Сдвиги и растяжения графиков функций

Содержание

Вы уже строили параболу $y=x^2$ (урок «Квадратичная функция и ее свойства»), графики $y=\lvert x \rvert$ («Функция y = |x| и ее график») и $y=\sqrt{x}$ («Функция y = корень из x и ее график»). В этом уроке научимся получать из одного готового графика целое семейство: $y=x^2+2$, $y=(x-3)^2$, $y=2x^2$, $y=-2(x-1)^2+3$ — без новых таблиц, одними движениями. Вопрос, к которому вернемся в конце: в формуле $y=(x-3)^2$ стоит минус, а вершина параболы оказывается справа, в точке $x=3$. Это обман? И можно ли, едва взглянув на график, сразу написать его формулу?

Пленку с графиком сдвигают вверх и вниз

Представьте, что график $y=x^2$ нарисован на прозрачной пленке, а пленка лежит на клетчатой сетке с осями. Пленку можно двигать, растягивать и переворачивать, а сам чертеж на ней не меняется. Такой исходный график будем называть базовым. Сравним значения $y=x^2$ и $y=x^2+2$ при одних и тех же $x$.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y=x^2$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$
$y=x^2+2$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$

Каждая точка сохранила свою абсциссу, а ордината выросла ровно на 2. Значит, вся пленка поднялась на 2 клетки: вершина переехала из $(0;\,0)$ в $(0;\,2)$, и форма параболы не изменилась. У $y=x^2-3$ все значения на 3 меньше — пленка опустилась на 3, вершина в точке $(0;\,-3)$.

Сдвиг вверх: парабола y = x² и парабола y = x² + 2; каждая точка поднялась на 2, абсциссы те же — Каждая точка поднялась на 2 при той же абсциссе: число снаружи двигает пленку по вертикали

Правило

Чтобы построить график $y=f(x)+a$, график $y=f(x)$ сдвигают вдоль оси $Oy$: на $a$ вверх, если $a>0$, и на $\lvert a \rvert$ вниз, если $a<0$.

$$(x;\,y)\ \to\ (x;\,y+a)$$

Почему это верно для любой функции: при одном и том же $x$ новая функция дает то же значение, что и старая, плюс число $a$. Абсцисса точки не меняется, меняется только высота. Число $a$ стоит снаружи функции и действует на $y$.

{"questions":[{"content":"Точка $(1;\\,3)$ лежит на графике $y=f(x)$. Какая точка лежит на графике $y=f(x)-4$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(1;\\,7)$","$(1;\\,-1)$","$(5;\\,3)$","$(-3;\\,3)$"],"explanations":["Слагаемое $-4$ уменьшает $y$, график опускается, а не поднимается","","Изменилась абсцисса: так сдвигает число в скобке, $f(x-4)$, а здесь $-4$ стоит снаружи","Число снаружи не меняет $x$: при $x=1$ значение стало $3-4$"],"answer":[1]}},"hints":["Число снаружи меняет только значение $y$, абсцисса та же.","$3-4=-1$: точка $(1;\\,-1)$."],"step":1},{"content":"Точка $(2;\\,5)$ лежит на графике $y=f(x)$. Найдите абсциссу соответствующей точки графика $y=f(x)+3$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Число снаружи двигает график по вертикали и меняет только ординату.","Абсцисса остается прежней: 2. Ответ: 2."],"step":1}],"mix":1}

Почему минус в скобке двигает график вправо

Иксератопс спрашивает: «Почему у $y=(x-3)^2$ минус, а график едет вправо?» Проверим по точкам. Базовая функция $y=x^2$ дает значение $4$ при $x=2$. Новая функция $y=(x-3)^2$ дает то же значение $4$, когда в скобке получается $2$: $x-3=2$, то есть при $x=5$. Точка $(2;\,4)$ переехала в $(5;\,4)$.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y=(x-3)^2$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Это те же значения $4,\ 1,\ 0,\ 1,\ 4$, что у $y=x^2$ при $x=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2$, только каждое появилось на 3 правее. Новая функция «опаздывает»: она делает при $x$ то, что старая делала при $x-3$. Чтобы получить прежнее значение, $x$ должен стать больше на 3 — поэтому пленка уезжает вправо.

