21. Молекулярная физика - электродинамика: качественная задача: все задания

Относительная влажность вычисляется по формуле:
$$ \varphi = \frac{p}{p_{\text{н.п.}}} $$ где $p$ — парциальное давление паров, $p_{\text{н.п.}}$ — давление насыщенных паров.

При нагревании воздуха давление насыщенных паров $p_{\text{н.п.}}$ увеличивается.
Парциальное давление $p$ остается постоянным (по условию).
Следовательно, относительная влажность $\varphi$ уменьшается.

Из уравнения Менделеева — Клапейрона:
$$\rho = \frac{p \mu}{RT} $$ где $p$ — парциальное давление паров, $\mu$ — молярная масса воды, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура.

При нагревании температура $T$ увеличивается.
Парциальное давление $p$ и остальные параметры $( \mu,\ R)$ постоянны.
Следовательно, плотность $\rho$ уменьшается.

Ответ:
Относительная влажность и плотность водяных паров уменьшаются.

Парциальное давление водяного пара.
Сосуд герметичен и жесткий, поэтому процесс нагревания является изохорным (объем не изменяется).
Для изохорного процесса из закона Шарля следует:
$$\frac{p}{T} = \text{const} $$ где $p$ — парциальное давление пара, $T$ — абсолютная температура.
При нагревании от $T_1 = 303 \, \text{K}$ ($30 \, ^\circ \text{C}$) до $T_2 = 323 \, \text{K}$ ($50 \, ^\circ \text{C}$) температура увеличивается, следовательно, парциальное давление $p$ также увеличивается.

Относительная влажность определяется формулой:
$$ \varphi = \frac{\rho}{\rho_{\text{н.п.}}}$$ где $\rho$ — плотность водяного пара, $\rho_{\text{н.п.}}$ — плотность насыщенного пара при данной температуре.

Плотность пара $\rho$ остается неизменной, так как масса пара в сосуде постоянна, а объем сосуда не меняется.

Плотность насыщенного пара $\rho_{\text{н.п.}}$ увеличивается с ростом температуры (так как при более высокой температуре в единице объема может содержаться больше молекул пара).
Поскольку $\rho$ не изменяется, а $\rho_{\text{н.п.}}$ увеличивается, относительная влажность $\varphi$ уменьшается.

Ответ:
Парциальное давление водяного пара увеличится, относительная влажность воздуха уменьшится.

Сосуд с насыщенным водяным паром и водой.

В сосуде находится насыщенный пар и жидкая вода.
Процесс происходит при постоянной температуре $( T = \text{const} ). $
Объем увеличивается медленно, поэтому система успевает поддерживать равновесие между паром и жидкостью.

Давление насыщенного пара зависит только от температуры и не зависит от объема, пока в системе присутствует жидкость.
Формула: $$p_{\text{н.п.}} = f(T)$$ При изотермическом расширении давление остается постоянным, так как испарение воды компенсирует увеличение объема.

Сосуд с сухим воздухом.

Сухой воздух можно считать идеальным газом.
Процесс изотермический $( T = \text{const} ). $
Объем увеличивается в $2$ раза $( V_2 = 2V_1 ). $

Для идеального газа при изотермическом процессе выполняется закон Бойля-Мариотта:
$$ pV = \text{const}$$ При увеличении объема в $2$ раза давление уменьшается в $2$ раза:
$$ p_2 = \frac{p_1}{2} $$

Анализ процесса $1-2.$
На участке $1-2$ концентрация газа $n$ остается постоянной $(n = const).$
Из формулы концентрации: $$n = \frac{N}{V}$$ где $N$ — число молекул (постоянно для $1$ моля), следует, что объем $ V$ также постоянен $(V = const).$

Давление $p$ увеличивается, что соответствует изохорному процессу.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона для изохорного процесса: $$\frac{p}{T} = const$$ следует, что температура $T$ растет пропорционально давлению.

