Кусочные функции и графики с модулем

Содержание

В уроке «Сдвиги и растяжения графиков» базовый график двигали по сетке, как прозрачную пленку с чертежом. Теперь пленку будем резать: график составим из кусков разных функций, и у каждого куска будет своя формула. Так устроены графики с модулем и задание №22 ОГЭ, где нужно построить такой график и найти, сколько общих точек у него с прямой $y=c$.

У каждого куска — своя формула

Начнем с вопроса, на который ответим в конце урока. Оператор берет за звонок 3 рубля в минуту за первые 10 минут, а каждая следующая минута стоит 1 рубль. Разговор обошелся в 45 рублей. Сколько минут он длился? Разделить 45 на 3 нельзя: Пятнадцать минут по такому тарифу стоят 35 рублей.

Запишем стоимость $C$ разговора длиной $t$ минут. Пока $t\le 10$, платим $C=3t$. После 10 минут к 30 рублям прибавляется по рублю за каждую минуту сверх десяти: $C=30+(t-10)=t+20$. Одной формулы на все случаи нет — их две, и каждая работает на своем промежутке:

$$C(t)=\left\{\begin{aligned}&3t, && 0\le t\le 10\\ &t+20, && t>10\end{aligned}\right.$$

График тарифа: отрезок C = 3t от (0; 0) до (10; 30) и луч C = t + 20 от точки излома (10; 30); пунктиром уровень C = 45 — График тарифа — два куска прямых; в точке стыка при t = 10 он ломается

Определение

Кусочная функция — функция, которая на разных промежутках задана разными формулами. Условия кусков не пересекаются и вместе покрывают всю область определения: каждому $x$ подходит ровно одна формула.

На языке пленки: каждый кусок вырезан из своего базового графика и положен над своей полосой оси $Ox$. Чтобы найти значение функции, сначала выясняем, над какой полосой стоит $x$, и только потом считаем.

Пример 1

Функция задана так: $$f(x)=\left\{\begin{aligned}&x+3, && x<-1\\ &x^2, && -1\le x\le 2\\ &6-x, && x>2\end{aligned}\right.$$ Найдите $f(-3)$, $f(-1)$ и $f(4)$.

$x=-3$: условие $-3<-1$ выполнено — первый кусок. $f(-3)=-3+3=0$.

$x=-1$: условие $x<-1$ не выполнено, а $-1\le -1\le 2$ — выполнено. Второй кусок: $f(-1)=(-1)^2=1$.

$x=4$: $4>2$ — третий кусок. $f(4)=6-4=2$.

Ответ: $0$; $1$; $2$.

Правило

Чтобы найти значение кусочной функции при $x=x_0$, найдите кусок, в условие которого входит $x_0$, и подставьте $x_0$ в формулу этого куска. Формулы других кусков при этом $x_0$ не работают, даже если в них можно подставить число.

{"questions":[{"content":"Функция задана так: $f(x)=x+4$ при $x<0$ и $f(x)=x^2$ при $x\\geq 0$. Найдите $f(-3)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["$-3<0$, поэтому работает первый кусок.","$f(-3)=-3+4=1$."],"step":1},{"content":"Какая запись условий кусков кусочной функции корректна?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x\\leq 1$ и $x\\geq 1$","$x<2$ и $x\\geq 1$","$x<1$ и $x>1$","$x<1$ и $x\\geq 1$"],"explanations":["Точка $x=1$ попала в оба куска, значение неоднозначно","Куски пересекаются на промежутке $[1;2)$","Точка $x=1$ не попала ни в один кусок",""],"answer":[3]}},"hints":["Условия должны не пересекаться и не оставлять пропусков.","Подходит запись, где точка 1 принадлежит ровно одному куску."],"step":1}],"mix":1}

Строим по кускам и следим за краями

Построим график функции из примера 1. Каждый кусок — часть знакомого графика: прямой $y=x+3$, параболы $y=x^2$ и прямой $y=6-x$.

Самое важное — края кусков. Над точкой стыка $x=-1$ встречаются два куска. Прямая $y=x+3$ подходит к точке $(-1;2)$, но саму точку не включает: условие $x<-1$ строгое. Такую точку рисуют пустым кружком и называют выколотой. Парабола начинается в точке $(-1;1)$, и условие $-1\le x$ ее включает: кружок закрашен.