Сдвиг вправо: парабола y = (x − 3)² получена из y = x² переносом на 3 вправо; значение 4 теперь при x = 5, вершина в точке (3; 0) — Значение 4 новая функция получает при x = 5, на 3 правее: пленка уехала вправо

Правило

Чтобы построить график $y=f(x-a)$, график $y=f(x)$ сдвигают вдоль оси $Ox$ на $a$ вправо, если $a>0$. График $y=f(x+a)$ при $a>0$ сдвинут на $a$ влево.

$$(x;\,y)\ \to\ (x+a;\,y)$$

Ошибка

Вообразавр рассуждает: «В скобке минус, значит, $y=(x-3)^2$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая влево на 3». Решавр проверяет по точке. Если бы вершина сдвинулась влево, она стояла бы при $x=-3$ и значение там было бы $0$. Но $(-3-3)^2=36$. А при $x=3$ получается $(3-3)^2=0$ — вершина справа.

Где сломалось рассуждение: знак в скобке — не стрелка направления. Вершина стоит там, где скобка равна нулю, а $x-3=0$ при $x=3$.

Ошибка: парабола y = (x − 3)² не уходит влево; при x = −3 значение 36, а нуль достигается при x = 3 — При x = −3 значение 36, а не 0: «влево» не проходит проверку, вершина в точке x = 3

Пример 1

Найдите вершину параболы $y=(x+4)^2+3$ и объясните, как ее график получен из $y=x^2$.

Решение. Скобка $x+4$ равна нулю при $x=-4$: пленку сдвинули на 4 влево. Слагаемое $+3$ снаружи поднимает пленку на 3. Вершина $(0;\,0)$ переехала в $(-4;\,3)$.

Проверка. При $x=-4$: $0^2+3=3$. При $x=-3$ и $x=-5$: $1+3=4$ — значения больше 3 и одинаковые слева и справа от вершины, как и положено параболе.

Ответ: $(-4;\,3)$; сдвиг на 4 влево и на 3 вверх.

Подвигайте пленку сами: ползунок $m$ сдвигает параболу по горизонтали, ползунок $n$ — по вертикали, а формула под графиком показывает, что при этом пишется в скобке и снаружи.

fn-shift

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Как получить график $y=(x-5)^2$ из графика $y=x^2$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1aev41hfaz47.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["сдвинуть на 5 влево","сдвинуть на 5 вправо","сдвинуть на 5 вверх","сдвинуть на 5 вниз"],"explanations":["Знак минус в скобке сбивает: проверьте вершину, она в $x=5$, а не в $x=-5$","","Число в скобке меняет $x$, а не $y$: это сдвиг по горизонтали","Вниз двигает число вне скобки, например $x^2-5$"],"answer":[1]}},"hints":["Проверим точку: $y=0$ при $x=5$, вершина стоит в $x=5$.","Значит, график сдвинут на 5 вправо."],"step":1},{"content":"Вообразавр рассуждает: «У параболы $y=(x+1)^2-2$ в скобке плюс, значит, вершина сдвинулась на 1 вправо и на 2 вниз». Найдите ошибку.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["вершина сдвинулась на 1 влево, а не вправо","ошибки нет","на 1 и на 2 нужно поменять местами","вершина сдвинулась на 2 вверх, а не вниз"],"explanations":["","Проверьте точку $x=1$: $(1+1)^2-2=2$, а наименьшее значение $-2$ парабола принимает при $x=-1$","Число в скобке двигает график по $x$, число снаружи — по $y$: оси Вообразавр не перепутал","Слагаемое $-2$ стоит снаружи и уменьшает каждое значение $y$ на 2: это сдвиг вниз, здесь Вообразавр прав"],"answer":[0]}},"hints":["Вершина там, где скобка равна нулю: $x+1=0$.","Это $x=-1$ — левее нуля, а не правее.","Вершина в точке $(-1;\\,-2)$: сдвиг на 1 влево и на 2 вниз."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите абсциссу вершины параболы $y=(x+2)^2-5$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Вершина параболы $y=x^2$ в точке $(0;0)$.","Скобка $(x+2)=(x-(-2))$ сдвигает вправо на $-2$, то есть влево на 2.","Абсцисса вершины: $-2$."],"step":1}],"mix":1}