Анализ процесса $2-3.$
На участке $2-3$ наблюдается линейная зависимость $p(n),$ проходящая через начало координат: $p ~ n.$
Подставив в уравнение состояния идеального газа $$p = nkT$$ видим, что при $p ~ n$ температура $T$ должна оставаться постоянной $(T = const).$
Из формулы концентрации $$n = \frac{N}{V}$$ следует, что при увеличении концентрации объем уменьшается, и наоборот.
Таким образом, процесс $2-3$ является изотермическим, где объем изменяется обратно пропорционально давлению: $$pV = const$$

Анализ участка $1-2.$

График в координатах $(n,p)$ представляет собой прямую, проходящую через начало координат: $p ~ n.$
Из уравнения состояния идеального газа: $$p = nkT$$Поскольку $p$ пропорционально $n$ при постоянном коэффициенте, температура $T $ остается постоянной (изотермический процесс).
Концентрация определяется как: $$n = \frac{N}{V}$$При постоянном числе молекул $N$ (по условию масса газа неизменна) увеличение концентрации означает уменьшение объема.
Таким образом, процесс $1-2$ в координатах $(p,V)$ будет описываться уравнением изотермы: $$pV = const$$График — гипербола, где при уменьшении $V$ давление $p$ увеличивается.

Анализ участка $2-3.$
Концентрация $n$ остается постоянной $(n = const).$
Из формулы $$n = \frac{N}{V}$$ при $N = const$ следует $V = const$ (изохорный процесс).
Давление $p$ увеличивается.
Из уравнения состояния $$p = nkT$$ при $n = const$ увеличение $p$ означает увеличение $ T.$
В координатах $(p,V)$ это будет вертикальная линия (объем не изменяется, давление растет).

Физические закономерности.
Процесс изотермический $( T = \text{const} ).$
Водяной пар рассматривается как идеальный газ до момента насыщения.
При появлении росы пар становится насыщенным, и его давление не зависит от объема.

Участок от $4V_0$ до $2V_0.$
Пар ненасыщенный, описывается уравнением состояния идеального газа:
$$ pV = \nu RT = \text{const}$$где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная.
Давление изменяется по закону Бойля—Мариотта:
$$ p \sim \frac{1}{V} $$График — гипербола (на $pV$-диаграмме).

Участок от $2V_0$ до $V_0.$
При $V = 2V_0$ пар становится насыщенным, появляется роса.
Давление насыщенного пара $p_{\text{н}}$ зависит только от температуры:
$$ p = p_{\text{н}}(T) = \text{const} $$При дальнейшем сжатии избыток пара конденсируется, поддерживая давление постоянным.

График $p(V).$
На участке $4V_0$ до $2V_0$: гипербола $p = \frac{\text{const}}{V}.$
На участке $2V_0$ до $V_0$: горизонтальная прямая $p = p_{\text{н}}.$

Ответ:
График состоит из двух участков:
1. Гиперболический участок от $4V_0$ до $2V_0,$ соответствующий изотермическому сжатию ненасыщенного пара.
2. Горизонтальный участок от $2V_0$ до $V_0,$ соответствующий состоянию насыщенного пара.

Основные положения.
Оба процесса являются изохорными ($V = \text{const}$).
Газ один и тот же (молярная масса $\mu$ одинакова).
Объемы сосудов равны ($V_1 = V_2$).
Графики представлены в координатах $(p,T).$

Анализ уравнения состояния.
Уравнение Менделеева-Клапейрона для изохорного процесса:
$$ p = \left(\frac{\nu R}{V}\right)T $$где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная.
Наклон прямой $p(T)$ определяется коэффициентом:
$$ k = \frac{\nu R}{V} $$Так как $V$ одинаково, наклон зависит только от $\nu.$

Сравнение изохор $I$ и $II.$
Изохора $I$ имеет больший наклон, чем изохора $II\ (k_1 > k_2).$
Из формулы для $k$ следует:
$$\frac{\nu_1 R}{V} > \frac{\nu_2 R}{V} \Rightarrow \nu_1 > \nu_2 $$Так как $\nu = \frac{m}{\mu},$ то:
$$m_1 > m_2$$

