Основное свойство дроби и сокращение рациональных дробей

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Приведите дробь к знаменателю $15b$: $\\dfrac{7}{3b}=\\dfrac{[[fill_choice-1]]}{15b}$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$35b$","$12$","$35$","$7$"],"answer":2}},"hints":["Знаменатель умножили на $5$.","Числитель умножьте на $5$: $7\\cdot5=35$.","Ответ: $35$."],"step":1},{"id":"1","content":"Приведите дробь к знаменателю $18y$: $\\dfrac{4}{9y}=\\dfrac{[[fill_choice-2]]}{18y}$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$8$","$8y$","$6$","$4$"],"answer":0}},"hints":["Знаменатель умножили на $2$.","Числитель умножьте на $2$: $4\\cdot2=8$.","Ответ: $8$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте каждую дробь с результатом ее сокращения. Одна карточка лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\dfrac{6a^2}{9a}$","$\\dfrac{3a+3}{6}$","$\\dfrac{a^2-1}{a+1}$","$\\dfrac{a-1}{1-a}$"],"items":["$\\dfrac{2a}{3}$","$\\dfrac{a+1}{2}$","$a-1$","$-1$","$1$"]}},"instruction":"Соедините дробь с результатом","hints":["Разложите числитель и знаменатель на множители и найдите общий множитель.","$6a^2:3a=2a$, $9a:3a=3$; $3a+3=3(a+1)$; $a^2-1=(a-1)(a+1)$; $1-a=-(a-1)$.","Ответ: $\\dfrac{6a^2}{9a}$ — $\\dfrac{2a}{3}$; $\\dfrac{3a+3}{6}$ — $\\dfrac{a+1}{2}$; $\\dfrac{a^2-1}{a+1}$ — $a-1$; $\\dfrac{a-1}{1-a}$ — $-1$. Карточка «$1$» лишняя."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте каждую дробь с результатом ее сокращения. Одна карточка лишняя.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$\\dfrac{8b^3}{12b}$","$\\dfrac{5b-10}{15}$","$\\dfrac{b^2-4}{b-2}$","$\\dfrac{2-b}{b-2}$"],"items":["$\\dfrac{2b^2}{3}$","$\\dfrac{b-2}{3}$","$b+2$","$-1$","$1$"]}},"instruction":"Соедините дробь с результатом","hints":["Разложите числитель и знаменатель на множители и найдите общий множитель.","$8b^3:4b=2b^2$, $12b:4b=3$; $5b-10=5(b-2)$; $b^2-4=(b-2)(b+2)$; $2-b=-(b-2)$.","Ответ: $\\dfrac{8b^3}{12b}$ — $\\dfrac{2b^2}{3}$; $\\dfrac{5b-10}{15}$ — $\\dfrac{b-2}{3}$; $\\dfrac{b^2-4}{b-2}$ — $b+2$; $\\dfrac{2-b}{b-2}$ — $-1$. Карточка «$1$» лишняя."],"step":1},{"id":"3","content":"Сократите дробь $\\dfrac{3x+3y}{6x}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x+y}{6x}$","$\\dfrac{x+y}{2x}$","$\\dfrac{1+y}{2}$","$\\dfrac{y}{2}$"],"explanations":["Множитель сокращен только в числителе","","Буква знаменателя — не множитель всей суммы в числителе","Сокращено слагаемое с одночленом знаменателя: сокращать можно только множитель всей суммы"],"answer":[1]}},"hints":["Вынесите общий множитель числителя за скобки.","Сократите на общий числовой множитель.","Ответ: $\\dfrac{x+y}{2x}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Сократите дробь $\\dfrac{4a-8b}{12b}$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{a-2}{3}$","$\\dfrac{a-2b}{12b}$","$\\dfrac{a-2b}{3b}$","$\\dfrac{-2}{3}$"],"explanations":["Буква $b$ — не множитель всей суммы","Множитель сокращен только в числителе","","Слагаемое $4a$ потеряно, сокращено только $-8b$ с $12b$"],"answer":[2]}},"hints":["Вынесите общий множитель числителя за скобки.","Сократите на общий числовой множитель.","Ответ: $\\dfrac{a-2b}{3b}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Сократите дробь $\\dfrac{x^2-64}{x-8}$ и найдите ее значение при $x=11$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"19"}},"hints":["$x^2-64=(x-8)(x+8)$.","После сокращения остается $x+8$.","При $x=11$: $11+8=19$."],"step":1},{"id":"4","content":"Сократите дробь $\\dfrac{x^2-25}{x-5}$ и найдите ее значение при $x=9$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"14"}},"hints":["$x^2-25=(x-5)(x+5)$.","После сокращения остается $x+5$.","При $x=9$: $9+5=14$."],"step":1},{"id":"5","content":"Сократите дробь $\\dfrac{x^2+6x+9}{x^2-9}$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x+3}{x-3}$","$\\dfrac{6x}{-9}$","$\\dfrac{x-3}{x+3}$","$\\dfrac{x+3}{x+3}$"],"explanations":["","Сокращены квадраты как слагаемые: сокращать можно только множители","Скобки перепутаны: после сокращения общая скобка уходит, остается другая","Общий множитель оставлен, а разные скобки убраны"],"answer":[0]}},"hints":["Числитель — полный квадрат, знаменатель — разность квадратов.","Разложите оба и найдите общую скобку.","Ответ: $\\dfrac{x+3}{x-3}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Сократите дробь $\\dfrac{a^2-10a+25}{a^2-25}$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{a-5}{a+5}$","$\\dfrac{a+5}{a-5}$","$\\dfrac{-10a}{-25}$","$\\dfrac{a-5}{a-5}$"],"explanations":["","Скобки перепутаны: после сокращения общая скобка уходит, остается другая","Сокращены квадраты как слагаемые: сокращать можно только множители","Общий множитель оставлен, а разные скобки убраны"],"answer":[0]}},"hints":["Числитель — полный квадрат, знаменатель — разность квадратов.","Разложите оба и найдите общую скобку.","Ответ: $\\dfrac{a-5}{a+5}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Сократите дробь $\\dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4}$ и найдите ее значение при $x=7$. Ответ запишите обыкновенной дробью через косую черту, например 3/7. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"2/9"}},"hints":["Корни трехчлена: $2$ и $5$, значит $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$.","$x^2-4=(x-2)(x+2)$; сократите на $x-2$: $\\dfrac{x-5}{x+2}$.","При $x=7$: $\\dfrac{2}{9}=\\dfrac{2}{9}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Сократите дробь $\\dfrac{x^2-8x+15}{x^2-9}$ и найдите ее значение при $x=8$. Ответ запишите обыкновенной дробью через косую черту, например 3/7. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"3/11"}},"hints":["Корни трехчлена: $3$ и $5$, значит $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$.","$x^2-9=(x-3)(x+3)$; сократите на $x-3$: $\\dfrac{x-5}{x+3}$.","При $x=8$: $\\dfrac{3}{11}=\\dfrac{3}{11}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр сократил дробь $\\dfrac{x^2-9}{6-2x}$ и получил $\\dfrac{x+3}{2}$. Иксератопс подставил $x=1$ и насчитал $-2$. Кто прав?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Оба неверны: верно $-\\dfrac{x-3}{2}$","Решавр: верно $\\dfrac{x+3}{2}$","Оба неверны: сократить нельзя","Иксератопс: верно $-\\dfrac{x+3}{2}$"],"explanations":["Скобка $x-3$ сократилась, остается сумма $x+3$","Потерян знак: $6-2x=-2(x-3)$, а не $2(x-3)$; подстановка даст $2\\ne-2$","Можно: оба выражения раскладываются, общая скобка $x-3$",""],"answer":[3]}},"hints":["При $x=1$: $\\dfrac{-8}{4}=-2$, а у Решавра получается $2$.","$6-2x=2(3-x)=-2(x-3)$; числитель $(x-3)(x+3)$; сокращаем $x-3$, минус остается: $-\\dfrac{x+3}{2}$.","Ответ: верно $-\\dfrac{x+3}{2}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр сократил дробь $\\dfrac{y^2-16}{8-2y}$ и получил $\\dfrac{y+4}{2}$. Иксератопс подставил $y=2$ и насчитал $-3$. Кто прав?