8 класс Алгебра Рациональные дроби Рациональные дроби и их свойства

Основное свойство дроби и сокращение рациональных дробей

Содержание

В уроке «Рациональные выражения и допустимые значения переменных» вы узнали, что рациональная дробь $\frac{A}{B}$ имеет смысл только при тех значениях переменных, при которых знаменатель $B$ не равен нулю. В этом уроке разберем основное свойство дроби: как записать ту же дробь с другим знаменателем и как сократить дробь, не изменив ее значение. По ходу увидим, почему сокращать можно только множители и куда переезжает минус при смене знака.

Сетка мельче, закраска та же

Начнем с вопроса, к которому вернемся в конце урока. Автомобиль проехал от города до поселка $S$ км со скоростью $v_1$ км/ч и вернулся той же дорогой со скоростью $v_2$ км/ч. Ученик вывел формулу средней скорости на всем пути и получил $\frac{2Sv_1v_2}{Sv_1+Sv_2}$. В учебнике физики записано $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$. Записи разные. Это одна и та же дробь или ученик ошибся? Ответить поможет правило, которое вы знаете с 6 класса для числовых дробей.

Вспомним модель. Прямоугольник разрезан на $3$ равные доли, закрашены $2$ из них: закрашена дробь $\frac{2}{3}$ прямоугольника. Знаменатель — на сколько долей разрезан прямоугольник, числитель — сколько долей закрашено. Теперь разрежем каждую долю еще на две. Долей стало $6$, закрашенных — $4$, а закрашенная площадь не изменилась ни на клетку.

Сетка мельче, закраска та же: прямоугольник из 3 долей с 2 закрашенными режут на 6 долей — закрашены 4; 2/3 = 4/6 — Сетка мельче, закраска та же: $\frac{2}{3}=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}=\frac{4}{6}$.

Числитель и знаменатель умножили на одно и то же число $2$, а дробь осталась прежней. С рациональными дробями происходит то же самое, только «размер доли» теперь зависит от переменной. Возьмем дробь $\frac{x}{x+1}$ и умножим числитель и знаменатель на $3$: получим $\frac{3x}{3(x+1)}$. Проверим подстановкой, как делает Иксератопс. При $x=2$ первая дробь равна $\frac{2}{3}$, вторая — $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. При $x=5$: $\frac{5}{6}$ и $\frac{15}{18}=\frac{5}{6}$. Значения совпадают при любом допустимом $x$: умножение на $3$ лишь делает сетку в три раза мельче.

Правило

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, получится равная ей дробь:

$$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C},\quad C\ne0$$

Условие $C\ne0$ обязательно: умножение на нуль превратило бы знаменатель в нуль, и дробь потеряла бы смысл.

Вообразавр спрашивает: а если умножить на выражение с переменной, например на $x-2$? Можно, но при $x=2$ новый знаменатель обратится в нуль, то есть у новой дроби появится лишний запрет. Поэтому множитель $C$ подбирают так, чтобы он не обращался в нуль при допустимых значениях переменной, а если запрет все же добавился, это помечают отдельно.

Чаще всего основное свойство нужно, чтобы привести дробь к новому знаменателю: записать ее с заданным, более «мелким» знаменателем. Для этого находят дополнительный множитель — на что нужно умножить старый знаменатель, чтобы получить новый, — и умножают на него и числитель.

Пример

Приведите дробь $\frac{3}{2a}$ к знаменателю $8a^2$.

Шаг 1. Дополнительный множитель: $8a^2:2a=4a$. Проверка: $2a\cdot4a=8a^2$.

Шаг 2. Умножаем числитель на тот же множитель: $3\cdot4a=12a$.

Ответ: $\frac{3}{2a}=\frac{12a}{8a^2}$. Проверка подстановкой $a=1$: $\frac{3}{2}$ и $\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$.

