Некоторые обратные функции и их свойства

Раньше мы работали с «удобными» уравнениями и строили линейные зависимости. Мы изучали влияние коэффициентов на вид и наклон графика. Но что произойдет, если аргумент $x$ вдруг окажется в знаменателе? Вам уже знакома гипербола $y = x^{-1}$ с ветвями в разных четвертях.

Теперь же мы добавим к аргументу в знаменателе вторую степень. Таким образом, мы изучим новую функцию $y = x^{-2}$ и ее необычные свойства. Оказывается, всего одна лишняя единица в показателе превращает обычную гиперболу в «математический вулкан». В частности, мы разберемся, как именно квадрат меняет характер графика и его положение. Более того, мы выясним, почему эта функция никогда не опускается ниже оси абсцисс.

Обратная пропорциональность

Функцию $y = x^{-1}$ вы уже встречали под псевдонимом $y = \frac{1}{x}$. Это случай обратной пропорциональности: чем больше $x$, тем меньше $y$. Если $x$ увеличивается в $10$ раз, значение $y$ падает в $10$ раз.

Свойства функции

Давайте вспомним свойства гиперболы.

1. Область определения: $D(y) = x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ — функция определена при всех $x$, кроме нуля.
2. График состоит из двух частей, эти части (ветви) расположены в разных четвертях координатной плоскости:
   • при $k > 0$ — в $1$-й и $3$-й четвертях;
   • при $k < 0$ — во $2$-й и $4$-й четвертях.
3. Нули функции: график не пересекает оси координат, он все время стремится к ним, но никогда не касается.
4. Важно рассмотреть и промежутки монотонности функции. Прежде всего, при $k > 0$ функция убывает. Иными словами, чем больше $x$, тем меньше $y$. Напротив, при $k < 0$ функция возрастает. Следовательно, чем больше $x$, тем больше $y$.
5. Симметрия: график симметричен относительно начала координат (если мысленно повернуть его на $180°$, он совпадет сам с собой).

{"questions":[{"content":"Найдите значение функции $y = x^{-1}$ в точке $x = -0.25$.[[fill_choice_big-280]]","widgets":{"fill_choice_big-280":{"type":"fill_choice_big","options":["$-4$","$-2$","$1$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"explanation":"По определению отрицательной степени $x^{-1}=\\frac{1}{x}$. Подставляем $x=-0.25$: $y=\\frac{1}{-0.25}$. Представим $0.25$ как дробь: $0.25=\\frac{1}{4}$. Тогда $y=\\frac{1}{-\\frac{1}{4}}=-4$.","hints":["Запишем $x^{-1}$ как $\\frac{1}{x}$.","Подставим $x=-0.25$: получаем $y=\\frac{1}{-0.25}$.","Так как $0.25=\\frac{1}{4}$, то $\\frac{1}{-0.25}=\\frac{1}{-\\frac{1}{4}}=-4$."]}]}

Степенная функция с отрицательным показателем

График функции

График функции $y = x^{-2}$ (или $y = \frac{1}{x^2}$) отдаленно напоминает гиперболу, но у него есть принципиальное отличие. Поскольку аргумент $x$ здесь возводится в квадрат, любое отрицательное число на выходе превращается в плюс. Это полностью меняет «правила игры»: какое бы значение $x$ вы ни подставили, $y$ всегда будет положительным.

В результате график данной функции никогда не опускается ниже горизонтальной оси $Ox$. Следовательно, если ветви обычной гиперболы $y = x^{-1}$ были направлены в разные стороны, то здесь обе части графика всегда находятся в верхней полуплоскости. Кроме того, из-за специфической формы такую кривую часто называют «вулканом» или «математическим колоколом». Примечательно, что ветви функции симметричны относительно вертикальной оси $Oy$ и бесконечно устремляются вверх. Это происходит именно при постепенном приближении значений аргумента к нулевой отметке.

{"questions":[{"content":"Почему график функции $y = x^{-2}$ расположен только в $1$-й и $2$-й четвертях?<br><br>[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Потому что $x$ не может быть отрицательным","Потому что квадрат любого числа (кроме нуля) всегда положителен","Потому что это прямая пропорциональность","Потому что график пересекает ось $Oy$ в положительной точке"],"explanations":["Область определения: $x \\ne 0$, но отрицательные значения $x$ допустимы.","Так как $y = x^{-2} = \\frac{1}{x^2}$, а при $x \\ne 0$ величина $x^2 > 0$, то $\\frac{1}{x^2} > 0$. Значит, $y$ всегда положителен, и точки графика лежат выше оси $Ox$ (в 1-й и 2-й четвертях).","Функция $y=\\frac{1}{x^2}$ не является прямой пропорциональностью (она не имеет вид $y=kx$).","Функция $y=\\frac{1}{x^2}$ не определена при $x=0$, поэтому ось $Oy$ (то есть $x=0$) график не пересекает."],"answer":[1]}},"explanation":"Запишем $y=x^{-2}=\\frac{1}{x^2}$. При любом $x\\ne 0$ квадрат $x^2$ положителен: $x^2>0$. Тогда и дробь $\\frac{1}{x^2}>0$, то есть $y>0$ для всех допустимых $x$. Значит, график целиком расположен выше оси $Ox$: при $x>0$ — в $1$-й четверти, при $x<0$ — во $2$-й четверти.","hints":["Представьте $y=x^{-2}$ как дробь $y=\\frac{1}{x^2}$ и определите знак $y$ при $x\\ne 0$."]}],"mix":1}

Свойства функции

1. Область определения $D(f)$: все числа, кроме $x = 0$.
2. Множество значений $E(f)$: только положительные числа $(0; +\infty)$.
3. Нули функции: отсутствуют (график не пересекает ось $Ox$).
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.
5. Промежутки возрастания и убывания: возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$.