График кусочной функции: луч y = x + 3 при x < −1 с выколотой точкой (−1; 2), дуга y = x² на отрезке [−1; 2], луч y = 6 − x при x > 2; куски лежат над своими промежутками — Над каждой полосой — свой кусок; в точке x = −1 график рвется, в точке x = 2 куски сходятся

Пример 2

Какие точки отметить над точками стыка $x=-1$ и $x=2$?

$x=-1$: первый кусок дал бы $-1+3=2$, но $x=-1$ в его условие не входит — точка $(-1;2)$ выколота. Второй кусок: $(-1)^2=1$ — точка $(-1;1)$ закрашена. Значения разные: график в этом месте рвется.

$x=2$: второй кусок включает $x=2$: $2^2=4$, точка $(2;4)$ закрашена. Третий кусок подходит к той же точке: $6-2=4$. Значения совпали, поэтому график не рвется, а только меняет направление.

Как построить график кусочной функции

Для каждого куска постройте его базовый график тонкой линией.
Оставьте от него только часть над промежутком из условия куска.
В каждой точке стыка вычислите значения обоих соседних кусков.
Закрасьте точку того куска, в условии которого неравенство нестрогое; край другого куска — выколотая точка. Если значения совпали, точка одна и закрашена.

Ошибка

Вообразавр построил тот же график и закрасил над $x=-1$ обе точки: $(-1;2)$ и $(-1;1)$.

Проверим на числах. По примеру 1 значение $f(-1)=1$. Значение 2 функция при $x=-1$ не принимает: формула $x+3$ работает только при $x<-1$.

Где сломалось рассуждение. Край каждого куска закрасили, не глядя на знак неравенства. Получились две точки графика на одной вертикали, а у функции одному $x$ соответствует одно значение.

Ошибка: над x = −1 две закрашенные точки (−1; 2) и (−1; 1) на одной вертикали — так нельзя, точку (−1; 2) надо выколоть — Две закрашенные точки над x = −1 — так не бывает: одна из них должна быть выколотой

Вернемся к тарифу. При $t=10$ обе формулы дают одно и то же: $3\cdot 10=30$ и $10+20=30$. Поэтому график тарифа не рвется, а только ломается в точке стыка $(10;30)$: после нее он поднимается медленнее.

{"questions":[{"content":"Функция задана так: $f(x)=2x$ при $x<1$, $f(x)=3$ при $1\\leq x<4$, $f(x)=x-1$ при $x\\geq 4$. Распределите значения $x$ по кускам: по какой формуле считать $f(x)$. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["$2x$","$3$","$x-1$"],"items":[["$x=-2$","$x=0$"],["$x=1$","$x=3$"],["$x=4$","$x=7$"]]}},"hints":["Для каждого $x$ найдите условие, которому оно удовлетворяет. Точки стыка $1$ и $4$ проверяйте по знаку неравенства.","$x=1$ подходит под $1\\leq x<4$, а под $x<1$ — нет; $x=4$ подходит под $x\\geq 4$, а под $1\\leq x<4$ — нет.","$2x$: $x=-2$, $x=0$; $3$: $x=1$, $x=3$; $x-1$: $x=4$, $x=7$."],"step":1},{"content":"Вообразавр строит график функции $f(x)=x-1$ при $x<2$ и $f(x)=4-x$ при $x\\geq 2$. Над точкой $x=2$ он закрасил две точки: $(2;\\,1)$ и $(2;\\,2)$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Точку $(2;\\,2)$ нужно выколоть: $x=2$ — граница куска","Точку $(2;\\,1)$ нужно выколоть: $x=2$ не входит в условие $x<2$","Ошибки нет: в точке стыка бывает два значения","Обе точки нужно выколоть: в точке стыка значения нет"],"explanations":["Условие $x\\geq 2$ нестрогое и включает $x=2$, поэтому $f(2)=2$ и точка закрашена","","У функции каждому $x$ соответствует одно значение; две закрашенные точки на одной вертикали — не график функции","Число $x=2$ входит в условие $x\\geq 2$, значит, $f(2)$ существует и равно $2$"],"answer":[1]}},"hints":["Первый кусок доходит до $x=2$, но саму точку $x=2$ не включает: $2-1=1$, точка $(2;\\,1)$ — край куска.","Второй кусок включает $x=2$: $f(2)=4-2=2$.","Точка $(2;\\,1)$ выколота, точка $(2;\\,2)$ закрашена."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Модуль — кусочная функция в одной записи