{"questions":[{"content":"Приведите дробь к знаменателю $12a$: $\\dfrac{5}{4a}=\\dfrac{[[fill_choice-1]]}{12a}$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$5$","$15a$","$15$","$8$"],"answer":2}},"hints":["Знаменатель умножили на $3$: $4a\\cdot3=12a$.","Числитель умножьте на тот же множитель: $5\\cdot3=15$.","Ответ: $15$."],"step":1},{"content":"Какое условие нужно для равенства $\\dfrac{A}{B}=\\dfrac{A\\cdot C}{B\\cdot C}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$C\\ne0$","Условий нет","$C>0$","$A\\ne0$"],"explanations":["","При $C=0$ справа получается $\\dfrac{0}{0}$: дробь теряет смысл","Знак не важен: умножать можно и на отрицательное выражение, лишь бы не на нуль","Числитель может быть нулем: $\\dfrac{0}{B}=0$ при любом умножении"],"answer":[0]}},"hints":["Числитель и знаменатель умножают на одно и то же выражение.","Умножение на нуль превратило бы знаменатель в нуль.","Ответ: $C\\ne0$."],"step":1}],"mix":1}

Сокращение — склеить доли обратно

Прочитаем основное свойство справа налево: $\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A}{B}$. Если и числитель, и знаменатель содержат один и тот же множитель $C$, его можно убрать из обоих. На модели это значит склеить мелкие доли обратно в крупные. Прямоугольник разрезан на $9$ долей, закрашены $6$. Склеим доли по три: получится $3$ крупные доли, закрашены $2$ из них. Закраска та же, а дробь записана проще: $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

Сокращение: прямоугольник из 9 долей с 6 закрашенными склеивают по 3 доли — 3 доли, 2 закрашены; 6/9 = 2/3 — Склеили доли по три: $\frac{6}{9}=\frac{2\cdot3}{3\cdot3}=\frac{2}{3}$ — закраска не изменилась.

Определение

Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий множитель, не равный нулю. Дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих множителей, называется несократимой.

С буквами действуем так же: ищем общий множитель. Для одночленов это проще всего — числа сокращаем на общий делитель, а степени одной буквы делим по правилу $a^m:a^n=a^{m-n}$. Разберем дробь $\frac{10a^3}{15a}$. Числа $10$ и $15$ делятся на $5$; у буквы $a$ показатели $3$ и $1$, общий множитель — $a$. Запишем числитель и знаменатель как произведения: $10a^3=5a\cdot2a^2$, $15a=5a\cdot3$. Общий множитель $5a$ убираем из обоих: $\frac{10a^3}{15a}=\frac{2a^2}{3}$.

Проверим, как Иксератопс, подстановкой $a=2$: исходная дробь равна $\frac{80}{30}=\frac{8}{3}$, сокращенная — $\frac{2\cdot4}{3}=\frac{8}{3}$. Совпало — значит, мы склеивали доли, а не меняли закраску.

Пример

Сократите дробь $\frac{8m^4n}{12mn^3}$.

Шаг 1. Числа: $8$ и $12$ делятся на $4$, остаются $2$ и $3$.

Шаг 2. Буква $m$: показатели $4$ и $1$, общий множитель $m$; в числителе остается $m^3$, в знаменателе буква $m$ исчезает.

Шаг 3. Буква $n$: показатели $1$ и $3$, общий множитель $n$; в числителе буква $n$ исчезает, в знаменателе остается $n^2$.

Ответ: $\frac{8m^4n}{12mn^3}=\frac{2m^3}{3n^2}$. Проверка при $m=1$, $n=2$: $\frac{16}{96}=\frac{1}{6}$ и $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.

В интерактиве ниже числитель и знаменатель — две полосы из одинаковых клеток. Верхняя полоса — закрашенные доли, нижняя — все доли сетки. Растяните обе полосы в одно и то же число раз — дробь не изменится. Сдвиньте только одну — изменится. Это и есть разница между множителем, который сокращать можно, и слагаемым, которое сокращать нельзя; к ней вернемся в последнем разделе.

a8-osnovnoe-svojstvo-drobi-sokrashchenie-doli

{"questions":[{"content":"Какая запись — сокращение дроби $\\dfrac{12}{18}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{12:2}{18:3}$","$\\dfrac{12-6}{18-6}$","$\\dfrac{12:6}{18:6}$","$\\dfrac{12:6}{18}$"],"explanations":["Числитель и знаменатель делят на одно и то же число, а не на разные","Вычитание одного числа из обеих частей меняет дробь: $\\dfrac{6}{12}\\ne\\dfrac{12}{18}$","","Разделили только числитель: закраска уменьшилась, сетка осталась"],"answer":[2]}},"hints":["Сократить — разделить числитель и знаменатель на один и тот же множитель.","$12:6=2$ и $18:6=3$.","Ответ: $\\dfrac{12:6}{18:6}$."],"step":1},{"content":"Сократите дробь $\\dfrac{18x^5}{24x^2}$. Запишите показатель степени $x$ в ответе. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Числа: $18$ и $24$ делятся на $6$.","Степени: $x^5:x^2=x^3$.","$\\dfrac{3x^3}{4}$: показатель $3$."],"step":1}],"mix":1}

