Кусочные функции и графики с модулем

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Функция: $f(x)=2x+1$ при $x<1$ и $f(x)=7-x$ при $x\\geq 1$. Найдите $f(-3)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-5"}},"hints":["$-3<1$ — первый кусок.","$f(-3)=2\\cdot(-3)+1=-5$."],"step":1},{"id":"1","content":"Функция: $f(x)=3x-2$ при $x<2$ и $f(x)=10-x$ при $x\\geq 2$. Найдите $f(0)$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["$0<2$ — первый кусок.","$f(0)=3\\cdot(0)-2=-2$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите наименьшее значение функции $y=x^2-4|x|$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["При $x\\geq 0$: $y=x^2-4x$, вершина при $x=2$.","$y=4-8=-4$; при $x<0$ то же.","Ответ: $-4$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите наименьшее значение функции $y=x^2-6|x|$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"-9"}},"hints":["При $x\\geq 0$: $y=x^2-6x$, вершина при $x=3$.","$y=9-18=-9$; при $x<0$ то же.","Ответ: $-9$."],"step":1},{"id":"3","content":"При $x\\geq 2$ функцию $y=|x-2|+x$ можно записать без модуля: $y=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$2x+2$","$2$","$2-2x$","$2x-2$"],"answer":3}},"hints":["При $x\\geq 2$ выражение под модулем: $x-2\\geq 0$.","$y=x-2+x=2x-2$."],"step":1},{"id":"3","content":"При $x<3$ функцию $y=|x-3|+2x$ можно записать без модуля: $y=$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$3-3x$","$x-3$","$x+3$","$3x-3$"],"answer":2}},"hints":["При $x<3$ выражение под модулем: $x-3<0$.","$|x-3|=3-x$, поэтому $y=3-x+2x=x+3$."],"step":1},{"id":"4","content":"Вообразавр написал: «При $x<3$ имеем $|x-3|=x-3$». Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Правильно $|x-3|=x+3$","Правильно $|x-3|=-x-3$","Ошибки нет","Правильно $|x-3|=3-x$"],"explanations":["Знак меняется у всего выражения, а не у числа","Нужно $-(x-3)=-x+3$","Разность отрицательна при $x<3$, модуль меняет знак",""],"answer":[3]}},"hints":["При $x<3$ разность $x-3$ отрицательна.","Модуль отрицательного числа равен противоположному: $|x-3|=3-x$."],"step":1},{"id":"4","content":"Вообразавр написал: «При $x<5$ имеем $|x-5|=x-5$». Найдите ошибку.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Правильно $|x-5|=5-x$","Правильно $|x-5|=x+5$","Ошибки нет","Правильно $|x-5|=-x-5$"],"explanations":["","Знак меняется у всего выражения, а не у числа","Разность отрицательна при $x<5$, модуль меняет знак","Нужно $-(x-5)=-x+5$"],"answer":[0]}},"hints":["При $x<5$ разность $x-5$ отрицательна.","Модуль отрицательного числа равен противоположному: $|x-5|=5-x$."],"step":1},{"id":"5","content":"Функция: $f(x)=x+2$ при $x<3$ и $f(x)=2x$ при $x\\geq 3$. Вообразавр нашел $f(3)=5$. Найдите ошибку.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$x=3$ входит в условие $x\\geq 3$: $f(3)=6$","В точке стыка функция не определена","В стыке два значения: $5$ и $6$","Ошибки нет: в точке стыка считают по левому куску"],"explanations":["","Условие $x\\geq 3$ нестрогое, значит, $f(3)$ существует","Функция дает каждому $x$ одно значение; точка $(3;\\,5)$ на графике выколота","Кусок выбирают по условию, а не по положению на рисунке: $x=3$ удовлетворяет только $x\\geq 3$"],"answer":[0]}},"hints":["Число $3$ подходит только под условие $x\\geq 3$.","Считаем по этому куску: $f(3)=6$."],"step":1},{"id":"5","content":"Функция: $f(x)=4-x$ при $x\\leq 1$ и $f(x)=x+5$ при $x>1$. Вообразавр нашел $f(1)=6$. Найдите ошибку.