В уроке «Функция y = |x| и ее график» график $y=\lvert x \rvert$ состоял из двух лучей. Это тоже кусочная функция: $\lvert a \rvert=a$, если $a\ge 0$, и $\lvert a \rvert=-a$, если $a<0$. Под модулем может стоять выражение. Тогда смотрим, где оно меняет знак. Выражение $x-3$ равно нулю при $x=3$, положительно правее и отрицательно левее:

$$\left\{\begin{aligned}&x-3, && x\ge 3\\ &3-x, && x<3\end{aligned}\right.$$

Правило

Чтобы записать модуль без знака модуля, найдите, где выражение под ним равно нулю, и определите его знак на каждом промежутке. Неотрицательное выражение выходит из-под модуля без изменений, отрицательное — с противоположным знаком.

Пример 3

Постройте график функции $y=\lvert x-3 \rvert+x$.

При $x\ge 3$: $y=(x-3)+x=2x-3$. При $x<3$: $y=(3-x)+x=3$.

$$y=\left\{\begin{aligned}&2x-3, && x\ge 3\\ &3, && x<3\end{aligned}\right.$$

Левее $x=3$ — горизонтальный луч $y=3$. Правее — луч прямой $y=2x-3$ из точки $(3;3)$ через $(4;5)$ и $(5;7)$.

График y = |x − 3| + x: луч y = 3 при x < 3 и луч y = 2x − 3 при x ≥ 3, излом в точке (3; 3) — Модуль разрезал график на два куска; излом — там, где выражение под модулем равно нулю

$x$	$-2$	$0$	$3$	$4$	$5$
$\lvert x-3 \rvert$	$5$	$3$	$0$	$1$	$2$
$y=\lvert x-3 \rvert+x$	$3$	$3$	$3$	$5$	$7$

В точке $x=3$ оба куска дают $3$, поэтому график с модулем не рвется, а ломается. Точку, где непрерывный график меняет направление, называют изломом. У графика с модулем изломы лежат там, где выражение под модулем равно нулю; у тарифа излом — точка $(10;30)$.

Ошибка

Вообразавр «раскрыл» модуль, просто убрав черточки: $y=x-3+x=2x-3$ при всех $x$.

Проверим на числах. При $x=0$: $\lvert 0-3 \rvert+0=3$, а по его формуле $2\cdot 0-3=-3$.

Где сломалось рассуждение. При $x<3$ разность $x-3$ отрицательна, и модуль меняет ее знак. Формула $2x-3$ верна только правее излома.

{"questions":[{"content":"Чему равно выражение $|x-2|$ при $x<2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2-x$","$x+2$","$-x-2$","$x-2$"],"explanations":["","Модуль меняет знак всего выражения, а не только $x$","Минус нужно поставить перед всей разностью: $-(x-2)=-x+2$","Раскрыли модуль без разбора знака: при $x<2$ $x-2<0$"],"answer":[0]}},"hints":["При $x<2$ выражение $x-2$ отрицательно.","Модуль отрицательного числа — противоположное число: $|x-2|=2-x$."],"step":1},{"content":"Сопоставьте выражение с модулем и его запись без модуля. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$|x-4|$ при $x\\geq 4$","$|x-4|$ при $x<4$","$|x+4|$ при $x<-4$","$|x+4|$ при $x\\geq -4$"],"items":["$x-4$","$4-x$","$-x-4$","$x+4$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и запись без модуля","hints":["Сначала определите знак выражения под модулем на указанном промежутке.","Неотрицательное выражение выходит из-под модуля без изменений, отрицательное — с противоположным знаком.","При $x\\geq 4$: $|x-4|=x-4$; при $x<4$: $|x-4|=4-x$; при $x<-4$: $|x+4|=-x-4$; при $x\\geq -4$: $|x+4|=x+4$."],"step":1}],"mix":1}

Модуль всей функции поднимает только нижнюю часть

Теперь модуль стоит над всей формулой: $y=\lvert f(x) \rvert$. Где $f(x)\ge 0$, значение не меняется. Где $f(x)<0$, оно меняет знак: точка $(x;f(x))$ переходит в точку $(x;-f(x))$, симметричную ей относительно оси $Ox$. На языке пленки: перегните пленку по оси $Ox$ так, чтобы нижняя часть чертежа поднялась вверх, а часть над осью осталась на месте.