Сначала разложить, потом сокращать

Пока числитель и знаменатель — одночлены, общий множитель виден сразу. Но в дроби $\frac{4x+8}{x^2-4}$ ни одного общего множителя не видно: наверху сумма, внизу разность. На модели это значит, что мы еще не знаем, на какие доли разрезаны числитель и знаменатель. Чтобы увидеть доли, нужно записать каждый из них как произведение, то есть разложить на множители.

Приемы разложения вы знаете из 7 класса: вынесение общего множителя за скобки, разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности. Квадратный трехчлен раскладывают по его корням — так, как в уроке «Корни квадратного трехчлена и разложение на множители». Применим эти приемы: $4x+8=4(x+2)$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Теперь общий множитель виден — это скобка $x+2$.

Три шага: разложить (4x + 8)/(x² − 4) = 4(x + 2)/((x − 2)(x + 2)), увидеть общий множитель (x + 2), сократить — 4/(x − 2); проверка при x = 3: 4 и 4 — Разложить → увидеть общий множитель → сократить: $\frac{4x+8}{x^2-4}=\frac{4(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{4}{x-2}$.

Проверим при $x=3$: исходная дробь $\frac{12+8}{9-4}=\frac{20}{5}=4$, сокращенная $\frac{4}{3-2}=4$. Значит, скобка $x+2$ действительно была общей долей и числителя, и знаменателя.

Алгоритм

Чтобы сократить рациональную дробь:

Разложить числитель и знаменатель на множители.
Найти общий множитель в обоих разложениях.
Сократить на него — разделить числитель и знаменатель на общий множитель.
Проверить результат подстановкой одного допустимого значения переменной.

Если общего множителя нет, дробь несократима.

Сумма квадратов $x^2+a^2$ на множители не раскладывается — дробь с ней в знаменателе часто несократима.

Пример

Сократите дробь $\frac{x^2-7x+12}{x^2-16}$.

Шаг 1. Числитель — квадратный трехчлен. Его корни $3$ и $4$ (проверка: $3+4=7$, $3\cdot4=12$), поэтому $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$. Знаменатель — разность квадратов: $x^2-16=(x-4)(x+4)$.

Шаг 2. Общий множитель — скобка $x-4$.

Шаг 3. Сокращаем: $\frac{(x-3)(x-4)}{(x-4)(x+4)}=\frac{x-3}{x+4}$.

Шаг 4. Проверка при $x=5$: исходная дробь $\frac{25-35+12}{25-16}=\frac{2}{9}$, сокращенная $\frac{5-3}{5+4}=\frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{x-3}{x+4}$.

Обратите внимание на порядок: сначала разложение, и только потом сокращение. Пока в числителе стоит $x^2-7x+12$, в нем нет никакого «$x-4$», его еще предстоит увидеть. Именно поэтому нельзя сокращать $x^2$ наверху с $x^2$ внизу: в разложениях такого общего множителя нет.

{"questions":[{"content":"Перед сокращением числитель или знаменатель раскладывают на множители. Распределите выражения по приему, которым их раскладывают.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Вынесение общего множителя","Разность квадратов","Квадрат суммы","Трехчлен по корням"],"items":[["$6x+6y$"],["$x^2-49$"],["$x^2+10xy+25y^2$"],["$x^2-5x+4$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Два слагаемых с общим множителем — вынесение; два квадрата с минусом — разность квадратов.","Три слагаемых: если это $a^2+2ab+b^2$ — квадрат суммы, иначе — трехчлен раскладывают по корням.","Ответ: $6x+6y$ — вынесение $6$; $x^2-49$ — разность квадратов; $x^2+10xy+25y^2$ — квадрат суммы; $x^2-5x+4$ — по корням $1$ и $4$."],"step":1},{"content":"Сократите дробь $\\dfrac{x^2-36}{x+6}$ и найдите ее значение при $x=10$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$x^2-36=(x-6)(x+6)$.","После сокращения на $x+6$ остается $x-6$.","При $x=10$: $10-6=4$."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги сокращения дроби $\\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4}$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Разложить числитель и знаменатель на множители","Найти общий множитель двух разложений: $x-2$","Разделить числитель и знаменатель на найденный множитель","Проверить результат подстановкой $x=4$: $\\dfrac{2}{12}=\\dfrac16$ и $\\dfrac{1}{6}$"]}},"hints":["Сначала раскладывают числитель и знаменатель на множители.","Потом находят общий множитель и сокращают на него.","Ответ: $\\dfrac{x-3}{x+2}$."],"step":1}],"mix":1}

