по часовой стрелке и остановится в положении, перпендикулярном оси магнита, с контактом $»+»$ внизу.

Собственная частота контура:
$$ ν0 = \frac{1}{2π\sqrt{LC}} $$При увеличении $C$ от $C_{\min}$ до $C_{\max}$ частота $ν_0$ уменьшается от $ν_{0,\max} = \frac{1}{2π\sqrt{LC_{\min}}}$ до $ν_{0,\min} = \frac{1}{2π\sqrt{LC{\max}}}.$

Максимальная амплитуда тока достигается при резонансе:
$$ ν = ν_0$$В данном эксперименте резонанс не был достигнут, так как амплитуда тока росла на всем интервале изменения $C.$

Постоянный рост амплитуды означает, что частота источника $ν$ была меньше минимальной собственной частоты:
$$ ν < ν_{0,\min} $$ При увеличении $C$ частота $ν_0$ приближалась к $ν,$ усиливая резонансный эффект, но не достигала его.

Импеданс контура:
$$Z = \sqrt{R^2 + \left(ωL — \frac{1}{ωC}\right)^2} $$ уменьшался по мере роста $C,$ что увеличивало амплитуду тока.

Ответ:
Амплитуда тока росла, потому что частота источника $ν$ была ниже минимальной собственной частоты контура. Увеличение емкости приближало $ν_0$ к $ν,$ усиливая резонансный эффект.

Свойства идеального вольтметра:
Имеет бесконечное сопротивление $(R_V → ∞).$
Не создает дополнительной ветви тока в цепи.

Полное сопротивление цепи не зависит от положения движка:
$$ R_{общ} = R $$Ток в цепи по закону Ома:$$ I = \frac{E}{R} $$

Вольтметр измеряет напряжение на части реостата $R_x$:
$$ U_V = I\cdot R_x $$Однако, поскольку $R_V = ∞,$ ток через реостат не идет.
Фактически вольтметр измеряет напряжение на всем реостате:
$$ U_V = I\cdot R = \frac{E}{R}\cdot R = E $$
При любом $R_x$ (от $0$ до $R$) показания остаются:
$$ U_V = E = \text{const} $$
Ответ:
Показания вольтметра не изменяются и равны $E$ при любом положении движка реостата.

Исходное состояние.
Ключ разомкнут, ток в катушке отсутствует.
Магнит неподвижен, пружина растянута под действием силы тяжести.

После замыкания ключа.
В катушке возникает ток (направление: от $»+»$ к $»-«$ источника).
По правилу буравчика:$$ \vec{B}_{катушки} \text{ направлено вниз вдоль оси} $$Катушка с током эквивалентна магниту:
Нижний торец: северный полюс $(N).$
Верхний торец: южный полюс $ (S).$

Взаимодействие магнитов.
Подвешенный магнит ориентирован так, что его ближний к катушке полюс — южный $(S).$
Разноименные полюса ($N$ катушки и $S$ магнита) притягиваются.
Результирующая сила направлена вниз.

Движение магнита.
Магнит начинает двигаться вниз, растягивая пружину.
Уравнение сил: $$ \vec{F}{упр} + \vec{F}{тяж} + \vec{F}{магн} = 0 $$

Ответ:
Магнит начнет двигаться вниз (к катушке), так как разноименные полюса катушки и магнита притягиваются.

Использованные законы:
$1.$ Правило буравчика для определения направления магнитного поля катушки.
$2.$ Закон Ампера о взаимодействии токов и магнитов.
$3.$ Принцип эквивалентности катушки с током и магнита.

