2. Динамика: Второй закон Ньютона

$1.$ Вес $P$ — это сила, с которой тело давит на опору. По третьему закону Ньютона вес равен по модулю силе реакции опоры $N$: $$P = N$$ $2.$ На груз действуют две силы:сила тяжести $F_{тяж} = m \cdot g = 5 \cdot 10 = 50\space Н$ (вниз) сила реакции опоры $N$ (вверх)

$3.$ Запишем второй закон Ньютона для груза, который движется вверх с ускорением $a$: $$N-m \cdot g = m \cdot a$$ $4.$ Выразим силу реакции опоры: $$N = m \cdot g + m \cdot a = m \cdot (g + a)$$
$5.$ Подставим числовые значения: $$N = 5 \cdot (10 + 1) = 5 \cdot 11 = 55 \text{ Н}$$
$6.$ Следовательно, вес груза равен: $$P = N = 55 \text{ Н}$$

$1.$ Из графика видно, что в течение первых двух секунд движение тела равноускоренное.

$2.$ Найдем ускорение тела за первую секунду:
$$a_x = \frac{v_x-v_{0x}}{t} = \frac{0-(-2)}{1} = 2 \text{ м/с}^2$$
$3.$ По второму закону Ньютона вычислим модуль проекции силы:$$F_x = m \cdot a_x = 2 \cdot 2 = 4 \text{ Н}$$

$1.$ Анализируя график, определяем:
Начальная скорость $v_{0x} = -2\space м/с$ $($при $t = 0\space с).$
Скорость через $1$ секунду $v_x = 2\space м/с$ $($при $t = 1\space с).$

$2.$ Вычисляем ускорение тела:$$a_x = \frac{v_x-v_{0x}}{t} = \frac{2-(-2)}{1} = 4 \text{ м/с}^2$$ $3.$ По второму закону Ньютона находим силу: $$F_x = m \cdot a_x = 2 \cdot 4 = 8 \text{ Н}$$

$1.$ Определим ускорение лифта:
$$a = \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{0-6}{30} = -0.2 \text{ м/с}^2$$ Знак « — » показывает, что ускорение направлено против скорости (вниз).

$2.$ Запишем второй закон Ньютона для лифта (ось направлена вверх):
$$T-mg = ma$$ где $T$ — сила натяжения троса.

$3.$ Выразим силу натяжения: $$T= m(g + a) $$ $$T = 800(10 + (-0.2)) = 800 \cdot9.8 = 7\space840 \text{ Н}$$

$1.$ Находим ускорение груза:$$a = \frac{\Delta V}{\Delta t} = 2 \, \text{м/с}^2$$$2.$ Записываем второй закон Ньютона:$$ma = T-mg$$$3.$ Выражаем и вычисляем силу натяжения:$$T = m(a + g) = 100 \cdot (2 + 10) = 1\space200 \, \text{Н}$$

$1.$ Сила давления ящика на поверхность равна по модулю силе нормальной реакции опоры $N$ (по третьему закону Ньютона).

$2.$ Запишем условие равновесия для вертикальных сил:
$$N = mg + F \sin 30^\circ$$ $3.$ Подставляем значения: $$N = 20\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 + 100\,\text{Н} \cdot 0.5 $$ $$ 200\,\text{Н} + 50\,\text{Н}= 250\,\text{Н}$$

Второй закон Ньютона для равновесия.
Для каждого бруска в состоянии равновесия: $$\sum \vec{F} = 0 \Rightarrow T = mg + T_{\text{нижн}}$$
где $T_{\text{нижн}}$ — натяжение нити от нижележащих брусков.

$1.$ Для нижнего бруска массой $3m$: $$T_3 = 3mg$$ $2.$ Для среднего бруска массой $2m$: $$T_2 = T_3 + 2mg = 3mg + 2mg = 5mg$$ $3.$ Для верхнего бруска массой $m$: $$T_1 = T_2 + mg = 5mg + mg = 6mg$$ $4.$ Находим отношение сил натяжения: $$\frac{T_1}{T_2} = \frac{6mg}{5mg} = \frac{6}{5} = 1.2$$

По второму закону Ньютона $F = ma,$ а ускорение $a = \dfrac{v-v_0}{t}.$

Значит: $$F = \dfrac{m(v-v_0)}{t} = \frac{0.15 \cdot (6-2)}{3} = 0.2\,\text{Н}$$

$1.$ Анализ графика:

Первые $10\spaceс{:}$ $F < mg$ $( 40\space Н < 4 \cdot 10\space Н)$ → тело покоится.
В момент $t = 15 с{:}$ $F = 60\space Н.$

$2.$ Применяем второй закон Ньютона:$$F-mg = ma$$ $3.$ Выражаем ускорение:$$a = \frac{F-mg}{m}$$ $4.$ Подставляем значения:$$a = \frac{60-4 \cdot 10}{4} = \frac{20}{4} = 5\,м/с^2$$

$1.$ Определяем силу трения при равномерном движении:$$F_{тр} = F_1 = 2\,\text{Н}$$
$2.$ Записываем второй закон Ньютона для нового случая:$$F_2-F_{тр} = m \cdot a$$
$3.$ Выражаем ускорение:$$a = \frac{F_2-F_{тр}}{m}$$
$4.$ Подставляем значения:$$a = \frac{6-2}{0.5} = \frac{4}{0.5} = 8\,\text{м/с}^2$$

