8 класс Алгебра Рациональные дроби Рациональные дроби и их свойства

Рациональные выражения и допустимые значения переменной

Содержание

В 7 классе (урок «Тождества и тождественные преобразования») вы работали с выражениями, в которых есть сложение, вычитание и умножение букв: многочленами. В этом уроке появится новое действие — деление на выражение с переменной. Вы узнаете, что такое рациональная дробь, научитесь находить ее значение при данном $x$ и выяснять, при каких значениях переменной дробь имеет смысл.

Вопрос, к которому вернемся в конце. Средняя скорость на пути туда и обратно вычисляется по формуле $v_{\text{ср}}=\dfrac{2S}{t_1+t_2}$, где $S$ — путь в одну сторону, $t_1$ и $t_2$ — время туда и обратно. При каких $t_1$ и $t_2$ эта формула «ломается» и что это значит для движения?

Когда в выражении делят на букву

Сравним две формулы движения. Время движения $t=\dfrac{S}{v}$: здесь делят на $v$ — на букву. Путь $S=vt$: здесь делить не надо вовсе. А в формуле $\dfrac{S}{2}$ (половина пути) делят на число $2$.

Представим путь $S$ как прямоугольник. Делить на число $2$ — значит разрезать прямоугольник на две доли: число долей известно заранее. Делить на $v$ — значит разрезать его на $v$ долей, а сколько это, зависит от того, какое число подставят вместо $v$. Именно в этом разница. Дробь $\dfrac{S}{v}$ показывает одну такую долю; если закрасить несколько долей, получится дробь с числителем, как в следующем разделе.

Деление на число: прямоугольник всегда из 2 долей (целое выражение); деление на букву v: число долей 2, 3, 5 зависит от v (дробное выражение) — Вывод: деление на число — разрез известен заранее (целое выражение); деление на букву — число долей зависит от переменной (дробное выражение)

Определение

Целое выражение — выражение из чисел и переменных, в котором нет деления на выражение с переменной: $3x^2-7$, $\dfrac{a-b}{2}$, $vt$. Делить на число в целом выражении можно.

Дробное выражение — выражение, в котором есть деление на выражение с переменной: $\dfrac{S}{v}$, $\dfrac{2S}{t_1+t_2}$, $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$.

Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями.

Проверить, целое выражение или дробное, просто: найдите все черты дроби и знаки деления и посмотрите, на что делят. Если хотя бы раз делят на букву или на выражение с буквой — выражение дробное. Если под каждой чертой только число — целое.

{"questions":[{"content":"Распределите выражения: целые (без деления на выражение с переменной) и дробные.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Целые","Дробные"],"items":[["$\\dfrac{m+n}{7}$","$0{,}2y^3$","$\\dfrac{k}{3}-k$"],["$\\dfrac{7}{m+n}$","$\\dfrac{y}{y-1}+2$","$\\dfrac{3}{k}$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Целое выражение — без деления на выражение с переменной; делить на число можно.","$\\dfrac{m+n}{7}$ и $\\dfrac{k}{3}-k$ — деление на число, $0{,}2y^3$ — деления нет: это целые выражения.","$\\dfrac{7}{m+n}$, $\\dfrac{y}{y-1}+2$, $\\dfrac{3}{k}$ — деление на выражение с переменной: дробные."],"step":1}],"mix":1}

Дробь с буквой — это разрез, который зависит от числа

Рассмотрим дробь $\dfrac{x-1}{2x}$. Числитель и знаменатель здесь — многочлены. Такую дробь называют рациональной дробью (другое название — алгебраическая дробь).

Что она значит? Вспомним обычную дробь $\dfrac{3}{4}$: прямоугольник разрезан на $4$ равные доли, закрашены $3$ из них. У дроби $\dfrac{x-1}{2x}$ все то же самое, только число долей $2x$ и число закрашенных долей $x-1$ зависят от $x$. Подставим $x=2$: долей $2\cdot2=4$, закрашена $2-1=1$ доля — это дробь $\dfrac{1}{4}$. Подставим $x=3$: долей $2\cdot3=6$, закрашены $3-1=2$ доли — это $\dfrac{2}{6}$.