Силы, действующие на протон.
Электрическая сила:
$$ \vec{F}_E = q\vec{E} \quad \text{(направлена вдоль $\vec{E}$)} $$Магнитная сила (Лоренца):
$$ \vec{F}_B = q[\vec{v} \cdot \vec{B}] \quad \text{(направлена противоположно $\vec{F}_E$)} $$
Условие прямолинейного движения.
Баланс сил:
$$ F_E = F_B \Rightarrow qE = qvB \Rightarrow v = \frac{E}{B} $$Увеличение скорости $(v’ > v)$:
$F_E$ не изменяется (зависит только от $E$ и $q$).
$F_B$ возрастает пропорционально скорости:
$$ F_B’ = qv’B > qvB = F_E $$
Результирующая сила.
Направлена в сторону $\vec{F}_B$ (против $\vec{E}$).
Вызывает криволинейное движение по дуге окружности:
$$ F_B’- F_E = \frac{mv’^2}{R} $$Радиус кривизны:
$$ R = \frac{mv’}{qB- \frac{E}{v’}} $$
Ответ:
При увеличении скорости протон начнет отклоняться против направления электрического поля, двигаясь по дуге окружности.

Обоснование:
$1.$ Уравнение движения заряда в скрещенных полях.
$2.$ Правило левой руки для силы Лоренца.
$3.$ Условие равновесия сил при прямолинейном движении.
$4.$ Формула для центростремительного ускорения при криволинейном движении.

Начальное состояние.
Верхняя пластина заряжена отрицательно $( -Q ).$
Нижняя пластина и шарик нейтральны.

Электростатическая индукция.
Отрицательный заряд верхней пластины индуцирует:
Положительный заряд на шарике $( +q ).$
Отрицательный заряд на нижней пластине $( -q ), $ который уходит в землю.
Сила Кулона притягивает шарик к верхней пластине:
$$ F = \frac{k|Q|q}{d^2} $$
Касание верхней пластины.
Шарик приобретает отрицательный заряд (электризация через контакт).
Теперь шарик отталкивается от верхней пластины:
$$ F = \frac{kQ^2}{d^2} \quad \text{(отталкивание)} $$
Падение на нижнюю пластину.
Отрицательный заряд шарика нейтрализуется.
Процесс повторяется циклически.

Движение шарика:
$1.$ Подъем к верхней пластине (притяжение).
$2.$ Отталкивание после касания.
$3.$ Падение вниз.
$4.$ Повторение цикла.

Ускорение при подъеме:
$$ a = \frac{F- mg}{m} $$Время подъема/падения:$$ t = \sqrt{\frac{2d}{a}} $$
Ответ:
Шарик совершает периодические колебания между пластинами:
$1.$ Притягивается к верхней пластине.
$2.$ Отталкивается после контакта.
$3.$ Падает и разряжается на нижней пластине.
$4.$ Цикл повторяется.

Использованные законы:
$1.$ Закон Кулона.
$2.$ Явление электростатической индукции.
$3.$ Электризация через контакт.
$4.$ Второй закон Ньютона.

При поднесении отрицательной палочки $(-Q)$ к электрометру $1$:
Ближняя сторона: $+q.$
Дальняя сторона: $-q.$

Через металлический стержень заряды перераспределяются:
Электрометр $1$: $+q.$
Электрометр $2$: $-q.$

Суммарный заряд системы остается нулевым:
$$ (+q) + (-q) = 0 $$
Убирают стержень — заряды фиксируются:
Электрометр $1$: $+q.$
Электрометр $2$: $-q.$

Убирают палочку — индуцированные заряды сохраняются.

Ответ:
Первый электрометр имеет положительный заряд.
Второй электрометр имеет отрицательный заряд равной величины.

Основные соотношения.
Закон Ома для полной цепи:
$$I = \frac{\mathcal{E}}{r + R}$$Напряжение на нагрузке:$$U = IR = \frac{\mathcal{E}R}{r + R}$$Мощность в нагрузке: $$P = UI = \frac{U^2}{R}$$
Выразим $R$ через $U.$
Из уравнения для напряжения:$$R = \frac{Ur}{\mathcal{E}- U}$$
Подставим $R$ в формулу мощности: $$P = \frac{U^2(\mathcal{E}- U)}{Ur} = \frac{U(\mathcal{E}- U)}{r}$$
Уравнение имеет вид:
$$P(U) = \frac{\mathcal{E}}{r}U- \frac{1}{r}U^2$$ Это квадратичная функция вида: $$P(U) = aU + bU^2$$
где: $$a = \frac{\mathcal{E}}{r}, \quad b = -\frac{1}{r}$$