Пленку растягивают от горизонтальной оси

Теперь пленку не сдвигают, а тянут вверх и вниз от оси $Ox$, словно резиновую. Возьмем $f(x)=x^2-4$ и умножим все значения на 2: $y=2(x^2-4)$.

$x$	$-3$	$-2$	$0$	$2$	$3$
$y=x^2-4$	$5$	$0$	$-4$	$0$	$5$
$y=2(x^2-4)$	$10$	$0$	$-8$	$0$	$10$

Каждая ордината удвоилась: точка $(3;\,5)$ ушла в $(3;\,10)$, вершина $(0;\,-4)$ — в $(0;\,-8)$. А точки $(-2;\,0)$ и $(2;\,0)$ остались на месте: $2\cdot 0=0$. Пленка словно приколота к оси $Ox$ — что выше оси, поднимается, что ниже, опускается. При множителе $\frac{1}{2}$ все наоборот прижимается к оси: у $y=\frac{1}{2}x^2$ точка $(2;\,4)$ переходит в $(2;\,2)$.

Растяжение: ординаты графика y = 2(x² − 4) вдвое больше, чем у y = x² − 4; точки (−2; 0) и (2; 0) остались на месте — Ординаты удвоились, а точки на оси Ox не сдвинулись: пленка приколота к оси

Правило

График $y=a\cdot f(x)$ при $a>1$ получают из графика $y=f(x)$ растяжением от оси $Ox$ в $a$ раз, при $0<a<1$ — сжатием к оси $Ox$ в $\frac{1}{a}$ раз. Точки на оси $Ox$ остаются на месте.

$$(x;\,y)\ \to\ (x;\,a\cdot y)$$

Для параболы $y=ax^2$ это значит: чем больше $a$, тем круче ветви и тем «уже» парабола; при $a=\frac{1}{2}$ она шире. Вершина $(0;\,0)$ лежит на оси и не двигается.

А если множитель стоит внутри скобки?

Скрыть

График $y=f(2x)$ сжимается к оси $Oy$ в 2 раза. Логика та же, что у сдвига: значение, которое старая функция давала при $x=2$, новая дает уже при $x=1$, ведь $f(2\cdot 1)=f(2)$. Все «наоборот», как и в скобке $x-a$. В ОГЭ такие преобразования не встречаются, поэтому дальше мы их не используем.

{"questions":[{"content":"Что происходит с графиком $y=x^2$ при переходе к $y=3x^2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["сдвигается на 3 вправо","растягивается от оси $Ox$ в 3 раза","сжимается к оси $Oy$ в 3 раза","сдвигается на 3 вверх"],"explanations":["Сдвиг вправо записывают в скобке: $(x-3)^2$","","График выглядит уже, но абсциссы точек не меняются, утраиваются ординаты: $(1;1)$ переходит в $(1;3)$, а не в $(\\frac{1}{3};1)$","Сдвиг дает слагаемое $+3$, а здесь множитель"],"answer":[1]}},"hints":["Каждое значение $y$ умножается на 3.","График растягивается от оси $Ox$ в 3 раза, нули остаются на месте."],"step":1},{"content":"Точки $(-1;\\,0)$ и $(2;\\,-3)$ лежат на графике $y=f(x)$. Найдите сумму ординат точек графика $y=\\frac{1}{2}f(x)$ с абсциссами $-1$ и $2$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-1,5","-1.5"]}},"hints":["Множитель $\\frac{1}{2}$ умножает каждую ординату, абсциссы не меняются.","Точка на оси $Ox$ остается на месте: $\\frac{1}{2}\\cdot 0=0$.","$\\frac{1}{2}\\cdot(-3)=-1{,}5$; сумма $0+(-1{,}5)=-1{,}5$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Пленку переворачивают и делают несколько ходов подряд

Множитель $-1$ меняет знак каждой ординаты: у $y=-x^2$ точка $(1;\,1)$ переходит в $(1;\,-1)$, точка $(2;\,4)$ — в $(2;\,-4)$. Пленку перевернули через ось $Ox$, как страницу: ветви смотрят вниз.