Пример 4

Постройте график функции $y=\lvert x^2-2x-3 \rvert$.

Сначала строим параболу $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$ (как найти вершину, разобрано в уроке «Квадратичная функция и ее график»). Вершина $(1;-4)$, нули $x=-1$ и $x=3$. Ниже оси $Ox$ парабола лежит только между нулями.

Эту часть отражаем вверх: вершина $(1;-4)$ переходит в $(1;4)$. Ветви левее $x=-1$ и правее $x=3$ остаются на месте. Точки $(-1;0)$ и $(3;0)$ становятся изломами.

Модуль y = |x² − 2x − 3|: вверх переворачивается только часть параболы под осью Ox между нулями −1 и 3, вершина (1; 4); перевернуть всю параболу нельзя — Модуль поднимает вверх только часть под осью; если перевернуть все, ветви уйдут вниз — так нельзя

Правило

Чтобы построить график $y=\lvert f(x) \rvert$, постройте $y=f(x)$, часть ниже оси $Ox$ отразите симметрично относительно оси $Ox$, а часть на оси и выше нее оставьте без изменений. График $y=\lvert f(x) \rvert$ никогда не опускается ниже оси $Ox$.

Ошибка

Вообразавр рассуждает: «Модуль переворачивает параболу: ветви теперь вниз, вершина в точке $(1;4)$».

Проверим на числах. При $x=4$ значение $\lvert 5 \rvert=5$, а на перевернутой параболе $y=-5$. Модуль отрицательным не бывает.

Где сломалось рассуждение. Модуль меняет знак только у отрицательных значений. Ветви над осью уже неотрицательны и остаются на месте; вверх перегибается только часть под осью.

{"questions":[{"content":"Найдите значение функции $y=|x^2-4|$ при $x=1$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["$1^2-4=-3$.","$|-3|=3$."],"step":1},{"content":"Вообразавр строит график $y=|x^2-6x+8|$. Он рассуждает: «Модуль переворачивает параболу $y=x^2-6x+8$: теперь ветви направлены вниз, а вершина — в точке $(3;\\,1)$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Параболу нужно сдвинуть вверх на 1, а не переворачивать","Отразить вверх нужно только часть между $x=2$ и $x=4$, ветви остаются","Отразить нужно левую ветвь относительно оси $Oy$","Ошибки нет: модуль отражает весь график относительно оси $Ox$"],"explanations":["Модуль не прибавляет число: при $x=0$ получилось бы $9$, а $|8|=8$","","Модуль $|f(x)|$ меняет знак значений $y$, а абсциссы не трогает","При $x=0$ значение $|8|=8$ положительно, а на перевернутой параболе $y=-8$: часть над осью модуль не меняет"],"answer":[1]}},"hints":["Нули: $x^2-6x+8=0$, $x=2$ или $x=4$. Ниже оси $Ox$ парабола только между ними.","Проверим на числах: при $x=0$ имеем $|8|=8$, а на графике Вообразавра $y=-8$ — модуль отрицательным не бывает.","Отражается вверх только часть между $x=2$ и $x=4$, ветви остаются направленными вверх."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Задание №22: раскрыть модуль, построить, найти излом

Типичное задание №22 ОГЭ звучит так: «Постройте график функции $y=x^2-4\lvert x \rvert+x$ и определите, при каких значениях $c$ прямая $y=c$ имеет с графиком ровно три общие точки». Сначала строим график — и здесь работает все, что было выше.

Обратите внимание

Здесь модуль стоит только над $x$, а не над всей функцией. Отражать нижнюю часть, как в примере 4, нельзя: раскрываем модуль по знаку $x$ и получаем кусочную функцию.