Коэффициент при $U^2$ отрицательный $→$ ветви направлены вниз.
Максимум мощности достигается при: $$U_{max} = \frac{\mathcal{E}}{2}$$Нули функции: при $U = 0$ и $U = \mathcal{E}.$

Ответ:
График $P(U)$ представляет собой перевернутую параболу, так как мощность выражается квадратичной функцией от напряжения:
$$P(U) = -\frac{1}{r}U^2 + \frac{\mathcal{E}}{r}U$$

Электростатическая индукция.
Верхняя пластина $(-Q)$ создает поле $E$
В шарике и нижней пластине индуцируются заряды:
$$ \text{Шарик: } +q $$ $$ \text{Нижняя пластина: } -q \text{ (уходит в землю)} $$
Начальное движение вверх.
Сила Кулона:
$$ F_E = qE $$ Условие отрыва: $$ qE > mg $$Ускорение: $$ a = \frac{qE- mg}{m} $$
Касание верхней пластины.
Шарик приобретает заряд $-q.$
Сила отталкивания:
$$ F_E = \frac{kq^2}{d^2} $$
Падение вниз.
Ускорение:$$ a = \frac{qE + mg}{m} $$
Циклическое движение.
Время подъема/падения:
$$ t = \sqrt{\frac{2d}{a}} $$Частота колебаний: $$ f = \frac{1}{2t} $$
Ответ:
Шарик совершает периодические колебания между пластинами:
1. Разгон вверх (притяжение к $-Q$).
2. Отскок от верхней пластины (приобретение $-q$).
3. Падение вниз (отталкивание от $-Q$).
4. Повторение цикла.

Без заряда.
Частота колебаний математического маятника:
$$ \nu_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} $$

С зарядом.
Появляется дополнительная сила Кулона, направленная вниз:
$$ F_E = \frac{\sigma q}{2\epsilon_0} $$ где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда пластины.
Эффективное ускорение:$$ g_{eff} = g + \frac{F_E}{m} = g + \frac{\sigma q}{2m\epsilon_0} $$
Новая частота колебаний:
$$ \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g_{eff}}{l}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l} + \frac{\sigma q}{2m\epsilon_0 l}} $$
$$ \nu > \nu_0 $$так как $\dfrac{\sigma q}{2m\epsilon_0 l} > 0.$

Ответ:
Частота колебаний шарика увеличится после сообщения ему отрицательного заряда.

Силы, действующие на шайбу.
Сила тяжести: $\vec{F}_g = m\vec{g}.$
Сила реакции опоры: $\vec{N} = -\vec{F}_g.$
Сила трения: $\vec{F}_{тр} = μN = μmg$ (максимально возможная).

Условие отсутствия скольжения.
Центростремительная сила не должна превышать максимальную силу трения:
$$ mω^2r ≤ μmg $$

Первый опыт.
$$ F_{цс} = m(2)^2\cdot0.6 = 2.4m $$ $$ F_{тр.max} = 0.3\cdot m\cdot9.8 ≈ 2.94m $$ $$ 2.4m < 2.94m $$ $→$ не скользит

Второй опыт.
$$ F_{цс} = m(2.5)^2\cdot0.6 = 3.75m $$ $$ 3.75m > 2.94m $$ $→$ скользит

Критическая угловая скорость:
$$ ω_{кр} = \sqrt{\frac{μg}{r}} = \sqrt{\frac{0.3\cdot 9.8}{0.6}} ≈ 2.21 \text{ рад/с} $$
Ответ:
При $ω = 2\ рад/с$: шайба не скользит.
При $ω = 2.5\ рад/с$: шайба скользит.

Общая длина доски: $l = 1.3\,м = 130\,см$

Силы, действующие на брусок.