Дробь (x − 1)/(2x): при x = 2 прямоугольник разрезан на 4 доли и закрашена 1, при x = 3 — на 6 долей и закрашены 2 — Вывод: одна и та же дробь при x = 2 и x = 3 дает разные разрезы — знаменатель задает число долей, числитель — сколько закрашено

Буквы не говорят, сколько долей в прямоугольнике: это становится ясно только после подстановки числа. Поэтому с рациональной дробью рассуждают так: подставили число — получили обычную дробь. Модель долей наглядна для натуральных значений; при отрицательных и дробных $x$ дробь тоже имеет смысл, если знаменатель не нуль, — модель там только подсказывает, где запрет.

Определение

Рациональная дробь — выражение $\dfrac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены. $A$ — числитель (сколько долей закрашено), $B$ — знаменатель (на сколько долей разрезан прямоугольник).

Значение дроби при данном $x$ получают подстановкой: число $x$ подставляют отдельно в числитель и отдельно в знаменатель, затем делят.

Пример

Найдем значение дроби $\dfrac{x-1}{2x}$ при $x=5$.

Числитель: $5-1=4$. Знаменатель: $2\cdot5=10$. Дробь: $\dfrac{4}{10}=0{,}4$.

Проверим смысл: прямоугольник разрезан на $10$ долей, закрашены $4$ — чуть меньше половины. Ответ: $0{,}4$.

Обратите внимание

Число подставляют и в числитель, и в знаменатель. Если подставить только в числитель, получится не число, а новая дробь $\dfrac{4}{2x}$ — и вопрос «сколько долей закрашено» останется без ответа.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Прямоугольник разрезан на $x+3$ долей, закрашено $x+1$ долей. На рисунке $x=3$. Какую дробь показывает рисунок?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/syaayz91ojw1.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{6}{4}$","$\\dfrac{4}{6}$","$\\dfrac{3}{6}$","$\\dfrac{4}{3}$"],"explanations":["Числитель и знаменатель перепутаны: закрашено 4 доли из 6, а не 6 из 4","","Закрашено $x+1=4$ доли, а не $x=3$","Знаменатель — все доли, $x+3=6$, а не $x=3$"],"answer":[1]}},"hints":["Знаменатель — на сколько долей разрезан прямоугольник, числитель — сколько закрашено.","При $x=3$: долей $3+3=6$, закрашено $3+1=4$.","Ответ: $\\dfrac{4}{6}$ — это значение дроби $\\dfrac{x+1}{x+3}$ при $x=3$."],"step":1},{"content":"Найдите значение дроби $\\dfrac{x+1}{3x}$ при $x=3$. Ответ запишите через косую черту, например 2/7. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4/9"}},"hints":["Подставьте $x=3$ в числитель и в знаменатель отдельно.","Числитель: $3+1=4$, знаменатель: $3\\cdot3=9$.","Ответ: $\\dfrac{4}{9}$."],"step":1}],"mix":1}

Когда прямоугольник разрезать нельзя

Вернемся к дроби $\dfrac{x-1}{2x}$ и подставим $x=0$. Числитель: $0-1=-1$. Знаменатель: $2\cdot0=0$. Получается «разрезать прямоугольник на нуль долей». Такого разреза не существует: даже неразрезанный прямоугольник — это одна доля, а не нуль. В 6 классе вы это уже встречали как правило: на нуль делить нельзя.

Три панели: при x = 3 прямоугольник из 6 долей с 2 закрашенными, при x = 1 — 2 доли без закраски (дробь 0/2), при x = 0 разреза нет — дробь не имеет смысла — Вывод: при x = 0 знаменатель дроби равен нулю — разреза нет, дробь не имеет смысла

Значит, при $x=0$ дробь $\dfrac{x-1}{2x}$ не имеет смысла, а при любом другом $x$ — имеет: при $x=-3$ знаменатель $-6$ (долей $-6$ не нарисовать, но делить на $-6$ можно), при $x=0{,}5$ знаменатель $1$. Все такие значения $x$ называют допустимыми.