Алгоритм

Найдите, где выражение под модулем равно нулю: здесь будет точка стыка.
Раскройте модуль на каждом промежутке и запишите функцию кусочно.
Постройте каждый кусок на своем промежутке. Для параболы найдите вершину и проверьте, лежит ли она на промежутке куска: если нет, вершины на графике нет.
Вычислите значения обоих кусков в точке стыка и отметьте ее.

Пример 5

Постройте график функции $y=x^2-4\lvert x \rvert+x$.

1) Под модулем $x$; он равен нулю при $x=0$.

2) При $x\ge 0$: $\lvert x \rvert=x$, $y=x^2-4x+x=x^2-3x$. При $x<0$: $\lvert x \rvert=-x$, $y=x^2+4x+x=x^2+5x$.

$$y=\left\{\begin{aligned}&x^2-3x, && x\ge 0\\ &x^2+5x, && x<0\end{aligned}\right.$$

3) Правый кусок: вершина при $x=\frac{3}{2}=1{,}5$, $y=2{,}25-4{,}5=-2{,}25$; $1{,}5\ge 0$ — вершина на графике. Нули $x=0$ и $x=3$. Левый кусок: вершина при $x=-2{,}5$, $y=6{,}25-12{,}5=-6{,}25$; $-2{,}5<0$ — тоже на графике. Нуль $x=-5$.

4) В точке $x=0$ оба куска дают $0$: точка стыка $(0;0)$ — излом.

Проверка по исходной формуле: при $x=-1$ получаем $1-4-1=-4$, по левому куску $1-5=-4$.

График y = x² − 4|x| + x: левый кусок параболы y = x² + 5x при x < 0 и правый кусок y = x² − 3x при x ≥ 0, излом в начале координат, вершины (−2,5; −6,25) и (1,5; −2,25) — График собран из кусков двух парабол; куски встречаются в изломе (0; 0)

Шаг 3 нужен не зря: у $y=x^2+4\lvert x \rvert$ вершина правого куска $(-2;-4)$ лежит вне промежутка $x\ge 0$, и на графике ее нет. В уроке «Число решений, график и параметр» функция симметрична, и хватает отражения; здесь из-за слагаемого $x$ симметрии нет — работает только раскрытие модуля.

{"questions":[{"content":"При $x<0$ функцию $y=x^2-3|x|+2$ можно записать без модуля: $y=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$x^2+3x-2$","$x^2+3x+2$","$-x^2+3x+2$","$x^2-3x+2$"],"answer":1}},"hints":["При $x<0$ модуль $|x|=-x$.","$-3|x|=-3\\cdot(-x)=3x$.","$y=x^2+3x+2$."],"step":1},{"content":"Функцию $y=x^2-2|x|+4x$ записали без модуля двумя кусками — для $x\\geq 0$ и для $x<0$. Какое самое маленькое значение $y$ принимает эта функция? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-9"}},"hints":["При $x\\geq 0$: $y=x^2+2x$. Вершина этой параболы при $x=-1$ — вне промежутка $x\\geq 0$, поэтому на нем функция растет от $y(0)=0$.","При $x<0$: $y=x^2+6x$. Вершина при $x=-3$ лежит на промежутке $x<0$: $y(-3)=9-18=-9$.","Наименьшее значение: $-9$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Горизонтальная прямая считает общие точки

Вторая часть задания: прямая $y=c$ параллельна оси $Ox$ и при изменении $c$ скользит по готовому чертежу вверх и вниз. Ее общие точки с графиком — это решения уравнения $f(x)=c$. Пока прямая не задевает вершину, излом или конец куска, число общих точек не меняется. Меняется оно только на особых уровнях — на высоте вершин, изломов и концов кусков. Если у графика есть горизонтальный участок, как в примере 3, на его уровне общих точек бесконечно много.

fn-modul-level

Горизонтальные прямые y = c на графике y = x² − 4|x| + x: число общих точек 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0 для c = 2, 0, −1, −2,25, −4, −6,25, −7; меняется на уровнях вершин и излома — Число общих точек меняется только на высоте вершин и излома: −6,25, −2,25 и 0

Положение прямой	Значения $c$	Общих точек
Ниже левой вершины	$c<-6{,}25$	0
Через левую вершину	$c=-6{,}25$	1
Между вершинами	$-6{,}25<c<-2{,}25$	2
Через правую вершину	$c=-2{,}25$	3
Между правой вершиной и изломом	$-2{,}25<c<0$	4
Через излом	$c=0$	3
Выше излома	$c>0$	2

Пример 6

При каких значениях $c$ прямая $y=c$ имеет с графиком $y=x^2-4\lvert x \rvert+x$ ровно три общие точки?