Сила тяжести: $mg.$
Нормальная реакция: $N = mg\cosα.$
Сила трения покоя: $F_{тр} = \mu N = \mu mg\cosα.$
Соскальзывающая сила: $F_{ск} = mg\sinα.$

Первый опыт.
$$ \sinα1 = \frac{78}{130} = 0.6 $$ $$ \cosα_1 = \sqrt{1-0.6^2} = 0.8 $$ $$ \tanα_1 = \frac{0.6}{0.8} = 0.75 $$
Второй опыт.
$$ \sinα_2 = \frac{50}{130} ≈ 0.385 $$ $$ \cosα_2 ≈ \sqrt{1-0.385^2} ≈ 0.923 $$ $$ \tanα_2 ≈ \frac{0.385}{0.923} ≈ 0.417 $$
Условие равновесия.
Брусок не скользит при:
$$ \mu ≥ \tanα $$ где $\mu = 0.5$

Первый опыт:
$$ 0.5 < 0.75 $$$ →$ будет скользить
Второй опыт:
$$ 0.5 > 0.417 $$ $→$ не будет скользить

Ответ:
При высоте $78\ см$: брусок скользит.
При высоте $50 \ см$: брусок не скользит.

$1)$ Для увеличения излучения в видимом диапазоне длин волн рабочую температуру нити накала приходится максимально повышать, приближаясь к температуре плавления вольфрама, поэтому нить работает при очень высокой температуре.

$2)$ При такой высокой температуре вольфрам постепенно испаряется; пары вольфрама, упав на холодные внутренние стенки вакуумированной колбы, конденсируются и образуют темный металлический налет. Это объясняется процессом фазового перехода — переходом атомов из газообразного состояния в твердое при контакте с более холодной поверхностью.

$3)$ Сопротивление нити зависит от ее температуры, то есть $R=R(T),$ и при холодной нити (в момент включения) ее сопротивление значительно меньше, чем при рабочей высокой температуре. Поэтому при включении, когда к нити прикладывается напряжение $U,$ по ней проходит большой ток $I,$ оцененный законом Ома и законом Джоуля-Ленца: $I=\dfrac{U}{R}$ и полезная мощность нагрева $P=I^{2}R$ . Поскольку $R$ в момент включения мала, ток кратковременно велик, что может привести к локальному перегреву и механическому или термическому разрушению нити (в тонком месте нить может расплавиться).

$4)$ Накопившийся за длительную работу дефицит массы нити (из-за ее испарения) и образование тонких, слабо прочных участков усиливают вероятность разрыва именно в момент включения: при холодной низкоомной нити в разомкнувшемся тонком месте мгновенно появляется большая джоулева мощность, и нить перегорает.

$5)$ Если колбу заполняют тяжелым инертным газом (например, аргоном) или бросают в колбу инертный газ под небольшим давлением, диффузия атомов вольфрама к нити и их удаление с поверхности нити после выключения замедляется, а осаждение паров на нити и обратная депозиция на нее после выключения уменьшаются, что замедляет истощение нити и повышает срок службы лампы; в отличие от вакуума, заполнение инертным газом уменьшает скорость испарения и тем самым уменьшает образование налета на стенках и вероятность перегорания при включении.

Ответ: причина налета — испарение вольфрама с нагретой нити и последующая конденсация паров на холодных стенках колбы; причина перегорания при включении — низкое холодное сопротивление нити, приводящее к большому стартовому току $I=\dfrac{U}{R}$ и высокой временной мощности $P=I^{2}R,$ что при наличии истонченных участков нити вызывает ее разрыв

$1)$ В грозовых облаках в восходящих потоках воздуха при контакте и трении ледяных кристаллов, граупеля и капель происходят процессы заряжения; в результате в облаках и между облаками и землей накапливаются большие электрические заряды и возникают значительные разности потенциалов, которые приводят к электрическому пробою воздуха и образованию искровых разрядов — молний.

$2)$ В момент прохождения разряда (молнии) вдоль канала происходит очень быстрое нагревание воздуха до очень высоких температур; это приводит к его быст­рому расширению и образованию ударной волны, распространяющейся в виде звуковой волны — грома. Энергия разряда превращается в тепло и механическую возмущающую импульс волны.