Определение

Допустимые значения переменной — все значения, при которых выражение имеет смысл. Для рациональной дроби это все значения, при которых знаменатель не равен нулю.

$$\dfrac{A}{B}\ \text{имеет смысл}\ \Longleftrightarrow\ B\ne0$$

Чтобы найти допустимые значения, не нужно перебирать числа. Достаточно узнать, при каких $x$ знаменатель равен нулю, и исключить их: приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение. Числитель на допустимые значения не влияет: закрасить можно сколько угодно долей, в том числе нуль, — лишь бы разрез существовал.

Пример

Найдем допустимые значения переменной для дроби $\dfrac{x+2}{3x-9}$.

Знаменатель равен нулю, когда $3x-9=0$, то есть $3x=9$, $x=3$. Это единственное запрещенное значение.

Проверим: при $x=3$ знаменатель $3\cdot3-9=0$ — разреза нет. При $x=4$ знаменатель $3\cdot4-9=3$ — дробь $\dfrac{6}{3}$ имеет смысл.

Ответ: все числа, кроме $3$. Записывают так: $x\ne3$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Почему дробь $\\dfrac{x-2}{x}$ не имеет смысла при $x=0$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ttab5cvxgkvd.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Знаменатель равен нулю, делить на нуль нельзя","Знаменатель меньше числителя","Числитель отрицательный, дробь не бывает отрицательной","Дробь имеет смысл, ее значение равно $0$"],"explanations":["","Сравнение чисел ни при чем: при $x=0$ знаменатель равен нулю, и это главное","Дробь может быть отрицательной; смысл теряется только из-за знаменателя","Делить на нуль нельзя: значения нет, а не нуль"],"answer":[0]}},"hints":["Знаменатель показывает, на сколько долей разрезан прямоугольник.","При $x=0$ знаменатель равен нулю: на нуль долей разрезать нельзя.","Ответ: делить на нуль нельзя, дробь не имеет смысла."],"step":1},{"content":"При каком значении $x$ дробь $\\dfrac{7}{x-6}$ не имеет смысла? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Дробь не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю.","$x-6=0$ при $x=6$.","Ответ: $6$."],"step":1},{"content":"Укажите допустимые значения переменной для дроби $\\dfrac{x^2}{2x+10}$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Все числа, кроме $5$","Все числа, кроме $0$","Все числа, кроме $-5$ и $0$","Все числа, кроме $-5$"],"explanations":["Знак потерян: $2\\cdot5+10=20\\ne0$, нуль знаменателя — при $x=-5$","Нуль числителя не запрещен: при $x=0$ дробь равна $0$, смотреть надо на знаменатель","При $x=0$ знаменатель равен $10$, дробь имеет смысл",""],"answer":[3]}},"hints":["Найдите, когда знаменатель равен нулю: $2x+10=0$.","$x=-5$. Это единственное запрещенное значение.","Ответ: все числа, кроме $-5$."],"step":1}],"mix":1}

Две сетки — два запрета

Рассмотрим дробь $\dfrac{x}{x(x-4)}$. Знаменатель — произведение двух множителей: $x$ и $x-4$. Разрезать прямоугольник на $x(x-4)$ долей — все равно что разрезать его сначала на $x$ полос, а потом каждую полосу — еще на $x-4$ частей: сетка из двух разрезов.

Подставим $x=5$: сначала $5$ полос, потом каждую на $1$ часть — всего $5$ долей, разрез есть. Подставим $x=4$: сначала $4$ полосы, потом каждую на $4-4=0$ частей — второй разрез невозможен, дробь не имеет смысла. Подставим $x=0$: уже первый разрез на $0$ полос невозможен. Итак, запретов два: $x\ne0$ и $x\ne4$.