Основные положения.
Оба процесса являются изотермическими $( T = \text{const} ).$
Газ один и тот же (молярная масса $\mu$ одинакова).
Температуры процессов равны $( T_1 = T_2 ).$
Графики представлены в координатах $(p,V).$

Анализ уравнения состояния.
Уравнение Менделеева-Клапейрона для изотермического процесса:
$$ pV = \nu RT $$ где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная.
Давление выражается как:
$$ p = \frac{\nu RT}{V} $$ Для фиксированного $T$ давление обратно пропорционально объему и прямо пропорционально $\nu.$

Сравнение изотерм $I $ и $II.$
При одинаковом объеме $V$ давление на изотерме $I$ больше, чем на изотерме $II\ ( p_1 > p_2 ).$
Из уравнения состояния следует:
$$\frac{\nu_1 RT}{V} > \frac{\nu_2 RT}{V} \Rightarrow \nu_1 > \nu_2$$
Так как $\nu = \frac{m}{\mu},$ то:
$$ m_1 > m_2 $$

Физические закономерности.
При одинаковых температуре и объеме давление газа пропорционально количеству вещества $( p \sim \nu ).$
Большая масса газа $( m_1 > m_2 ) $ означает большее количество вещества $( \nu_1 > \nu_2 ),$ что приводит к более высокому давлению при том же объеме.

Участок $1-2$ (Изохорный процесс).
Концентрация газа постоянна $(n = \text{const} ),$ следовательно, объем не изменяется $( V = \text{const} ).$
Давление увеличивается $( p_2 > p_1 ).$
Из уравнения состояния идеального газа для изохорного процесса:
$$ \frac{p}{T} = \text{const} \Rightarrow T_2 > T_1 $$
Изменение внутренней энергии $( \Delta U )$:
$$ \Delta U = Q- A $$где $A = 0$ $($так как $V = \text{const} ),$ следовательно, $\Delta U = Q.$
Поскольку $T$ увеличивается, внутренняя энергия растет $( \Delta U > 0 ),$ значит, газ получал теплоту $( Q > 0 ).$

Участок $2-3$ (Изобарный процесс).
Давление постоянно $(p = \text{const} ).$
Концентрация увеличивается $( n_3 > n_2 ),$ следовательно, объем уменьшается $( V_3 < V_2 ).$
Из уравнения состояния:
$$\frac{V}{T} = \text{const} \Rightarrow T_3 < T_2 $$
Работа, совершенная над газом:
$$ A = p \Delta V < 0 \quad (\text{так как } \Delta V < 0) $$Изменение внутренней энергии:
$$ \Delta U = Q- A $$ Поскольку $T$ уменьшается, $\Delta U < 0,$ а $A < 0,$ следовательно:
$$ Q = \Delta U + A < 0 $$ Таким образом, газ отдавал теплоту.

Ответ:
На участке $1-2$ газ принимал теплоту (изохорный нагрев).
На участке $2-3$ газ отдавал теплоту (изобарное охлаждение).

Условия равновесия.
Давления газов по обе стороны поршня равны:
$$p_{Ar} = p_{He}$$Связь давления со средней кинетической энергией:
$$p = \frac{2}{3}nE_k$$
Выражение для давлений.
Для аргона:
$$p_{Ar} = \frac{2}{3}n_{Ar}E_{k,Ar}$$Для гелия:
$$p_{He} = \frac{2}{3}n_{He}E_{k,He}$$