ИНТЕРЕСНЫЙ ФАКТ: «ПРАВИЛО ФОТОГРАФА»

Самый простой способ увидеть функцию $y = x^{-2}$ в жизни — это обычный фонарик или вспышка на телефоне.

Представим, что фонарик светит на стену с расстояния $1$ метр и мы видим яркое световое пятно определенного размера. Если отойти от стены всего на $2$ метра (расстояние увеличилось в $2$ раза), то площадь, которую освещает фонарик, увеличится в $4$ раза ($2^2$).

В чем подвох?

Так как количество света от фонарика осталось прежним, а осветить ему теперь нужно площадь в $4$ раза больше, яркость в каждой точке этого пятна станет в $4$ раза слабее.

Именно поэтому на фотографиях, сделанных со вспышкой ночью, люди на переднем плане получаются очень яркими («пересвеченными»), а те, кто стоит всего на пару шагов дальше, — почти черными. Функция $x^{-2}$ заставляет свет «исчезать» очень быстро, гораздо быстрее, чем нам кажется на первый взгляд.

Примеры

Показать решение

Скрыть

Чтобы построить график $y = \frac{2}{x^2}$, составим таблицу, подставив вместо $x$ удобные значения (помним, что $x$ принимает не только положительные значения, но и отрицательные, а результат возведения в квадрат всегда будет положительным) и вычислим $y$.

$x$	$-2$	$-1$	$-0,5$	$0,5$	$1$	$2$
$y$	$0,5$	$2$	$8$	$8$	$2$	$0,5$

Далее чертим оси $Ox$ и $Oy$, выставляем координаты точек из таблицы и плавно соединяем полученные точки.

График функции $y = \frac{2}{x^2}$ построен.

Показать решение

Скрыть

Чтобы построить график $y = \frac{-1}{x^2}$, составим таблицу, подставив вместо $x$ удобные значения. Помним, что аргумент $x$ может быть как положительным, так и отрицательным. Результат возведения в квадрат всегда положителен, но минус перед функцией меняет знак. Поэтому все значения $y$ в нашей таблице окажутся отрицательными.

$x$	$-2$	$-1$	$-0,5$	$0,5$	$1$	$2$
$y$	$-0,25$	$-1$	$-4$	$-4$	$-1$	$-0,25$

График функции $y = \frac{-1}{x^2}$ построен.

Теперь вы знаете, как ведут себя функции вида $y = x^{-1}$ и $y = x^{-2}$, и понимаете, почему маленькое изменение степени в знаменателе так сильно меняет вид графика. Мы разобрали, как обычная гипербола превращается в симметричный «вулкан». Кроме того, мы выяснили, на что обращать внимание при работе с точкой разрыва.

Понимание этих функций — это важный навык. Умение «читать» такие графики пригодится не только на экзаменах по алгебре, но и в задачах по физике, где по закону обратных квадратов затухает свет, звук и даже сила притяжения планет.

Практика

{"questions":[{"content":"Выберите верное утверждение про функцию $y=x^{-2}$.<br><br>[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["График проходит через точку $(0;0)$.","Если $x<0$, то значение функции всегда отрицательное.","Если заменить $x$ на $-x$, значение функции не меняется.","Эта функция определена при любом $x$."],"explanations":["При $x=0$ выражение $\\frac{1}{x^2}$ не имеет смысла, поэтому через $(0;0)$ график не проходит.","Так как $y=\\frac{1}{x^2}$, то при любом $x\\ne 0$ значение положительное, в том числе при $x<0$.","Проверим: $f(-x)=\\frac{1}{(-x)^2}=\\frac{1}{x^2}=f(x)$.","При $x=0$ функция не определена, поэтому не для любого $x$."],"answer":[2]}},"explanation":"Имеем $y=x^{-2}=\\frac{1}{x^2}$. При $x=0$ деление на ноль невозможно, значит функция там не задана. При любом $x\\ne 0$ число $x^2>0$, поэтому $\\frac{1}{x^2}>0$. Также $f(-x)=\\frac{1}{(-x)^2}=\\frac{1}{x^2}=f(x)$, то есть при замене $x$ на $-x$ значение не меняется.","hints":["Замените $x^{-2}$ на $\\frac{1}{x^2}$. Подумайте: можно ли подставить $x=0$ и меняется ли $x^2$, если вместо $x$ взять $-x$."]}],"mix":1}

Часто задаваемые вопросы