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["В стыке два значения: $3$ и $6$","$x=1$ входит в условие $x\\leq 1$: $f(1)=3$","Ошибки нет: в точке стыка считают по правому куску","В точке стыка функция не определена"],"explanations":["Функция дает каждому $x$ одно значение; точка $(1;\\,6)$ на графике выколота","","Кусок выбирают по условию, а не по положению на рисунке: $x=1$ удовлетворяет только $x\\leq 1$","Условие $x\\leq 1$ нестрогое, значит, $f(1)$ существует"],"answer":[1]}},"hints":["Число $1$ подходит только под условие $x\\leq 1$.","Считаем по этому куску: $f(1)=3$."],"step":1},{"id":"6","content":"Функция: $f(x)=x+1$ при $x<2$ и $f(x)=2x$ при $x\\geq 2$. Распределите точки: какие лежат на графике, а какие нет. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Лежат на графике","Не лежат на графике"],"items":[["$(0;\\,1)$","$(2;\\,4)$","$(3;\\,6)$"],["$(2;\\,3)$","$(3;\\,4)$","$(-1;\\,-2)$"]]}},"instruction":"Распределите точки по группам","hints":["Для абсциссы точки выберите кусок по условию, точку стыка — по нестрогому неравенству.","Посчитайте значение по этому куску и сравните с ординатой точки.","Край куска со строгим неравенством на графике выколот, ему точка не принадлежит."],"step":1},{"id":"6","content":"Функция: $f(x)=3-x$ при $x\\leq 1$ и $f(x)=x+3$ при $x>1$. Распределите точки: какие лежат на графике, а какие нет. [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Лежат на графике","Не лежат на графике"],"items":[["$(1;\\,2)$","$(0;\\,3)$","$(2;\\,5)$"],["$(1;\\,4)$","$(2;\\,1)$","$(-1;\\,2)$"]]}},"instruction":"Распределите точки по группам","hints":["Для абсциссы точки выберите кусок по условию, точку стыка — по нестрогому неравенству.","Посчитайте значение по этому куску и сравните с ординатой точки.","Край куска со строгим неравенством на графике выколот, ему точка не принадлежит."],"step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр считает, что график $y=|x^2-4x-5|$ — это парабола $y=x^2-4x-5$, целиком отраженная относительно оси $Ox$. Поэтому он нашел $y(6)=-7$. Найдите ошибку.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Модуль поднимает параболу на 9: $y(6)=16$","Отражается только часть между $x=-1$ и $x=5$, а $y(6)=7$","Отражается часть правее вершины $x=2$, а $y(6)=7$","Ошибки нет: модуль отражает весь график"],"explanations":["Модуль не прибавляет число, он только меняет знак отрицательных значений","","Отражается часть, где значения отрицательны, — между нулями, а не по одну сторону от вершины","Модуль отрицательным не бывает, а $-7<0$: часть над осью модуль не меняет"],"answer":[1]}},"hints":["Модуль не меняет неотрицательные значения: при $x=6$ имеем $6^2-4\\cdot 6-5=7$, поэтому $y(6)=7$.","Нули параболы: $x=-1$ и $x=5$. Отрицательна она только между ними.","Вверх отражается лишь часть между $x=-1$ и $x=5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр считает, что график $y=|x^2-2x-15|$ — это парабола $y=x^2-2x-15$, целиком отраженная относительно оси $Ox$. Поэтому он нашел $y(6)=-9$. Найдите ошибку.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Отражается часть правее вершины $x=1$, а $y(6)=9$","Модуль поднимает параболу на 16: $y(6)=25$","Отражается только часть между $x=-3$ и $x=5$, а $y(6)=9$","Ошибки нет: модуль отражает весь график"],"explanations":["Отражается часть, где значения отрицательны, — между нулями, а не по одну сторону от вершины","Модуль не прибавляет число, он только меняет знак отрицательных значений","","Модуль отрицательным не бывает, а $-9<0$: часть над осью модуль не меняет"],"answer":[2]}},"hints":["Модуль не меняет неотрицательные значения: при $x=6$ имеем $6^2-2\\cdot 6-15=9$, поэтому $y(6)=9$.","Нули параболы: $x=-3$ и $x=5$. Отрицательна она только между ними.","Вверх отражается лишь часть между $x=-3$ и $x=5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите сумму всех значений $c$, при которых прямая $y=c$ имеет с графиком функции $y=x^2-6|x|+2x$ ровно три общие точки. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["При $x\\geq 0$: $y=x^2-4x$; при $x<0$: $y=x^2+8x$. Излом — точка $(0;\\,0)$.","Вершина правого куска $(2;\\,-4)$ лежит на графике; вершина левого куска $(-4;\\,-16)$ — тоже. Три точки бывают на особом уровне: проверьте вершины и излом.","$c=-4$: правый кусок дает одну точку, левый — две. $c=0$: правый кусок дает $x=0$ и $x=4$, левый — $x=-8$. Значения: $-4$ и $0$; сумма $-4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите сумму всех значений $c$, при которых прямая $y=c$ имеет с графиком функции $y=x^2-8|x|+2x$ ровно три общие точки. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-9"}},"hints":["При $x\\geq 0$: $y=x^2-6x$; при $x<0$: $y=x^2+10x$. Излом — точка $(0;\\,0)$.","Вершина правого куска $(3;\\,-9)$ лежит на графике; вершина левого куска $(-5;\\,-25)$ — тоже. Три точки бывают на особом уровне: проверьте вершины и излом.","$c=-9$: правый кусок дает одну точку, левый — две. $c=0$: правый кусок дает $x=0$ и $x=6$, левый — $x=-10$. Значения: $-9$ и $0$; сумма $-9$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Вообразавр ищет число общих точек графиков $y=|x^2-4|$ и $y=4$: «$x^2-4=4$, $x=\\pm 2\\sqrt{2}$ — две точки». Найдите ошибку.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Общая точка одна: $(0;\\,4)$","Потерян случай $x^2-4=-4$, всего точек четыре","Ошибки нет: общих точек две","Потерян случай $x^2-4=-4$: есть еще точка $(0;\\,4)$, всего три"],"explanations":["Корни $x=\\pm 2\\sqrt{2}$ тоже подходят: при них $x^2-4=4$ и модуль равен 4","Второе уравнение дает один корень: прямая касается вершины, а не пересекает дугу дважды","Проверьте $x=0$: модуль там равен 4, это тоже общая точка",""],"answer":[3]}},"hints":["Модуль равен 4, если $x^2-4=4$ или $x^2-4=-4$.","Второе уравнение дает $x=0$: прямая касается перевернутой части в ее вершине $(0;\\,4)$.","Общих точек три."],"step":1},{"id":"9","content":"Вообразавр ищет число общих точек графиков $y=|x^2-4x|$ и $y=4$: «$x^2-4x=4$, $x=2\\pm 2\\sqrt{2}$ — две точки». Найдите ошибку.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: общих точек две","Потерян случай $x^2-4x=-4$, всего точек четыре","Общая точка одна: $(2;\\,4)$","Потерян случай $x^2-4x=-4$: есть еще точка $(2;\\,4)$, всего три"],"explanations":["Проверьте $x=2$: модуль там равен 4, это тоже общая точка","Второе уравнение дает один корень: прямая касается вершины, а не пересекает дугу дважды","Корни $x=2\\pm 2\\sqrt{2}$ тоже подходят: при них $x^2-4x=4$ и модуль равен 4",""],"answer":[3]}},"hints":["Модуль равен 4, если $x^2-4x=4$ или $x^2-4x=-4$.","Второе уравнение дает $x=2$: прямая касается перевернутой части в ее вершине $(2;\\,4)$.","Общих точек три."],"step":1},{"id":"10","content":"Сколько существует целых значений $c$, при которых графики $y=|x^2-9|$ и $y=c$ имеют ровно 4 общие точки? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Четыре точки при $0<c<9$: уровень выше оси $Ox$ и ниже вершины перевернутой части $(0;9)$.","Целые $c$: от 1 до 8, всего 8."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сколько существует целых значений $c$, при которых графики $y=|x^2-16|$ и $y=c$ имеют ровно 4 общие точки? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Четыре точки при $0<c<16$: уровень выше оси $Ox$ и ниже вершины перевернутой части $(0;16)$.","Целые $c$: от 1 до 15, всего 15."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>