$3)$ Свет от молнии и звук распространяются с очень разными скоростями: скорость света $c$ и скорость звука $v.$ Поэтому вспышку света мы видим почти мгновенно, а звук достигает нас с запозданием, зависящим от расстояния до канала молнии. Временная задержка между вспышкой и первым слышимым громом выражается формулой $$\Delta t=\dfrac{d}{v}-\dfrac{d}{c}$$ поскольку $c\gg v,$ получается приближенно $$\Delta t\approx\dfrac{d}{v}$$ где $d$ — расстояние до места разряда. Численно $c\approx3\cdot10^{8}\ \text{м/с},$ $v\approx330\ \text{м/с}$ (в зависимости от условий).

$4)$ Длительность и «раскатистость» грома объясняются тем, что молния обычно представляет собой длинный, часто разветвленный канал: разные участки канала находятся на разном расстоянии от наблюдателя и по-разному располагаются по направлению и времени испускания звука; каждый участок дает свой звуковой импульс, который доходит в разное время и суммируется. Кроме того, ударная волна по каналу не является точечной — она формируется вдоль протяженного источника, и прямые волны от разных участков, а также отраженные и рассеянные волны от облаков, рельефа и слоев атмосферы приводят к растянутому по времени и неоднородному по тембру звучанию — длительным раскатам грома.

Ответ.
$1)$ Молния — это электрический разряд, возникающий из-за разделения зарядов в облаках и между облаками и землей.
$2)$ Молния нагревает воздух и вызывает его быстрое расширение — источник звука (грома).
$3)$ Свет приходит сначала из-за большой скорости света, а звук позже; временная задержка связана с расстоянием $$\Delta t\approx\dfrac{d}{v}$$
$4)$ Длительность раскатов объясняется протяженностью и разветвленностью канала молнии, различными расстояниями до его участков и наложением прямых и отраженных звуковых волн.

$1)$ Индуктивность $L$ вторичной обмотки повышающего трансформатора может быть очень большой — до единиц и даже нескольких десятых или единиц Генри, в зависимости от конструкции обмотки и сердечника. Поэтому изменение тока в обмотке сопровождается заметной электродвижущей силой самоиндукции.

$2)$ Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея изменение магнитного потока $\Phi$ через контур вызывает $ЭДС$ индукции
$$\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}$$
и для индуктивности $L$ это выражается в виде $ЭДС$ самоиндукции
$$\varepsilon=-L\frac{dI}{dt}$$

$3)$ При замыкании цепи индуктивность препятствует мгновенному нарастанию тока: при большом $L$ скорость нарастания тока $\dfrac{dI}{dt}$ невелика, поэтому лампочка загорается не мгновенно, а по мере установления тока. При быстром же размыкании цепи (особенно если размыкание резкое и прерывистое) величина $\bigl|\dfrac{dI}{dt}\bigr|$ может стать очень большой даже при сравнительно малом значении тока $I$ в момент размыкания. Согласно формуле выше это даёт большую по модулю $ЭДС$ самоиндукции.

$4)$ Получившаяся большая $ЭДС$ самоиндукции прикладывается между концами провода в момент размыкания. Если эта $ЭДС$ превышает пробивное напряжение воздуха на образующемся зазоре, то происходит пробой и возникает искра. Таким образом, даже при питании от маленького источника (нескольких вольт) скачкообразное изменение тока в катушке с большой индуктивностью может привести к очень высоким мгновенным напряжениям на разрыве цепи.

$5)$ Дополнительные обстоятельства, усиливающие эффект: наличие витков, паразитных ёмкостей и остатков магнитного потока в сердечнике может приводить к колебательным переходным процессам и к ещё более высоким локальным напряжениям; а тонкие концы проводников и небольшие зазоры уменьшают требуемое пробивное напряжение, что облегчает образование искры.

Ответ: быстрое размыкание цепи, содержащей крупную индуктивность, вызывает большую по модулю $ЭДС$ самоиндукции, описываемую $$\varepsilon=-L\frac{dI}{dt}$$Эта $ЭДС$ может превысить пробивное напряжение воздуха и вызвать искру между концами проводников, даже если питающее напряжение (напряжение батареек) невелико.