Приравнивание давлений:
$$\frac{2}{3}n_{Ar}E_{k,Ar} = \frac{2}{3}n_{He}E_{k,He}$$Упрощая:
$$n_{Ar}E_{k,Ar} = n_{He}E_{k,He}$$
Подстановка условия $n_{Ar} = 2n_{He}$:
$$2n_{He}E_{k,Ar} = n_{He}E_{k,He}$$ Сокращая $n_{He}$:
$$2E_{k,Ar} = E_{k,He}$$ $$\frac{E_{k,Ar}}{E_{k,He}} = \frac{1}{2}$$

Ответ:
Отношение средней кинетической энергии атома аргона к средней кинетической энергии атома гелия равно $\frac{1}{2}.$

Обоснование:
В равновесии давления газов равны.
Давление выражается через концентрацию и среднюю кинетическую энергию.
При большей концентрации аргона его частицы должны иметь меньшую среднюю энергию для обеспечения равного давления.

Участок $1-2$ (Изотермический процесс).
Температура постоянна $( T = \text{const} ),$ объем уменьшается $( V_2 < V_1 ).$
Из уравнения состояния идеального газа:
$$pV = \nu RT = \text{const}$$Следовательно:$$p \sim \frac{1}{V}$$При уменьшении объема давление увеличивается.

Участок $2-3$ (Изобарный процесс).
График на $VT$-диаграмме — прямая, проходящая через начало координат, что соответствует изобарному процессу $( p = \text{const} ).$
Закон Гей-Люссака: $$\frac{V}{T} = \text{const}$$Давление остается постоянным.

Участок $3-4$ (Изохорный процесс).
Объем постоянен $( V = \text{const} ),$ температура увеличивается $( T_4 > T_3 ).$
Из уравнения состояния: $$\frac{p}{T} = \frac{\nu R}{V} = \text{const}$$ Следовательно:
$$p \sim T$$При увеличении температуры давление увеличивается.

Ответ:
На участке $1-2$ давление увеличивается (изотермическое сжатие).
На участке $2-3$ давление не изменяется (изобарное расширение).
На участке $3-4$ давление увеличивается (изохорное нагревание).

Основные соотношения:
Концентрация и объем связаны соотношением:$$n = \frac{N}{V}$$ где $N$ — число молекул (постоянно).
Уравнение состояния идеального газа:$$p = nkT.$$
Анализ участка $1-2$:
График $p(n)$ — прямая, проходящая через начало координат $(p \sim n).$
Из уравнения состояния следует, что температура постоянна.
По закону Бойля-Мариотта для изотермического процесса:
$$pV = \text{const}$$При увеличении концентрации в $2$ раза $( n_2 = 2n_1 )$:
Объем уменьшается в $2$ раза.
Давление увеличивается в $2$ раза.
График в $(p,V)$ — гипербола.

Анализ участка $2-3$:
Концентрация постоянна, значит объем не изменяется.
Давление увеличивается, что соответствует изохорному процессу.
Из уравнения состояния:
$$\frac{p}{T} = nk = \text{const}$$При увеличении давления в $2$ раза, температура также увеличивается в $2$ раза.

Анализ графика.
На $pT$-диаграмме оба участка $1-2$ и $2-3$ представляют квадратичную зависимость:
$$p = \alpha T^2$$где $\alpha$ — коэффициент пропорциональности.

Уравнение состояния.
Для идеального газа: $$pV = \nu RT,$$где $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Подставляем $p = \alpha T^2$ в уравнение состояния:
$$\alpha T^2 V = \nu RT$$Упрощаем: $$V = \frac{\nu R}{\alpha T}$$

Участок $1-2.$
Температура $T$ увеличивается.
Из полученного уравнения следует, что объем $V$ обратно пропорционален температуре.
Следовательно, при увеличении $T$ объем $V$ уменьшается.

Участок $2-3.$
Температура $T$ продолжает увеличиваться.
Аналогично, объем $V$ уменьшается с ростом температуры.

Ответ:
На обоих участках $1-2$ и $2-3$ объем газа уменьшается с увеличением температуры.