Куда переезжает минус

Сравним выражения $a-b$ и $b-a$. При $a=5$, $b=2$ первое равно $3$, второе равно $-3$. При любых значениях они отличаются только знаком: $b-a=-(a-b)$. Такие выражения называют противоположными. Если скобки числителя и знаменателя противоположны, дробь можно сократить, но при этом появится минус.

Откуда берется минус, показывает основное свойство с $C=-1$: умножим числитель и знаменатель на $-1$. Модель долей знак не показывает: закрашенная часть и сетка те же, а знак — свойство самого числа, поэтому здесь надежнее проверка подстановкой. Отсюда три равные записи одной дроби.

Правило

Знак дроби. Минус можно переносить между числителем, знаменателем и самой дробью:

$$\frac{-A}{B}=-\frac{A}{B}=\frac{A}{-B}$$

В ответе минус принято записывать перед дробью.

Три записи одной дроби: −A/B = −(A/B) = A/(−B) — минус переезжает из числителя перед дробь и в знаменатель; b − a = −(a − b), проверка при a = 5, b = 2 — Минус переезжает: три записи одной дроби, и у $b-a$ он уже «внутри»: $b-a=-(a-b)$.

Пример

Сократите дробь $\frac{9-y^2}{y-3}$.

Шаг 1. Разложим числитель: $9-y^2=(3-y)(3+y)$. Знаменатель $y-3$ — выражение, противоположное скобке $3-y$: $3-y=-(y-3)$.

Шаг 2. Перепишем числитель: $(3-y)(3+y)=-(y-3)(y+3)$. Общий множитель — $y-3$.

Шаг 3. Сокращаем: $\frac{-(y-3)(y+3)}{y-3}=-(y+3)$.

Шаг 4. Проверка при $y=1$: исходная дробь $\frac{9-1}{1-3}=\frac{8}{-2}=-4$, результат $-(1+3)=-4$.

Ответ: $-(y+3)$.

Ошибка

Решавр сократил $\frac{x-5}{10-2x}$ так: $10-2x=2(5-x)$, «скобки одинаковые», значит, ответ $\frac{1}{2}$. Проверим при $x=1$: $\frac{1-5}{10-2}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$. Знак потерян. Скобки $x-5$ и $5-x$ не одинаковые, а противоположные: $5-x=-(x-5)$. Верно: $\frac{x-5}{-2(x-5)}=-\frac{1}{2}$.

{"questions":[{"content":"Сократите дробь $\\dfrac{a-b}{b-a}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-1$","$1$","$0$","Сократить нельзя"],"explanations":["","$a-b$ и $b-a$ — противоположные выражения, а не равные: $b-a=-(a-b)$","Дробь с ненулевым числителем не равна нулю; сокращение дает $-1$","Можно: вынесите $-1$ в знаменателе, $b-a=-(a-b)$"],"answer":[0]}},"hints":["$b-a=-(a-b)$.","$\\dfrac{a-b}{-(a-b)}=-1$.","Ответ: $-1$."],"step":1},{"content":"Какой результат получится, если сократить $\\dfrac{2x-8}{16-x^2}$? Следите за знаком.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-\\dfrac{2}{x-4}$","$\\dfrac{2}{4-x}$","$\\dfrac{2}{x+4}$","$-\\dfrac{2}{x+4}$"],"explanations":["Сокращена скобка $x+4$ вместо общей скобки $x-4$","Скобка $x-4$ не сокращена: общий множитель у числителя и знаменателя — с точностью до знака","Потерян минус: скобки $x-4$ и $4-x$ противоположны",""],"answer":[3]}},"hints":["$2x-8=2(x-4)$, $16-x^2=(4-x)(4+x)$.","$4-x=-(x-4)$.","Ответ: $-\\dfrac{2}{x+4}$."],"step":1}],"mix":1}

Почему нельзя отрезать слагаемое

Ошибка

Самая частая ошибка при сокращении выглядит так: $\frac{x+3}{x}=3$ — «$x$ наверху и $x$ внизу сократились». Проверим на числах, как Иксератопс. При $x=1$ дробь равна $\frac{1+3}{1}=4$, а не $3$. При $x=2$: $\frac{5}{2}$, снова не $3$. Значение дроби изменилось, значит, это не сокращение.