Правило

График $y=-f(x)$ симметричен графику $y=f(x)$ относительно оси $Ox$. При $a<0$ график $y=a\cdot f(x)$ получают растяжением (или сжатием) в $\lvert a \rvert$ раз и отражением относительно оси $Ox$.

Обратите внимание

Минус перед функцией — не сдвиг вниз. У $y=x^2-1$ вершина опускается в $(0;\,-1)$, а ветви по-прежнему вверх. У $y=-x^2$ вершина остается в $(0;\,0)$, а ветви переворачиваются вниз.

Формула $y=a(x-m)^2+n$ — это несколько ходов одной пленки. Удобно сначала растянуть и при необходимости перевернуть пленку, пока вершина в начале координат, а затем сдвинуть ее: на $m$ по горизонтали и на $n$ по вертикали.

Правило

Вершина параболы $y=a(x-m)^2+n$ — точка $(m;\,n)$. Множитель $a$ вершину не двигает: он задает направление ветвей и их крутизну.

$$y=a(x-m)^2+n\ \Rightarrow\ \text{вершина }(m;\,n)$$

Три хода пленки для y = −2(x − 1)² + 3: растянуть вдвое и перевернуть, сдвинуть на 1 вправо, поднять на 3; вершина переехала из (0; 0) в (1; 3), ветви вниз — Растянули, перевернули, сдвинули: вершина (0; 0) переехала в (1; 3), ветви смотрят вниз

Пример 2

Постройте график $y=-2(x-1)^2+3$ по графику $y=x^2$.

Решение. Ходы пленки (как на схеме): $y=x^2\ \to\ y=-2x^2$ (растянули в 2 раза и перевернули через $Ox$: сначала $2x^2$, затем знак минус) $\to\ y=-2(x-1)^2$ (сдвинули на 1 вправо) $\to\ y=-2(x-1)^2+3$ (подняли на 3). Вершина — $(1;\,3)$, ветви вниз.

Проверка таблицей.

Наибольшее значение $3$ при $x=1$, значения симметричны относительно $x=1$.

Порядок важен. Если сначала поднять на 3, а потом умножить на $-2$, получится $-2\big((x-1)^2+3\big)=-2(x-1)^2-6$ — вершина в $(1;\,-6)$, другой график.

{"questions":[{"content":"График $y=-x^2$ получают из графика $y=x^2$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["поворотом ветвей вниз без отражения: точка $(1;1)$ переходит в $(1;0)$","сдвигом на 1 вниз","отражением относительно оси $Ox$","отражением относительно оси $Oy$"],"explanations":["Минус меняет знак ординаты: $(1;1)\\to(1;-1)$","Сдвиг вниз — $x^2-1$, вершина смещается, а здесь она в нуле","","Парабола $x^2$ симметрична относительно $Oy$, ее график не изменился бы"],"answer":[2]}},"hints":["Знак у $y$ меняется на противоположный.","Точка $(1;1)$ переходит в $(1;-1)$: отражение относительно оси $Ox$."],"step":1},{"content":"Распределите параболы по положению вершины.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Вершина $(2;\\,-1)$","Вершина $(-2;\\,-1)$"],"items":[["$y=(x-2)^2-1$","$y=-3(x-2)^2-1$","$y=0{,}5(x-2)^2-1$"],["$y=(x+2)^2-1$","$y=-(x+2)^2-1$","$y=4(x+2)^2-1$"]]}},"instruction":"Распределите формулы по группам","hints":["Вершина параболы $y=a(x-m)^2+n$ — точка $(m;\\,n)$, множитель $a$ ее не меняет.","Скобка $(x-2)$ обнуляется при $x=2$, скобка $(x+2)$ — при $x=-2$.","Скобка $(x-2)$ дает вершину с абсциссой $2$, скобка $(x+2)$ — с абсциссой $-2$; слагаемое $-1$ — ордината $-1$ в обеих группах."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