Обоснование.
Из уравнения состояния и заданной зависимости $p(T)$ следует $V \sim 1/T.$
Поскольку температура на обоих участках возрастает, объем должен уменьшаться.
Коэффициент пропорциональности $\alpha$ остается постоянным для данного процесса.

По условию, ток входит в рамку через контакт $»+»$ и выходит через $»-«.$
В левом проводнике рамки ток направлен к наблюдателю ⊙, в правом — от наблюдателя ⊗.

Сила Ампера вычисляется по формуле:
$$\vec{F}_A = I \cdot \vec{L} \cdot \vec{B} $$ где $I$ — сила тока, $\vec{L}$ — вектор длины проводника, $\vec{B}$ — вектор магнитной индукции.
Для левого проводника направление силы: вверх (правило левой руки).
Для правого проводника направление силы: вниз.

Силы $F_{A1}$ (вверх) и $F_{A2}$ (вниз) создают вращающий момент:
$$ \vec{M} = \vec{r} \cdot \vec{F}_A $$ где $\vec{r}$ — радиус-вектор от оси вращения.
Момент направлен по часовой стрелке.

Рамка повернется на $90°,$ пока не встанет перпендикулярно оси магнита.
В конечном положении контакт $»+»$ окажется внизу.
Силы Ампера будут направлены вдоль оси $MO$ и не создадут момента.

Ответ:
Рамка повернется по часовой стрелке и остановится в положении, перпендикулярном оси магнита, с контактом $»+»$ внизу.

Собственная частота контура:
$$ ν0 = \frac{1}{2π\sqrt{LC}} $$При увеличении $C$ от $C_{\min}$ до $C_{\max}$ частота $ν_0$ уменьшается от $ν_{0,\max} = \frac{1}{2π\sqrt{LC_{\min}}}$ до $ν_{0,\min} = \frac{1}{2π\sqrt{LC{\max}}}.$

Максимальная амплитуда тока достигается при резонансе:
$$ ν = ν_0$$В данном эксперименте резонанс не был достигнут, так как амплитуда тока росла на всем интервале изменения $C.$

Постоянный рост амплитуды означает, что частота источника $ν$ была меньше минимальной собственной частоты:
$$ ν < ν_{0,\min} $$ При увеличении $C$ частота $ν_0$ приближалась к $ν,$ усиливая резонансный эффект, но не достигала его.

Импеданс контура:
$$Z = \sqrt{R^2 + \left(ωL — \frac{1}{ωC}\right)^2} $$ уменьшался по мере роста $C,$ что увеличивало амплитуду тока.

Ответ:
Амплитуда тока росла, потому что частота источника $ν$ была ниже минимальной собственной частоты контура. Увеличение емкости приближало $ν_0$ к $ν,$ усиливая резонансный эффект.

Свойства идеального вольтметра:
Имеет бесконечное сопротивление $(R_V → ∞).$
Не создает дополнительной ветви тока в цепи.

Полное сопротивление цепи не зависит от положения движка:
$$ R_{общ} = R $$Ток в цепи по закону Ома:$$ I = \frac{E}{R} $$

Вольтметр измеряет напряжение на части реостата $R_x$:
$$ U_V = I\cdot R_x $$Однако, поскольку $R_V = ∞,$ ток через реостат не идет.
Фактически вольтметр измеряет напряжение на всем реостате:
$$ U_V = I\cdot R = \frac{E}{R}\cdot R = E $$
При любом $R_x$ (от $0$ до $R$) показания остаются:
$$ U_V = E = \text{const} $$
Ответ:
Показания вольтметра не изменяются и равны $E$ при любом положении движка реостата.

Исходное состояние.
Ключ разомкнут, ток в катушке отсутствует.
Магнит неподвижен, пружина растянута под действием силы тяжести.