Второй закон Ньютона.
Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил и обратно пропорционально его массе:
$$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}$$ $1.$ Для первого случая (одна сила): $$a_1 = \frac{F_1}{m} = \frac{8}{m}$$ $2.$ Для второго случая (две перпендикулярные силы).
Находим равнодействующую силу по теореме Пифагора:$$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\,\text{Н}$$ Применяем второй закон Ньютона:$$a_2 = \frac{F}{m} = \frac{10}{m}$$ $3.$ Находим отношение ускорений: $$\frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{10}{m}}{\frac{8}{m}} = \frac{10}{8} = 1.25$$

Второй закон Ньютона.
Ускорение тела прямо пропорционально действующей силе и обратно пропорционально его массе:
$$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} \quad \text{или} \quad m = \frac{F}{a}$$
$1.$ Выбираем точку на графике с координатами $(F, a) = (6\,\text{Н}, 0.25\,\text{м/с}^2)$ $2.$ Применяем второй закон Ньютона:$$m = \frac{F}{a}$$ $3.$ Подставляем значения из выбранной точки:$$m = \frac{6}{0.25} = 24\,\text{кг}$$

Второй закон Ньютона.
Ускорение тела прямо пропорционально действующей силе и обратно пропорционально его массе:
$$a = \frac{F}{m}$$ $1.$ По графику определяем значение силы в момент времени $t = 3\space с{:}$ $$F = 3\,\text{Н}$$ $2.$ Переводим массу тела в СИ: $$m = 600\,\text{г} = 0.6\,\text{кг}$$ $3.$ Вычисляем ускорение по второму закону Ньютона: $$a = \frac{F}{m} = \frac{3}{0.6} = 5\,\text{м/с}^2$$

Второй закон Ньютона.
Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение:
$$F = ma$$ $1.$ Для первого тела: $$a = \frac{F_1}{m_1} = \frac{50}{5} = 10\,\text{м/с}^2$$ $2.$ Для второго тела (с таким же ускорением): $$m_2 = \frac{F_2}{a} = \frac{60}{10} = 6\,\text{кг}$$

Второй закон Ньютона.
Проекция силы равна произведению массы тела на проекцию ускорения:
$$F_x = ma_x$$ Равноускоренное движение.
Проекция ускорения вычисляется по формуле: $$a_x = \frac{v_x-v_{0x}}{t}$$ $1.$ Вычисляем проекцию ускорения: $$a_x = \frac{1-(-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\text{м/с}^2$$ $2.$ Находим модуль проекции силы: $$F_x = m \cdot a_x = 4 \cdot 1 = 4\,\text{Н}$$

Второй закон Ньютона.
Ускорение тела прямо пропорционально действующей силе и обратно пропорционально его массе:$$a = \frac{F}{m}$$

$1.$ Для первого тела находим отношение силы к массе:$$\frac{F}{m} = a_1 = 3\,\text{м/с}^2$$ $2.$ Для второго тела $($сила $\dfrac{F}{2},$ масса $3m){:}$ $$a_2 = \frac{\frac{F}{2}}{3m} = \frac{F}{6m}$$ $3.$ Подставляем известное отношение $\dfrac{F}{m}$:$$a_2 = \dfrac{3}{6} = 0.5\,\text{м/с}^2$$

Второй закон Ньютона.
Ускорение тела прямо пропорционально действующей силе и обратно пропорционально его массе: $$a = \frac{F}{m}$$ $1.$ Для первого тела находим ускорение: $$a = \frac{F_1}{m_1} = \frac{35}{5} = 7\,\text{м/с}^2$$ $2.$ Для второго тела (такое же ускорение): $$F_2 = m_2 \cdot a = 9 \cdot 7 = 63\,\text{Н}$$

Второй закон Ньютона.
Масса тела равна отношению действующей силы к создаваемому ускорению:$$m = \frac{F}{a}$$ $1.$ Для первого тела находим отношение:$$\frac{F}{a} = m = 4\,\text{кг}$$ $2.$ Для второго тела $($сила $\dfrac{1}{2}F,$ ускорение $\dfrac{1}{4}a){:}$ $$m_2 = \frac{\frac{1}{2}F}{\frac{1}{4}a} = \frac{4}{2} \cdot \frac{F}{a} = 2 \cdot 4 = 8\,\text{кг}$$

Используем второй закон Ньютона:
$$F_x = m a_x$$ $1.$ По графику определим ускорение тела:
$$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{10\,\text{м/с}-0\,\text{м/с}}{4\,\text{с}} = 2.5\,\text{м/с}^2$$ $2.$ Вычислим проекцию силы: $$F_x = m a_x = 2\,\text{кг} \cdot 2.5\,\text{м/с}^2 = 5\,\text{Н}$$

Второй закон Ньютона в проекциях.
Для покоящегося тела ($a=0$):

$$\sum F_x = mg\sin\alpha-F_{\text{тр}} = 0 $$ $$\sum F_y = N-mg\cos\alpha = 0$$ где $\alpha = 30^\circ$ — угол наклона плоскости.

$1.$ Запишем уравнение для оси вдоль плоскости: $$mg\sin30^\circ = F_{\text{тр}}$$ $2.$ Выразим силу тяжести $mg$: $$mg = \frac{F_{\text{тр}}}{\sin30^\circ} = \frac{0.5}{0.5} = 1\,\text{Н}$$