Знаменатель x(x − 4) — две сетки: при x = 5 — 5 долей по одной части, закрашены все пять; при x = 4 второй разрез невозможен; при x = 0 — первый; вывод x ≠ 0 и x ≠ 4, запись «x ≠ 0 — готово» зачеркнута: потерян x − 4 — Вывод: знаменатель-произведение — две сетки; каждый множитель может обратиться в нуль и дает свой запрет

Правило

Если знаменатель — произведение, он равен нулю, когда нулю равен хотя бы один из множителей. Поэтому каждый множитель знаменателя дает свое запрещенное значение, и все их нужно записать.

$$B=B_1\cdot B_2=0\ \Longleftrightarrow\ B_1=0\ \text{или}\ B_2=0$$

Проверим правило в модели. Знаменатель задан произведением $(x-2)(x+3)$. Двигайте ползунок $x$ и следите за числом долей: в двух положениях ползунка разрез исчезает.

a8-racionalnye-vyrazheniya-dz-znamenatel

Ошибка

Решавр нашел допустимые значения дроби $\dfrac{x}{x(x-4)}$ так: «Числитель $x$, значит, $x\ne0$. Готово». Проверим на числах: подставим $x=4$. Числитель $4$, знаменатель $4\cdot(4-4)=4\cdot0=0$ — деление на нуль, дробь не имеет смысла. Значение $x=4$ Решавр не исключил, хотя оно запрещено.

Где сломалось рассуждение: запреты рождает знаменатель, а не числитель. Решавр посмотрел на числитель и случайно попал в один из запретов ($x\ne0$ совпал с первым множителем знаменателя), а второй множитель $x-4$ со своим запретом $x\ne4$ потерял. Верный ответ: $x\ne0$ и $x\ne4$.

Иногда произведение в знаменателе спрятано. Знаменатель $x^2-9$ — это разность квадратов: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Значит, и здесь две сетки и два запрета.

Пример

Найдем допустимые значения переменной для дроби $\dfrac{x+1}{x^2-9}$.

Разложим знаменатель: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Первый множитель равен нулю при $x=3$, второй — при $x=-3$.

Проверим оба: при $x=3$ знаменатель $9-9=0$; при $x=-3$ знаменатель $(-3)^2-9=9-9=0$. Оба значения запрещены.

Ответ: $x\ne3$, $x\ne-3$.

{"questions":[{"content":"Укажите допустимые значения $x$ для дроби $\\dfrac{x+5}{x(x-4)}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x\\ne0$","$x\\ne0$, $x\\ne4$","$x\\ne-5$","$x\\ne4$"],"explanations":["Потерян второй множитель: при $x=4$ знаменатель $4\\cdot0=0$","","Это нуль числителя: при $x=-5$ дробь равна $0$ и имеет смысл","Потерян первый множитель: при $x=0$ знаменатель $0\\cdot(-4)=0$"],"answer":[1]}},"hints":["Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель.","$x=0$ или $x-4=0$, то есть $x=4$. Запретов два.","Ответ: $x\\ne0$, $x\\ne4$."],"step":1},{"content":"Сопоставьте каждую дробь с ее запрещенными значениями переменной. Одна запись лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\dfrac{3}{x+8}$","$\\dfrac{x+8}{x}$","$\\dfrac{1}{x(x+8)}$","$\\dfrac{x}{x^2-64}$"],"items":["$x\\ne-8$","$x\\ne0$","$x\\ne0$, $x\\ne-8$","$x\\ne8$, $x\\ne-8$","$x\\ne8$"]}},"instruction":"Соедините дробь с ее запрещенными значениями","hints":["Запреты дает только знаменатель: приравняйте его к нулю. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель.","$x+8=0$ при $x=-8$; $x=0$ — для знаменателя $x$; $x(x+8)=0$ при $x=0$ и $x=-8$; $x^2-64=(x-8)(x+8)=0$ при $x=8$ и $x=-8$.","Ответ: $\\dfrac{3}{x+8}$ — $x\\ne-8$; $\\dfrac{x+8}{x}$ — $x\\ne0$; $\\dfrac{1}{x(x+8)}$ — $x\\ne0$, $x\\ne-8$; $\\dfrac{x}{x^2-64}$ — $x\\ne8$, $x\\ne-8$. Запись «$x\\ne8$» одна — лишняя."],"step":1},{"content":"Найдите произведение всех значений $x$, при которых дробь $\\dfrac{x+2}{x^2-49}$ не имеет смысла. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-49"}},"hints":["Разложите знаменатель: $x^2-49=(x-7)(x+7)$.","Нуль при $x=7$ и при $x=-7$.","Произведение: $7\\cdot(-7)=-49$."],"step":1}],"mix":1}