Где сломалось рассуждение: сокращать можно общий множитель — то, на что разрезаны целиком и закраска, и сетка. В числителе $x+3$ буква $x$ — слагаемое, часть закраски. Если ее «отрезать», закраска станет другой. Дробь $\frac{x+3}{x}$ несократима: у суммы $x+3$ и одночлена $x$ нет общих множителей. По той же причине $\frac{x^2+1}{x^2}\ne1$: при $x=2$ дробь равна $\frac{5}{4}$.

Слева множитель: 10 долей с 6 закрашенными склеивают по 2 — 3 из 5, закраска та же. Справа слагаемое: из 5 закрашенных «отрезают» 2 доли (ошибка) и получают 3 из 5 — закраска изменилась — Слева множитель: $\frac{2\cdot3}{2\cdot5}=\frac{3}{5}$, закраска та же. Справа слагаемое: $\frac{2+3}{2\cdot5}=\frac{1}{2}$, а «отрезав» $2$, получили бы $\frac{3}{5}$ — закраска изменилась.

Теперь вернемся к средней скорости из начала урока. У ученика $\frac{2Sv_1v_2}{Sv_1+Sv_2}$, в учебнике $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$. В знаменателе ученика $S$ — множитель в каждом из двух слагаемых, поэтому его можно вынести за скобки: $Sv_1+Sv_2=S(v_1+v_2)$. Теперь $S$ — множитель и числителя, и знаменателя, и его можно сократить: $\frac{2Sv_1v_2}{S(v_1+v_2)}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$. Формулы ученика и учебника — одна и та же дробь. Проверим: $S=12$, $v_1=4$, $v_2=6$. У ученика $\frac{2\cdot12\cdot4\cdot6}{12\cdot4+12\cdot6}=\frac{576}{120}=4{,}8$, по учебнику $\frac{2\cdot4\cdot6}{4+6}=\frac{48}{10}=4{,}8$.

А вот Решавр зачеркнул $S$ в числителе и только в первом слагаемом знаменателя и получил $\frac{2v_1v_2}{v_1+Sv_2}$. При тех же числах это $\frac{48}{4+72}=\frac{48}{76}$, то есть меньше $1$ км/ч — средняя скорость явно не такая. Отрезать слагаемое нельзя, а вынести общий множитель и сократить — можно.

Последнее, о чем важно помнить после сокращения, — допустимые значения. Сократим $\frac{x^2-4x}{x}$: $x^2-4x=x(x-4)$, общий множитель $x$, результат $x-4$. У выражения $x-4$ запретов нет, но у исходной дроби знаменатель $x$ обращается в нуль при $x=0$. На модели: при $x=0$ прямоугольник разрезан на $0$ долей, а склеивать нечего. Поэтому допустимые значения дроби определяют по исходному знаменателю, до сокращения.

Важно

Допустимые значения переменной берут из знаменателя исходной дроби. После сокращения запреты не исчезают: $\frac{x^2-4x}{x}=x-4$ при $x\ne0$.