По таблице — на двух особых уровнях. Проверим каждый вычислением.

$c=0$: $x^2-3x=0$ дает $x=0$ и $x=3$; $x^2+5x=0$ дает $x=-5$ (корень $x=0$ в условие $x<0$ не входит). Три точки: $(-5;0)$, $(0;0)$, $(3;0)$.

$c=-2{,}25$ проверяется так же, как $c=0$: правый кусок дает $x=1{,}5$, левый — $x=-0{,}5$ и $x=-4{,}5$. Три точки.

Ответ: $c=-2{,}25$; $c=0$.

Ошибка

Вообразавр проверил только уровни вершин и записал: «ровно три точки — только при $c=-2{,}25$».

Проверим на числах. При $c=0$ уравнение $x^2-4\lvert x \rvert+x=0$ имеет корни $-5$, $0$ и $3$ — тоже три.

Где сломалось рассуждение. Особые уровни — это не только вершины, но и изломы.

Теперь ответим на вопрос о тарифе. Нужно найти общую точку графика $C(t)$ и прямой $C=45$. Уровень точки стыка — 30 рублей, а $45>30$, поэтому прямая пересекает второй кусок: $t+20=45$, $t=25$. Разговор длился 25 минут. Ответ $15$ минут не подходит: $15>10$, и формула первого куска там не работает.

{"questions":[{"content":"Сколько общих точек имеют графики $y=|x-1|$ и $y=2$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$|x-1|=2$.","$x=3$ или $x=-1$: две точки."],"step":1},{"content":"При каком значении $c$ прямая $y=c$ имеет с графиком функции $y=|x^2-6x+5|$ ровно три общие точки?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$c=0$","$0<c<4$","$c=4$","$c=5$"],"explanations":["При $c=0$ прямая проходит через изломы $(1;\\,0)$ и $(5;\\,0)$: общих точек две","Прямая пересекает обе ветви и перевернутую часть дважды: общих точек четыре","","$5$ — значение при $x=0$; прямая $y=5$ проходит выше вершины $(3;\\,4)$ и пересекает только ветви: две точки"],"answer":[2]}},"hints":["Нули: $x=1$ и $x=5$. Между ними часть параболы отражена вверх, вершина $(3;\\,-4)$ перешла в $(3;\\,4)$.","При $c=4$ прямая касается перевернутой части в точке $(3;\\,4)$ и пересекает каждую ветвь — три точки.","Ответ: $c=4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Главное удобно вспоминать через пленку с чертежом:

Часто задаваемые вопросы

Можно ли в точке стыка закрасить обе точки?

Нет. У функции каждому $x$ соответствует одно значение. Закрашивают точку того куска, в условие которого входит точка стыка; край другого куска выкалывают. Если значения кусков совпали, точка одна.

Чем график $y=\lvert f(x) \rvert$ отличается от графика $y=f(\lvert x \rvert)$?

В $y=\lvert f(x) \rvert$ модуль стоит над значением: часть графика под осью $Ox$ поднимается вверх. В $y=f(\lvert x \rvert)$ модуль стоит над аргументом: строят часть при $x\ge 0$ и отражают ее относительно оси $Oy$.

Как проверить, что модуль раскрыт верно?

Возьмите по одному числу с каждого промежутка и подставьте в исходную формулу и в формулу куска. Значения должны совпасть.

Почему число общих точек меняется только на особых уровнях?

Между особыми точками — вершинами, изломами и концами кусков — каждая часть графика только растет или только убывает (горизонтальные участки считаем отдельно), и горизонтальная прямая пересекает ее не больше одного раза. Новая точка появляется или пропадает, лишь когда прямая проходит через особую точку.

Награды за урок

Проверим знания по теме?

Кусочные функции и графики с модулем

Пройти тест