Нуль долей закрашено или разреза нет

Нуль в числителе и нуль в знаменателе — совсем разные случаи. Подставим в дробь $\dfrac{x-1}{2x}$ значение $x=1$: числитель $1-1=0$, знаменатель $2\cdot1=2$. Прямоугольник разрезан на $2$ доли, закрашено $0$ долей — закраски нет, но разрез есть. Это обычная дробь $\dfrac{0}{2}=0$: дробь равна нулю.

А при $x=0$, как мы видели, разреза нет и дроби нет вовсе. Нуль в числителе дает значение $0$, нуль в знаменателе не дает ничего.

Дробь (x − 1)/(2x): при x = 1 прямоугольник из 2 долей без закраски — дробь равна 0; при x = 0 разреза нет — дробь не имеет смысла — Вывод: дробь равна нулю, когда закрашено нуль долей, а разрез есть; если разреза нет, дроби нет

Правило

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$$\dfrac{A}{B}=0\ \Longleftrightarrow\ A=0\ \text{и}\ B\ne0$$

Второе условие нельзя пропускать. Рассмотрим дробь $\dfrac{x^2-4}{x-2}$. Числитель $x^2-4=(x-2)(x+2)$ равен нулю при $x=2$ и при $x=-2$. Но при $x=2$ знаменатель $2-2=0$: разреза нет, дробь не имеет смысла, и говорить о ее значении нельзя. Нуль числителя при $x=2$ — ложный. При $x=-2$ знаменатель $-2-2=-4\ne0$, числитель $4-4=0$: дробь равна $\dfrac{0}{-4}=0$. Итак, дробь $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ равна нулю только при $x=-2$.

Важно

Чтобы найти, когда дробь равна нулю, сначала найдите нули числителя, затем проверьте каждый из них по знаменателю. Нуль числителя, при котором знаменатель тоже нуль, — не ответ.

Теперь вернемся к вопросу из начала урока. Формула средней скорости $v_{\text{ср}}=\dfrac{2S}{t_1+t_2}$ — рациональная дробь со знаменателем $t_1+t_2$. Она не имеет смысла, когда $t_1+t_2=0$: общее время движения равно нулю. Это не движение: за нулевое время никакого пути туда и обратно нет, и спрашивать о средней скорости бессмысленно. Допустимые значения формулы — $t_1+t_2\ne0$. А если $S=0$, то числитель равен нулю при ненулевом времени: дробь равна нулю, средняя скорость $0$ — тело никуда не ушло. Нуль в числителе — ответ, нуль в знаменателе — отсутствие ответа.

