Рациональные выражения и допустимые значения переменной

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какое из выражений является дробным?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0{,}5ab$","$\\dfrac{a}{4}+b$","$\\dfrac{a+b}{3}$","$\\dfrac{a+b}{a}$"],"explanations":["Нет деления вообще: целое выражение","Деление только на число $4$: целое выражение","Здесь деление на число: это целое выражение",""],"answer":[3]}},"hints":["Дробное выражение содержит деление на выражение с переменной.","Деление на число — это целое выражение.","Ответ: $\\dfrac{a+b}{a}$: в знаменателе переменная."],"step":1},{"id":"1","content":"Какое из выражений является дробным?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{m}{2}-n$","$m^2n$","$\\dfrac{m}{m-n}$","$\\dfrac{m-n}{6}$"],"explanations":["Деление только на число $2$: целое выражение","Нет деления вообще: целое выражение","","Здесь деление на число: это целое выражение"],"answer":[2]}},"hints":["Дробное выражение содержит деление на выражение с переменной.","Деление на число — это целое выражение.","Ответ: $\\dfrac{m}{m-n}$: в знаменателе переменная."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите значение дроби $\\dfrac{2x-1}{x+4}$ при $x=2$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,5","0.5"]}},"hints":["Подставьте значение в числитель и в знаменатель.","Числитель: $3$, знаменатель: $6$.","$\\dfrac{3}{6}=0,5$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите значение дроби $\\dfrac{x+7}{5x}$ при $x=2$. Ответ запишите десятичной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,9","0.9"]}},"hints":["Подставьте значение в числитель и в знаменатель.","Числитель: $9$, знаменатель: $10$.","$\\dfrac{9}{10}=0,9$."],"step":1},{"id":"3","content":"Укажите допустимые значения $x$ для дроби $\\dfrac{x-1}{(x+2)(x-5)}$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$x\\ne1$, $x\\ne2$","$x\\ne-2$","$x\\ne-2$, $x\\ne5$","$x\\ne5$"],"explanations":["$x=1$ — нуль числителя, он не запрещает; у множителя $x+2$ нуль $-2$, а не $2$; потерян $x\\ne5$","Потерян второй множитель: при $x=5$ знаменатель равен нулю","","Потерян множитель: при $x=-2$ знаменатель равен нулю"],"answer":[2]}},"hints":["Знаменатель — произведение: он равен нулю, когда нулю равен любой множитель.","Множители дают запреты $x=-2$ и $x=5$.","Ответ: $x\\ne-2$, $x\\ne5$."],"step":1},{"id":"3","content":"Укажите допустимые значения $x$ для дроби $\\dfrac{x-1}{x(x+6)}$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$x\\ne0$","$x\\ne1$, $x\\ne6$","$x\\ne-6$","$x\\ne0$, $x\\ne-6$"],"explanations":["Потерян второй множитель: при $x=-6$ знаменатель равен нулю","$x=1$ — нуль числителя, он не запрещает; у множителя $x+6$ нуль $-6$, а не $6$; потерян $x\\ne0$","Потерян множитель: при $x=0$ знаменатель равен нулю",""],"answer":[3]}},"hints":["Знаменатель — произведение: он равен нулю, когда нулю равен любой множитель.","Множители дают запреты $x=0$ и $x=-6$.","Ответ: $x\\ne0$, $x\\ne-6$."],"step":1},{"id":"4","content":"Какое из выражений имеет смысл при любом значении $x$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x}{x-2}$","$\\dfrac{1}{5x}$","$\\dfrac{x^2-4}{5}$","$\\dfrac{5}{x^2-4}$"],"explanations":["Знаменатель равен нулю при одном значении $x$","Знаменатель с переменной: есть запрещенное значение","","Знаменатель с переменной обращается в нуль при некоторых $x$"],"answer":[2]}},"hints":["Деление на число всегда возможно; деление на выражение с переменной — нет, если оно может стать нулем.","У $\\dfrac{x^2-4}{5}$ знаменатель — число.","Ответ: $\\dfrac{x^2-4}{5}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Какое из выражений имеет смысл при любом значении $x$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{3x+1}{2}$","$\\dfrac{2}{3x+1}$","$\\dfrac{3}{x-2}$","$\\dfrac{x+2}{x}$"],"explanations":["","Знаменатель с переменной обращается в нуль при некоторых $x$","Знаменатель с переменной: есть запрещенное значение","Знаменатель равен нулю при одном значении $x$"],"answer":[0]}},"hints":["Деление на число всегда возможно; деление на выражение с переменной — нет, если оно может стать нулем.","У $\\dfrac{3x+1}{2}$ знаменатель — число.","Ответ: $\\dfrac{3x+1}{2}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите произведение всех значений $x$, при которых дробь $\\dfrac{x+1}{x^2-36}$ не имеет смысла. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"-36"}},"hints":["$x^2-36=(x-6)(x+6)$.","Запреты: $x=6$ и $x=-6$.","Произведение: $6\\cdot(-6)=-36$."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите произведение всех значений $x$, при которых дробь $\\dfrac{x+1}{x^2-81}$ не имеет смысла. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"-81"}},"hints":["$x^2-81=(x-9)(x+9)$.","Запреты: $x=9$ и $x=-9$.","Произведение: $9\\cdot(-9)=-81$."],"step":1},{"id":"6","content":"Дана дробь $\\dfrac{x-2}{x(x+3)}$. Распределите значения $x$: при каких дробь имеет смысл, а при каких — нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Дробь имеет смысл","Дробь не имеет смысла"],"items":[["$2$","$3$","$-2$","$1$"],["$0$","$-3$"]]}},"instruction":"Распределите значения по группам","hints":["Запреты дает только знаменатель: произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель.","Знаменатель $x(x+3)$ равен нулю при $x=0$ и $x=-3$. При $x=2$ нуль только в числителе — дробь равна $0$ и имеет смысл.","Ответ: нет смысла при $x=0$, $x=-3$; при остальных ($2$, $3$, $-2$, $1$) дробь имеет смысл."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Дана дробь $\\dfrac{x+5}{x(x-4)}$. Распределите значения $x$: при каких дробь имеет смысл, а при каких — нет.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Дробь имеет смысл","Дробь не имеет смысла"],"items":[["$-5$","$-4$","$5$","$1$"],["$0$","$4$"]]}},"instruction":"Распределите значения по группам","hints":["Запреты дает только знаменатель: произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель.","Знаменатель $x(x-4)$ равен нулю при $x=0$ и $x=4$. При $x=-5$ нуль только в числителе — дробь равна $0$ и имеет смысл.","Ответ: нет смысла при $x=0$, $x=4$; при остальных ($-5$, $-4$, $5$, $1$) дробь имеет смысл."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Формула $v=\\dfrac{S}{t}$. При каком условии выражение в правой части имеет смысл (как алгебраическая дробь)?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Любые $S$ и $t$","$t\\ne0$","$S\\ne0$","$t>0$ и $S>0$"],"explanations":["При нулевом знаменателе дробь не имеет смысла","","Это условие на числитель; нуль в числителе допустим, дробь равна $0$","Лишнее условие: для смысла дроби нужно лишь, чтобы знаменатель не был нулем"],"answer":[1]}},"hints":["Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю.","Знаменатель здесь $t$.","Ответ: $t\\ne0$."],"step":1},{"id":"7","content":"Формула $a=\\dfrac{v-v_0}{t}$. При каком условии выражение в правой части имеет смысл (как алгебраическая дробь)?