ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Свойства линейной функции
В самом простом понимании функция — это некое правило, зависимость между двумя переменными. Кроме этого, у каждой функции есть еще и особые черты поведения, которые называются свойствами.
В этом уроке мы закрепим знания о свойствах, а также выведем свойства для одной из самых распространенных функций — линейной.
Свойства и виды функций
Когда говорят о свойствах функции, имеют в виду пять параметров:
- Область определения $D(f)$.
- Множество значений $E(f)$.
- Нули функции.
- Промежутки знакопостоянства.
- Промежутки возрастания и убывания.
Свойства помогают понять, как ведёт себя функция, чтобы было проще строить графики и находить значения переменной $y$.
Вы уже знакомы с некоторыми видами функций, например:
- Линейная: $y=kx+b$, $k\neq0$,
- Прямая пропорциональность: $y=kx$, $k\neq0$,
- Обратная пропорциональность: $y=\frac{k}{x}$, $k\neq0$.
Функции одного вида ведут себя похожим образом, и некоторые их свойства могут совпадать. Так, у прямых пропорциональностей $y=2x$ и $y=-2x$ будет одинаковая область определения $D(f)=(-\infty;+\infty)$, одинаковое множество значений $E(f)=(-\infty;+\infty)$ и один и тот же нуль функции $x=0$.
Промежутки знакопостоянства и промежутки возрастания и убывания для этих функций будут зеркально противоположными. Вы можете попробовать самостоятельно определить их по графикам.
Показать ответ
Скрыть
Функция $y=2x$ принимает отрицательные значения на промежутке $(-\infty;0)$ и положительные на $(0;+\infty)$. Функция $y=-2x$ принимает положительные значения на промежутке $(-\infty;0)$ и отрицательные на $(0;+\infty)$.
Функция $y=2x$ возрастает на всей области $D(f)=(-\infty;+\infty)$, а функция $y=-2x$ убывает на всей области $D(f)=(-\infty;+\infty)$.
Таким образом, полезно знать свойства основных функций, чтобы в будущем использовать их как трафарет для всех подобных функций.
Линейная функция
Повторим некоторые особенности линейной функции, которые понадобятся нам для описания ее свойств.
Линейная функция задается формулой $y=kx+b$, где $k\neq0$.
Важно
Если $k=0$, то получаем $y=0x+b=b$. В этом случае переменная y никак не зависит от переменной $x$, значит, мы не можем рассматривать это как функцию.
График линейной функции представляет собой прямую, угол наклона которой зависит от коэффициента $k$:
- при $k>0$ угол между графиком и осью $Ox$ острый (меньше $90^\circ$),
- при $k<0$ угол между графиком и осью $Ox$ тупой (больше $90^\circ$).
Это важно учитывать при описании свойств, так как функция ведет себя по-разному при $k>0$ и $k<0$.
Полезно
Коэффициент $b$ влияет на расположение графика выше и ниже оси $Ox$: чем больше $b$, тем выше прямая. Это удобно использовать, чтобы быстро построить график, но знак коэффициента $b$ не влияет на свойства.
В линейной функции переменная x может принимать любые значения — в ней нет никаких «опасных» моментов вроде корня или знаменателя дроби. Это видно и по графику, где прямая может продолжаться бесконечно в обе стороны. Соответственно, значения y в линейной функции тоже могут быть любыми.
Запишем это в свойства:
- Область определения $D(f)=(-\infty;+\infty)$.
- Множество значений $E(f)=(-\infty;+\infty)$.
Нули линейной функции
Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Чтобы их найти, достаточно приравнять функцию к нулю. Сделаем это для линейной функции:
$$y=kx+b$$ $$kx+b=0$$
Найдем $x$:
$$kx=-b$$ $$x=-\frac{b}{k}$$
Получили, что линейная функция обращается в нуль при $x=-\frac{b}{k}$. По графику видно, что прямая пересекает ось $Ox$ только в одной точке — это и есть нуль функции.
Важно
Помните, что для вычисления нулей функции мы приравниваем к нулю $y$ и вычисляем $x$, а не наоборот.
Если мы приравняем к нулю $x$, то просто найдем значение функции при $x=0$ — точно так же, как искали бы значение функции для $x=1, x=2$ и так далее. Это может быть полезно, например, при построении графика, но к свойствам функции не относится.