{"questions":[{"content":"При каком значении $x$ дробь $\\dfrac{x-3}{x+8}$ равна нулю?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-3$","$3$","$-8$","$3$ и $-8$"],"explanations":["Знак потерян: $-3-3=-6\\ne0$","","При $x=-8$ знаменатель равен нулю: дробь не имеет смысла, а не равна нулю","$-8$ — запрещенное значение, при нем дроби нет"],"answer":[1]}},"hints":["Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.","$x-3=0$ при $x=3$; знаменатель $3+8=11\\ne0$.","Ответ: $3$."],"step":1},{"content":"Решавр решил: «$\\dfrac{x^2-36}{x+6}=0$ при $x=6$ и при $x=-6$». Что верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Дробь не равна нулю ни при каком значении $x$","Только при $x=-6$: при $x=6$ знаменатель равен нулю","Решавр прав: при обоих значениях дробь равна нулю","Только при $x=6$: при $x=-6$ знаменатель равен нулю"],"explanations":["При $x=6$: $\\dfrac{0}{12}=0$","При $x=6$ знаменатель $12$, а запрещенное значение — как раз $x=-6$","При $x=-6$ знаменатель $-6+6=0$, дробь не имеет смысла",""],"answer":[3]}},"hints":["Числитель $x^2-36$ равен нулю при $x=6$ и $x=-6$.","Но при $x=-6$ знаменатель $x+6=0$: дробь не имеет смысла.","Остается только $x=6$: знаменатель $12\\ne0$. Ответ: дробь равна нулю только при $x=6$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Рациональная дробь $\dfrac{A}{B}$ — это прямоугольник, разрезанный на $B$ долей, из которых закрашены $A$; сколько долей и сколько закрашено, видно только после подстановки числа. Пока знаменатель не нуль, разрез есть и дробь имеет смысл. Все следующие темы модуля — сокращение, сложение, умножение дробей — работают только при допустимых значениях переменной, поэтому запреты по знаменателю вы будете записывать в каждой задаче, начиная с урока «Основное свойство дроби и сокращение».

Как вспомнить главное через модель:

Случай	Модель долей	Что делать
Делят на число	Разрез известен заранее	Целое выражение, имеет смысл при любом $x$
Делят на букву	Число долей зависит от $x$	Дробное выражение; подставить $x$ в числитель и в знаменатель
Знаменатель равен нулю	Разреза нет	Значение запрещено: решить $B=0$ и исключить корни
Знаменатель — произведение	Две сетки	Каждый множитель дает свой запрет; все записать
Числитель равен нулю, знаменатель нет	Разрез есть, закрашено нуль долей	Дробь равна нулю
Числитель и знаменатель равны нулю	Разреза нет	Ложный нуль: дробь не имеет смысла

Часто задаваемые вопросы

Почему выражение $\dfrac{x}{5}$ считается целым, ведь в нем есть дробная черта?

Целое или дробное выражение решает не черта, а то, на что делят. В $\dfrac{x}{5}$ делят на число $5$: прямоугольник всегда разрезан на $5$ долей, и выражение имеет смысл при любом $x$. Дробное выражение — то, где делят на букву или на выражение с буквой: число долей зависит от переменной и может оказаться нулем.

Числитель дроби тоже может быть нулем. Почему его не учитывают при поиске допустимых значений?

Нуль в числителе означает, что закрашено нуль долей, — разрез при этом существует, и дробь просто равна нулю. Нуль в знаменателе означает, что разреза нет, и у дроби нет значения. Запреты дает только знаменатель.

Как записать допустимые значения, если знаменатель — произведение нескольких множителей?

Приравняйте к нулю каждый множитель и запишите все найденные значения через запятую: $x\ne0$, $x\ne4$. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель, поэтому потерять нельзя ни одного. Если множители не видны, сначала разложите знаменатель, например $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

Что делать, если и числитель, и знаменатель обращаются в нуль при одном и том же $x$?

Это ложный нуль: при таком $x$ дробь не имеет смысла, и утверждать, что она равна нулю, нельзя. Например, $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ при $x=2$ не имеет смысла, хотя числитель равен нулю. Сначала найдите нули числителя, потом проверьте каждый по знаменателю.

Где рациональные дроби встречаются вне учебника?

В формулах, где делят на величину, которая может меняться: время $t=\dfrac{S}{v}$, средняя скорость $\dfrac{2S}{t_1+t_2}$, время совместной работы через $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$. Запрет знаменателя в таких формулах всегда имеет смысл: нулевая скорость, нулевое время — движения нет.

Награды за урок