{"questions":[{"content":"Решавр сократил: $\\dfrac{x+4}{x}=4$. Проверьте при $x=1$ и найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Верный ответ $x+4$","Ошибки нет: $x$ сокращается","Сокращено слагаемое; дробь несократима","Верный ответ $\\dfrac{4}{x}$"],"explanations":["Знаменатель $x$ не исчезает: при $x=2$ дробь равна $3$, а $x+4=6$","При $x=1$ дробь равна $5$, а не $4$: сокращение изменило значение","","Слагаемое $x$ «убрали» из числителя; при $x=1$ получится $4\\ne5$"],"answer":[2]}},"hints":["При $x=1$: $\\dfrac{1+4}{1}=5$, а Решавр получил $4$.","$x$ в числителе — слагаемое, а не множитель всей суммы $x+4$.","Ответ: сокращать можно только общий множитель; дробь несократима."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Какая дробь несократима?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{x^2+2x}{x}$","$\\dfrac{x+2}{x^2-4}$","$\\dfrac{x+2}{x^2+4}$","$\\dfrac{3x+6}{9}$"],"explanations":["$x^2+2x=x(x+2)$: общий множитель $x$","$x^2-4=(x-2)(x+2)$: общий множитель $x+2$","","$3x+6=3(x+2)$: общий множитель $3$"],"answer":[2]}},"hints":["Разложите числитель и знаменатель; если общих множителей нет — дробь несократима.","Проверьте каждый знаменатель: какой из них не раскладывается?","Ответ: $\\dfrac{x+2}{x^2+4}$."],"step":1},{"content":"Дробь $\\dfrac{x^2-9}{x-3}$ сократили до $x+3$. Какие значения $x$ допустимы для исходной дроби?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Все числа, кроме $3$ и $-3$","Все числа","Все числа, кроме $-3$","Все числа, кроме $3$"],"explanations":["$-3$ обращает в нуль числитель, а не знаменатель","После сокращения знаменатель исчез, но запрет $x\\ne3$ остается от исходной дроби","$-3$ — нуль числителя, он разрешен; нуль знаменателя — при $x=3$",""],"answer":[3]}},"hints":["Допустимые значения определяют по исходному знаменателю, до сокращения.","$x-3=0$ при $x=3$.","Ответ: все числа, кроме $3$ — хотя $x+3$ имеет смысл всегда."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Основное свойство дроби — это одна картинка: сетка мельче или крупнее, закраска та же. Умножили числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение — та же дробь; убрали общий множитель из обоих — сократили. Чтобы увидеть общий множитель, числитель и знаменатель сначала раскладывают на множители, затем сокращают и проверяют подстановкой. Зачем это нужно: приведение к новому знаменателю понадобится уже в следующем уроке — при сложении дробей, а сокращение — в каждом ответе и в заданиях ОГЭ. Как вспомнить главное через модель:

Случай	На модели	Запись
Привести к новому знаменателю	каждую долю разрезать еще на $c$	$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}$, $C\ne0$
Сократить	склеить доли обратно	$\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A}{B}$
Сумма в числителе или знаменателе	доли еще не видны — разложить	$4x+8=4(x+2)$, затем сокращать
Противоположные скобки	та же сетка, минус переезжает	$b-a=-(a-b)$, минус перед дробью
Слагаемое	отрезанный кусок — не доля	$\frac{x+3}{x}$ несократима
После сокращения	на $0$ долей не режут	запреты — по исходному знаменателю

Часто задаваемые вопросы

Можно ли умножать числитель и знаменатель на выражение с переменной?

Можно, если это выражение не равно нулю при допустимых значениях переменной. Например, умножение на $x^2+1$ безопасно: оно не обращается в нуль ни при каком $x$. А умножение на $x-2$ добавит запрет $x\ne2$, его нужно записать отдельно.

Как быстро проверить, что дробь сокращена верно?

Подставьте одно допустимое значение переменной в исходную и в сокращенную дробь. Если значения совпали, сокращение, скорее всего, верно; если нет — ошибка точно есть. Удобно брать небольшие числа, при которых знаменатель не нуль.

Почему $\frac{x^2+1}{x^2}$ не равна $1$, ведь $x^2$ есть и наверху, и внизу?

Наверху $x^2$ — слагаемое суммы $x^2+1$, а не множитель всего числителя. При $x=2$ дробь равна $\frac{5}{4}$, а не $1$. Сокращать можно только то, на что делится числитель целиком.

Что значит «дробь несократима» и как это проверить?

У числителя и знаменателя нет общих множителей. Чтобы убедиться, разложите оба на множители: если общих скобок и общих числовых делителей не нашлось, дробь несократима. Так, $\frac{x-3}{x^2+9}$ несократима: сумма квадратов $x^2+9$ на множители не раскладывается.

Меняются ли допустимые значения после сокращения?

Нет. Запреты определяют по знаменателю исходной дроби. Дробь $\frac{x^2-4x}{x}$ равна $x-4$ только при $x\ne0$: при $x=0$ исходная дробь не имеет смысла, хотя выражение $x-4$ имеет.

Награды за урок