На пленке другой чертеж: модуль и корень

Ходы пленки не зависят от того, что на ней нарисовано. Положим на пленку «уголок» $y=\lvert x \rvert$ с изломом в $(0;\,0)$. График $y=\lvert x-2 \rvert+1$ — это уголок, сдвинутый на 2 вправо и на 1 вверх: излом в точке $(2;\,1)$. Проверим: при $x=0,\,1,\,2,\,3,\,4$ получаем $3,\,2,\,1,\,2,\,3$ — наименьшее значение $1$ при $x=2$.

У графика $y=\sqrt{x}$ опорная точка — его начало $(0;\,0)$. График $y=\sqrt{x+2}$ сдвинут на 2 влево: начинается в точке $(-2;\,0)$, ведь корень существует только при $x+2\ge0$. Удобные точки: $x=-1$ дает $1$, $x=2$ дает $2$, $x=7$ дает $3$.

Модуль и корень: график y = |x − 2| + 1 с изломом в точке (2; 1) и график y = √(x + 2) с началом в точке (−2; 0), полученные сдвигом пленки — Те же ходы пленки: излом уголка переехал в (2; 1), начало графика корня — в (−2; 0)

График	Опорная точка	Куда переехала
$y=x^2\ \to\ y=a(x-m)^2+n$	вершина $(0;\,0)$	$(m;\,n)$
$y=\lvert x \rvert\ \to\ y=\lvert x-m \rvert+n$	излом $(0;\,0)$	$(m;\,n)$
$y=\sqrt{x}\ \to\ y=\sqrt{x-m}+n$	начало $(0;\,0)$	$(m;\,n)$

{"questions":[{"content":"Найдите сумму координат точки излома графика $y=|x-3|+2$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Точка излома $y=|x|$ — $(0;0)$. Скобка сдвигает ее на 3 вправо, слагаемое $+2$ — на 2 вверх.","Излом в $(3;\\,2)$: $3+2=5$."],"step":1},{"content":"Вообразавр рассуждает: «В формуле $y=\\lvert x+1 \\rvert-2$ в скобке плюс, значит, излом графика $y=\\lvert x \\rvert$ сдвинулся на 1 вправо и на 2 вниз». Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["излом сдвинулся на 2 вверх, а не вниз","ошибки нет","излом сдвинулся на 1 влево, а не вправо","на 1 и на 2 нужно поменять местами"],"explanations":["Слагаемое $-2$ стоит снаружи и уменьшает каждое значение $y$ на 2: это сдвиг вниз, здесь Вообразавр прав","Проверьте точку $x=1$: $\\lvert 1+1 \\rvert-2=0$, а в изломе значение наименьшее, $-2$. Излом не в $x=1$","","Число внутри модуля двигает график по $x$, число снаружи — по $y$: оси Вообразавр не перепутал"],"answer":[2]}},"hints":["Излом там, где выражение под модулем равно нулю: $x+1=0$.","Это $x=-1$ — левее нуля, а не правее.","Излом в точке $(-1;\\,-2)$: сдвиг на 1 влево и на 2 вниз."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите абсциссу начала графика функции $y=\\sqrt{x+3}$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Корень существует при $x+3\\geq 0$.","Начало графика при $x+3=0$, то есть $x=-3$."],"step":1}],"mix":1}

Как прочитать формулу по графику

Вернемся к вопросу из начала. Минус в $y=(x-3)^2$ — не обман и не направление. Скобка задает уравнение: вершина стоит там, где скобка равна нулю, а $x-3=0$ при $x=3$. Поэтому формулу по графику читают от опорной точки: находят, куда уехала вершина, излом или начало, и подбирают скобку, которая обнуляется именно там.