После замыкания ключа.
В катушке возникает ток (направление: от $»+»$ к $»-«$ источника).
По правилу буравчика:$$ \vec{B}_{катушки} \text{ направлено вниз вдоль оси} $$Катушка с током эквивалентна магниту:
Нижний торец: северный полюс $(N).$
Верхний торец: южный полюс $ (S).$

Взаимодействие магнитов.
Подвешенный магнит ориентирован так, что его ближний к катушке полюс — южный $(S).$
Разноименные полюса ($N$ катушки и $S$ магнита) притягиваются.
Результирующая сила направлена вниз.

Движение магнита.
Магнит начинает двигаться вниз, растягивая пружину.
Уравнение сил: $$ \vec{F}{упр} + \vec{F}{тяж} + \vec{F}{магн} = 0 $$

Ответ:
Магнит начнет двигаться вниз (к катушке), так как разноименные полюса катушки и магнита притягиваются.

Использованные законы:
$1.$ Правило буравчика для определения направления магнитного поля катушки.
$2.$ Закон Ампера о взаимодействии токов и магнитов.
$3.$ Принцип эквивалентности катушки с током и магнита.

Силы, действующие на протон.
Электрическая сила:
$$ \vec{F}_E = q\vec{E} \quad \text{(направлена вдоль $\vec{E}$)} $$Магнитная сила (Лоренца):
$$ \vec{F}_B = q[\vec{v} \cdot \vec{B}] \quad \text{(направлена противоположно $\vec{F}_E$)} $$
Условие прямолинейного движения.
Баланс сил:
$$ F_E = F_B \Rightarrow qE = qvB \Rightarrow v = \frac{E}{B} $$Увеличение скорости $(v’ > v)$:
$F_E$ не изменяется (зависит только от $E$ и $q$).
$F_B$ возрастает пропорционально скорости:
$$ F_B’ = qv’B > qvB = F_E $$
Результирующая сила.
Направлена в сторону $\vec{F}_B$ (против $\vec{E}$).
Вызывает криволинейное движение по дуге окружности:
$$ F_B’- F_E = \frac{mv’^2}{R} $$Радиус кривизны:
$$ R = \frac{mv’}{qB- \frac{E}{v’}} $$
Ответ:
При увеличении скорости протон начнет отклоняться против направления электрического поля, двигаясь по дуге окружности.

Обоснование:
$1.$ Уравнение движения заряда в скрещенных полях.
$2.$ Правило левой руки для силы Лоренца.
$3.$ Условие равновесия сил при прямолинейном движении.
$4.$ Формула для центростремительного ускорения при криволинейном движении.

Начальное состояние.
Верхняя пластина заряжена отрицательно $( -Q ).$
Нижняя пластина и шарик нейтральны.

Электростатическая индукция.
Отрицательный заряд верхней пластины индуцирует:
Положительный заряд на шарике $( +q ).$
Отрицательный заряд на нижней пластине $( -q ), $ который уходит в землю.
Сила Кулона притягивает шарик к верхней пластине:
$$ F = \frac{k|Q|q}{d^2} $$
Касание верхней пластины.
Шарик приобретает отрицательный заряд (электризация через контакт).
Теперь шарик отталкивается от верхней пластины:
$$ F = \frac{kQ^2}{d^2} \quad \text{(отталкивание)} $$
Падение на нижнюю пластину.
Отрицательный заряд шарика нейтрализуется.
Процесс повторяется циклически.

Движение шарика:
$1.$ Подъем к верхней пластине (притяжение).
$2.$ Отталкивание после касания.
$3.$ Падение вниз.
$4.$ Повторение цикла.

Ускорение при подъеме:
$$ a = \frac{F- mg}{m} $$Время подъема/падения:$$ t = \sqrt{\frac{2d}{a}} $$
Ответ:
Шарик совершает периодические колебания между пластинами:
$1.$ Притягивается к верхней пластине.
$2.$ Отталкивается после контакта.
$3.$ Падает и разряжается на нижней пластине.
$4.$ Цикл повторяется.

Использованные законы:
$1.$ Закон Кулона.
$2.$ Явление электростатической индукции.
$3.$ Электризация через контакт.
$4.$ Второй закон Ньютона.