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Решавр: верно $\\dfrac{y+4}{2}$","Иксератопс: верно $-\\dfrac{y+4}{2}$","Оба неверны: верно $-\\dfrac{y-4}{2}$","Оба неверны: сократить нельзя"],"explanations":["Потерян знак: $8-2y=-2(y-4)$, а не $2(y-4)$; подстановка даст $3\\ne-3$","","Скобка $y-4$ сократилась, остается сумма $y+4$","Можно: оба выражения раскладываются, общая скобка $y-4$"],"answer":[1]}},"hints":["При $y=2$: $\\dfrac{-12}{4}=-3$, а у Решавра получается $3$.","$8-2y=2(4-y)=-2(y-4)$; числитель $(y-4)(y+4)$; сокращаем $y-4$, минус остается: $-\\dfrac{y+4}{2}$.","Ответ: верно $-\\dfrac{y+4}{2}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Какую из дробей сократить нельзя?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{2x+10}{4}$","$\\dfrac{x+5}{x^2+25}$","$\\dfrac{x^2+5x}{5x}$","$\\dfrac{x+5}{x^2-25}$"],"explanations":["Числитель делится на общий числовой множитель со знаменателем","","В числителе выносится общий множитель, он же есть в знаменателе","Знаменатель — разность квадратов, есть общая скобка с числителем"],"answer":[1]}},"hints":["Разложите числитель и знаменатель каждой дроби.","Сумма квадратов не раскладывается на множители; общего множителя нет.","Ответ: $\\dfrac{x+5}{x^2+25}$."],"step":1},{"id":"8","content":"Какую из дробей сократить нельзя?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{y^2-y}{3y}$","$\\dfrac{y-1}{y^2+1}$","$\\dfrac{3y-3}{6}$","$\\dfrac{y-1}{y^2-1}$"],"explanations":["В числителе выносится общий множитель, он же есть в знаменателе","","Числитель делится на общий числовой множитель со знаменателем","Знаменатель — разность квадратов, есть общая скобка с числителем"],"answer":[1]}},"hints":["Разложите числитель и знаменатель каждой дроби.","Сумма квадратов не раскладывается на множители; общего множителя нет.","Ответ: $\\dfrac{y-1}{y^2+1}$."],"step":1},{"id":"9","content":"Дробь $\\dfrac{x^2-49}{x+7}$ сократили до $x-7$. Укажите значение $x$, при котором исходная дробь не имеет смысла. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-7"}},"hints":["Запреты берут из знаменателя исходной дроби, до сокращения.","$x+7=0$ при $x=-7$.","Ответ: $-7$."],"step":1},{"id":"9","content":"Дробь $\\dfrac{x^2-100}{x+10}$ сократили до $x-10$. Укажите значение $x$, при котором исходная дробь не имеет смысла. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-10"}},"hints":["Запреты берут из знаменателя исходной дроби, до сокращения.","$x+10=0$ при $x=-10$.","Ответ: $-10$."],"step":1},{"id":"10","content":"Решавр «сократил» дробь и получил $\\dfrac{y^2+9}{y^2}=9$. Иксератопс подставил $y=3$: дробь равна $2$. Какой вывод верен?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Сокращено слагаемое; дробь несократима","Верно $1$","Ошибки нет","Верно сократить до $\\dfrac{9}{y^2}$"],"explanations":["","Подстановка дает $2\\ne1$: сократили слагаемое и потеряли второе слагаемое числителя","Подстановка $y=3$ дает $2\\ne9$: значение дроби изменилось","Слагаемое числителя снова «убрано»: оно не множитель всей суммы"],"answer":[0]}},"hints":["При $y=3$ дробь равна $2$, а не $9$.","Сокращать можно общий множитель, а не слагаемое числителя.","Ответ: дробь несократима."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр «сократил» дробь и получил $\\dfrac{a+6}{a}=6$. Иксератопс подставил $a=2$: дробь равна $4$. Какой вывод верен?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Верно сократить до $\\dfrac{6}{a}$","Ошибки нет","Верно $1$","Сокращено слагаемое; дробь несократима"],"explanations":["Слагаемое числителя снова «убрано»: оно не множитель всей суммы","Подстановка $a=2$ дает $4\\ne6$: значение дроби изменилось","Подстановка дает $4\\ne1$: сократили слагаемое и потеряли второе слагаемое числителя",""],"answer":[3]}},"hints":["При $a=2$ дробь равна $4$, а не $6$.","Сокращать можно общий множитель, а не слагаемое числителя.","Ответ: дробь несократима."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>