У линейной функции всегда только один нуль, но у других функций их может быть больше или меньше. Например, у квадратичной функции (параболы) может быть как два нуля, так и ни одного.
Так как линейная функция представляет собой прямую, которая может продолжаться бесконечно, то в какой-то точке она обязательно пересечет ось Ox и при этом знак функции поменяется на противоположный. То есть, нуль функции поможет нам найти промежутки знакопостоянства — следующее свойство линейной функции.
Знакопостоянство линейной функции
Рассмотрим еще раз график линейной функции. Мы нашли точку, в которой график пересекает ось $Ox$: ($\frac{b}{k};0$).
Эта точка делит график на два промежутка: выше и ниже оси $Ox$, то есть $y>0$ и $y<0$ соответственно. Эти промежутки называются промежутками знакопостоянства.
Полезно
В большинстве случаев нули функции делят график на промежутки знакопостоянства, и тогда запись промежутков знакопостоянства будет выглядеть примерно так: ($-\infty$; нуль функции), (нуль функции; $+\infty$).
Так как линейная функция ведет себя очень просто и наглядно, вы уже можете назвать ее промежутки знакопостоянства «на глаз». Но для большей точности нужно уметь находить их вручную.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства, нужно составить неравенства $y>0$ и $y<0$ и выразить через них $x$.
То есть, в случае линейной функции, нам нужно найти x через неравенства $kx+b>0$ и $kx+b<0$.
По графику видим, что в зависимости от коэффициента $k$ линейная функция ведет себя по-разному.
- При $k>0$ функция начинается как отрицательная, затем переходит через нуль и становится положительной.
- При $k<0$ функция начинается как положительная, переходит через нуль и становится отрицательной.
Значит, для вычисления промежутков знакопостоянства нам необходимо учитывать знак коэффициента $k$. Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая:
- $kx+b>0$ при $k>0$,
- $kx+b<0$ при $k>0$,
- $kx+b>0$ при $k<0$,
- $kx+b<0$ при $k<0$.
Решим неравенство $kx+b>0$ при $k>0$: $$kx>-b$$ $$x>-\frac{b}{k}$$
Получили, что в случае $k>0$ функция положительна при $x>-\frac{b}{k}$. Аналогично решим $kx+b<0$: $$kx<-b$$ $$x<-\frac{b}{k}$$
Следовательно, функция отрицательна при $x<-\frac{b}{k}$.
Подытожим:
| Функция положительна при | Функция отрицательна при | |
|---|---|---|
| $k>0$ | $x \in \left( -\frac{b}{k} \, ; \, +\infty \right)$ | $x \in \left( -\infty \, ; \, -\frac{b}{k} \right)$ |
| $k<0$ |
Скобки круглые, так как при $-\frac{b}{k}$ функция равна нулю, а ноль нельзя включить ни в положительные, ни в отрицательные значения. Попробуйте самостоятельно найти промежутки знакопостоянства для случая $k<0$.
Показать решение
Скрыть
$$kx+b>0$$ $$kx>-b$$
$x<-\frac{b}{k}$ — знак неравенства изменился, так как мы разделили обе части на отрицательный $k$. Получили, что в случае $k<0$ функция положительна при $x<-\frac{b}{k}$.
Повторим то же самое для отрицательных значений: $$kx+b<0$$ $$kx<-b$$ $$x>-\frac{b}{k}$$
В случае $k<0$ функция отрицательна при $x>-\frac{b}{k}$.
Дополним нашу таблицу:
| Функция положительна при | Функция отрицательна при | |
|---|---|---|
| $k>0$ | $x \in \left( -\frac{b}{k} \, ; \, +\infty \right)$ | $x \in \left( -\infty \, ; \, -\frac{b}{k} \right)$ |
| $k<0$ | $x \in \left( -\infty \, ; \, -\frac{b}{k} \right)$ | $x \in \left( -\frac{b}{k} \, ; \, +\infty \right)$ |
Итак, при $k<0$ промежутки знакопостоянства получились полностью противоположными случаю $k>0$. Именно это мы и видели на графике.
Возрастание и убывание линейной функции
Снова вернемся к графику линейной функции.