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$v\\ne v_0$ и $t\\ne0$","Любые значения","$v-v_0\\ne0$","$t\\ne0$"],"explanations":["Лишнее условие: для смысла дроби нужно лишь, чтобы знаменатель не был нулем","При нулевом знаменателе дробь не имеет смысла","Это условие на числитель; нуль в числителе допустим, дробь равна $0$",""],"answer":[3]}},"hints":["Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю.","Знаменатель здесь $t$.","Ответ: $t\\ne0$."],"step":1},{"id":"8","content":"Сопоставьте каждую дробь со значением $x$, при котором она равна нулю. Одна карточка лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\dfrac{x-2}{x+5}$","$\\dfrac{x+5}{x-2}$","$\\dfrac{x^2-49}{x+7}$","$\\dfrac{4}{x-2}$"],"items":["$2$","$-5$","$7$","ни при каком","$1$"]}},"instruction":"Соедините дробь со значением","hints":["Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.","$\\dfrac{x^2-49}{x+7}$: числитель нуль при $x=7$ и $x=-7$, но $x=-7$ запрещено — остается $7$. У $\\dfrac{4}{x-2}$ числитель никогда не нуль.","Ответ: $\\dfrac{x-2}{x+5}$ — $2$; $\\dfrac{x+5}{x-2}$ — $-5$; $\\dfrac{x^2-49}{x+7}$ — $7$; $\\dfrac{4}{x-2}$ — ни при каком. Карточка «$1$» лишняя."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Сопоставьте каждую дробь со значением $x$, при котором она равна нулю. Одна карточка лишняя.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\dfrac{x-3}{x+7}$","$\\dfrac{x+7}{x-3}$","$\\dfrac{x^2-64}{x-8}$","$\\dfrac{10}{x-3}$"],"items":["$3$","$-7$","$-8$","ни при каком","$7$"]}},"instruction":"Соедините дробь со значением","hints":["Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.","$\\dfrac{x^2-64}{x-8}$: числитель нуль при $x=8$ и $x=-8$, но $x=8$ запрещено — остается $-8$. У $\\dfrac{10}{x-3}$ числитель никогда не нуль.","Ответ: $\\dfrac{x-3}{x+7}$ — $3$; $\\dfrac{x+7}{x-3}$ — $-7$; $\\dfrac{x^2-64}{x-8}$ — $-8$; $\\dfrac{10}{x-3}$ — ни при каком. Карточка «$7$» лишняя."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Вообразавр нашел два числа, при которых числитель дроби $\\dfrac{x^2-16}{x+4}$ обращается в нуль, и считает, что при обоих дробь равна нулю. Укажите единственное число, при котором дробь действительно равна нулю. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Числитель нуль при $x=4$ и $x=-4$.","При $x=-4$ знаменатель $x+4$ равен нулю — это значение запрещено.","Ответ: $4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Вообразавр нашел два числа, при которых числитель дроби $\\dfrac{x^2-9}{x-3}$ обращается в нуль, и считает, что при обоих дробь равна нулю. Укажите единственное число, при котором дробь действительно равна нулю. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Числитель нуль при $x=-3$ и $x=3$.","При $x=3$ знаменатель $x-3$ равен нулю — это значение запрещено.","Ответ: $-3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр написал: «Допустимые значения дроби $\\dfrac{x-3}{x(x+7)}$ — все $x$, кроме $0$». В чем ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, запрет один","Нужно $x\\ne3$ — нуль числителя","Потерян запрет $x\\ne-7$","Нужно $x\\ne-7$ вместо $x\\ne0$"],"explanations":["При $x=-7$ знаменатель равен нулю: запретов два","Нуль числителя не запрещен: дробь при нем равна нулю","","Запрет $x\\ne0$ верный, его нельзя убирать — нужны оба"],"answer":[2]}},"hints":["Знаменатель — произведение двух множителей; каждый дает свой запрет.","Второй множитель равен нулю при $x=-7$: Решавр его потерял.","Ответ: нужно $x\\ne0$ и $x\\ne-7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр написал: «Допустимые значения дроби $\\dfrac{x+2}{x(x-8)}$ — все $x$, кроме $0$». В чем ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Потерян запрет $x\\ne8$","Ошибки нет, запрет один","Нужно $x\\ne8$ вместо $x\\ne0$","Нужно $x\\ne-2$ — нуль числителя"],"explanations":["","При $x=8$ знаменатель равен нулю: запретов два","Запрет $x\\ne0$ верный, его нельзя убирать — нужны оба","Нуль числителя не запрещен: дробь при нем равна нулю"],"answer":[0]}},"hints":["Знаменатель — произведение двух множителей; каждый дает свой запрет.","Второй множитель равен нулю при $x=8$: Решавр его потерял.","Ответ: нужно $x\\ne0$ и $x\\ne8$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>