Три одинаковые параболы ветвями вверх: A с вершиной (−2; 0), B с вершиной (0; −2), C с вершиной (2; 0) — A — вершина (−2; 0): y = (x + 2)²; B — (0; −2): y = x² − 2; C — (2; 0): y = (x − 2)²

На рисунке три параболы и три формулы, как в задании ОГЭ №11: $y=(x-2)^2$, $y=x^2-2$, $y=(x+2)^2$. У параболы $A$ вершина $(-2;\,0)$ — скобка должна обнуляться при $x=-2$, это $y=(x+2)^2$. У параболы $B$ вершина $(0;\,-2)$ — сдвиг только вниз, $y=x^2-2$. У параболы $C$ вершина $(2;\,0)$ — это $y=(x-2)^2$.

Пример 3

Парабола с вершиной $(1;\,-2)$ проходит через точку $(2;\,0)$. Найдите ее формулу вида $y=a(x-m)^2+n$.

Решение. Вершина дает $m=1$, $n=-2$: $y=a(x-1)^2-2$. Подставим точку $(2;\,0)$: $a\cdot(2-1)^2-2=0$, откуда $a=2$.

Проверка. $y=2(x-1)^2-2$: при $x=0$ получаем $2-2=0$, при $x=3$ получаем $2\cdot 4-2=6$; ветви вверх, как и должно быть при $a>0$.

Ответ: $y=2(x-1)^2-2$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке — парабола, полученная из $y=x^2$ сдвигом. Какая формула ей соответствует?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/elwahgj2gmct.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$y=(x-2)^2+1$","$y=(x-2)^2-1$","$y=(x+2)^2+1$","$y=(x+2)^2-1$"],"explanations":["Вершина ниже оси $Ox$, слагаемое должно быть отрицательным","","Перепутаны оба знака","Вершина справа, значит, в скобке минус"],"answer":[1]}},"hints":["Вершина параболы — точка $(2;-1)$.","Сдвиг на 2 вправо дает $(x-2)^2$, на 1 вниз — $-1$.","$y=(x-2)^2-1$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"График функции $y=(x-2)^2+1$ проходит через точку с абсциссой 5. Найдите ее ординату. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Подставим $x=5$: $(5-2)^2+1$.","$3^2+1=10$. Ответ: 10."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Сдвиги и растяжения экономят время: вместо новой таблицы для каждой формулы достаточно знать несколько базовых графиков и ходы пленки. Это прямой путь к заданиям ОГЭ №11 и к графикам с модулем в уроке «Кусочные функции и графики с модулем». Чтобы вспомнить правило, представьте пленку с графиком и проверьте одну точку.

Часто задаваемые вопросы

Почему число снаружи действует «как написано», а число в скобке — «наоборот»?

Число снаружи прибавляется к готовому значению $y$, поэтому знак совпадает с направлением. Число в скобке меняет вход функции: чтобы получить прежнее значение, $x$ должен измениться в обратную сторону. Самая быстрая проверка — найти, где скобка равна нулю.

Что делать сначала: сдвигать или растягивать?

Для формулы $y=a(x-m)^2+n$ удобно сначала растянуть и перевернуть, пока вершина в начале координат, а потом сдвинуть. Если сначала поднять график, а затем умножить на $a$, растянется и сам сдвиг — получится другая формула.

Работают ли эти правила для гиперболы $y=\frac{k}{x}$?

Да, для любой функции. Например, $y=\frac{1}{x-2}+3$ — гипербола $y=\frac{1}{x}$, сдвинутая на 2 вправо и на 3 вверх: она не определена при $x=2$, а при $x=3$ дает $4$. Прямые, к которым приближаются ее ветви, тоже сдвигаются: $x=2$ и $y=3$.

Как быстро проверить себя на ОГЭ?

Возьмите опорную точку графика — вершину, излом или начало — и подставьте ее абсциссу в формулу. Скобка должна обратиться в ноль, а значение $y$ — совпасть с ординатой точки. Если не совпало, ошибка в знаке.

Награды за урок

Проверим знания по теме?

Сдвиги и растяжения графиков функций

Пройти тест