Видим, что при $k>0$ прямая идет вверх, а при $k<0$ — вниз.
Это внешнее движение вверх и вниз происходит, потому что значения y постепенно возрастают или постепенно убывают. То есть, при движении слева направо по оси $Ox$ каждому следующему значению $x$ соответствует всё большее (или всё меньшее) значение $y$.
Вспомним определение возрастания и убывания функции.
Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
При этом, если функция возрастает (или убывает) на всей области определения — то есть, всегда, — её называют просто возрастающей (или убывающей), без уточнения о промежутках.
Уже можно сказать, что при $k>0$ функция $y=kx+b$ постоянно возрастает, а при $k<0$ убывает.
Доказательство
Скрыть
Возьмем произвольные значения $x_1$ и $x_2$, которые идут друг за другом по возрастанию, то есть $x_1<x_2$ . Перепишем это как $x_2>x_1$ и запомним — это наше основное условие.
Подставим $x_1$ и $x_2$ в соответствующие $y_1$ и $y_2$: $$y_1=kx_1+b$$ $$y_2=kx_2+b$$
Если $y_2>y_1$, то функция возрастает. Это означает, что у функции с $x_2$ значение будет больше, чем у функции с $x_1$. Вдобавок, $x_2>x_1$ по условию. То есть, при большем значении $x$ мы получаем большее значение $y$ — как и в определении возрастающей функции.
Аналогично, если $y_2<y_1$, то функция убывает.
Чтобы понять, какое значение функции больше другого, можно взять разность $y_2-y_1$ и сравнить ее с нулем. Если $y_2-y_1>0$, значит $y_2>y_1$, а если $y_2-y_1<0$, значит $y_2<y_1$.
Подставим полную запись функции в разность $y_2-y_1$: $$y_2-y_1=(kx_2+b)-(kx_1+b)$$
Упростим выражение: $$(kx_2+b)-(kx_1+b)=kx_2+b-kx_1-b=kx_2-kx_1=k(x_2-x_1)$$
Из условия $x_2>x_1$ следует, что $x_2-x_1>0$. Значит, знак выражения $k(x_2-x_1)$ будет зависеть только от знака коэффициента $k$. То есть: $k(x_2-x_1)>0$ при $k>0$ и $k(x_2-x_1)<0$ при $k<0$.
А так как $k(x_2-x_1)$ мы получили из $y_2-y_1$, то можно утверждать, что:
$y_2-y_1>0$ при $k>0$ — функция всегда возрастает при $k>0$,
$y_2-y_1<0$ при $k<0$ — функция всегда убывает при $k<0$.
Подытожим все свойства линейной функции $y=kx+b$, которые мы нашли:
- Область определения $D(f)=(-\infty;+\infty)$.
- Множество значений $E(f)=(-\infty;+\infty)$.
- Нули функции $x=-\frac{b}{k}$.
| Свойства | $k>0$ | $k<0$ |
|---|---|---|
| Промежутки знакопостоянства | $y > 0 \text{ при } x \in \left( -\frac{b}{k} \, ; \, +\infty \right)$ $y < 0 \text{ при } x \in \left( -\infty \, ; \, -\frac{b}{k} \right)$ | $y > 0 \text{ при } x \in \left( -\infty \, ; \, -\frac{b}{k} \right)$ $y < 0 \text{ при } x \in \left( -\frac{b}{k} \, ; \, +\infty \right)$ |
| Промежутки возрастания (убывания) | всегда возрастает | всегда убывает |
Часто задаваемые вопросы
Линейной называется функция вида $y=kx+b$ ($k \neq 0$), где $k, b$ — числовые коэффициенты. Графиком такой функции является прямая.
Нули функции — это значения переменной $x$, при которых функция обращается в ноль. Чтобы их найти, нужно запись функции приравнять к нулю (например, $2x^2-4=0$) и через полученное уравнение выразить $x$.
Функция убывает на некотором промежутке, если при увеличении переменной $x$ значение функции $y$ уменьшается. Функция возрастает на некотором промежутке, если при увеличении переменной $x$ значение функции $y$ уменьшается.
Монотонной называется функция, которая либо только возрастает, либо только убывает на всей своей области определения.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Хотите оставить комментарий?
Войти