Обратная пропорциональность, ее свойства и график

Мы уже познакомились с графиками линейных функций или прямой пропорциональности как их еще называют и научились строить прямые на координатной плоскости. Но бывают и другие уравнения с двумя переменными — такие, у которых график выглядит совершенно иначе. К таким уравнениям относится график обратной пропорциональности $y = \dfrac{k}{x}$.

В данном уроке мы разберем поведение этой функции, узнаем как выглядит ее график и в чем особенности.

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность — это такая зависимость между двумя величинами, при которой, если одна величина увеличивается, другая при этом уменьшается, и наоборот.

С обратно пропорциональной зависимостью вы уже встречались раньше — ещё в начальной школе, когда решали задачи на скорость, время и расстояние. И вам известно, чем выше скорость, тем меньше времени нужно на путь. Или наоборот: если идти медленно, то времени уйдёт больше.

В старших классах такая зависимость описывается формулой $y = \dfrac{k}{x}$, где $k$ — любое число, кроме $0$ и $x \neq 0$.

Исторический факт

Обратную пропорциональность знали ещё в Древнем Египте и Вавилоне — именно на ней основаны задачи про работников, которые вместе выполняют работу быстрее. Но впервые чётко записал такую зависимость и стал изучать её свойства древнегреческий математик Никомах из Герасы.

Позже, в средние века, учёные использовали обратную пропорциональность при описании движения тел, а с развитием физики и механики она стала одной из ключевых зависимостей — в законе Бойля о давлении и объёме газа: $P = \dfrac{k}{V}$.

{"questions":[{"content":"Что такое обратная пропорциональность?[[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":""},"choice-6":{"type":"choice","options":["Это зависимость, при которой одно значение увеличивается, а другое уменьшается","Это функция, график которой всегда проходит через начало координат","Это такая зависимость, где оба значения увеличиваются одновременно","Это уравнение вида $y = kx$, где $k$ — постоянное число"],"answer":[0]}},"hints":["Если одно значение растёт, а другое уменьшается — это обратная пропорциональность. <br />Ее формула: $y = \\dfrac{k}{x}$."]}],"mix":1}

График обратной пропорциональности

График обратной пропорциональности, выраженный формулой $y = \dfrac{k}{x}$, выглядит не как прямая и не как парабола. У него особая форма, состоящая из двух плавных, изогнутых линий, которые никогда не касаются осей координат. Такой график называется гиперболой и выглядит так:

Если $k > 0$, гипербола будет располагаться в $1$-й и $3$-й четвертях.

Если $k < 0$, гипербола будет располагаться во $2$-й и $4$-й четвертях.

Откуда произошло название графика «гипербола»?

Показать ответ

Скрыть

{"questions":[{"content":"Как называется график обратной пропорциональности?[[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":""},"choice-6":{"type":"choice","options":["Гипербола","Парабола","Эллипс","Прямая"],"answer":[0]}},"hints":["Это кривая, название которой придумали ещё в Древней Греции при изучении сечений конуса.","Она называется — гипербола."]}]}

Свойства обратной пропорциональности

Вы наверняка обратили внимание на то, что гипербола состоит из двух, не пересекающихся между собой линий. Так происходит от того, что в знаменателе функции находится $x$, а как известно, на ноль делить нельзя. Именно поэтому в точке $0$ график терпит разрыв.

Свойства функции $y = \dfrac{k}{x}$.

1. Область определения: $D(y) = x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ — функция определена при всех $x$, кроме нуля.
2. График состоит из двух частей, эти части (ветви) расположены в разных четвертях координатной плоскости:
   • при $k > 0$ — в 1-й и 3-й четвертях;
   • при $k < 0$ — во 2-й и 4-й четвертях.
3. Нули функции: график не пересекает оси координат, он всё время стремится к ним, но никогда не касается.
4. Промежутки возрастания (убывания): функция убывает при $k > 0$, то есть, чем больше $x$, тем меньше $y$, и возрастает при $k < 0$ — чем больше $x$, тем больше $y$.
5. Симметрия: график симметричен относительно начала координат (если мысленно повернуть его на $180^\circ$, он совпадет сам с собой).

Наглядно все эти свойства можно увидеть при помощи построения гиперболы. Для этого будем использовать табличный метод.

Пример 1

Постройте график функции:

$$y = \dfrac{6}{x}.$$

Показать решение

Скрыть

Чтобы построить график $y = \dfrac{6}{x}$, составим таблицу, подставив под $x$ удобные значения (помним, что $x$ принимает не только положительные значения, но и отрицательные) и вычислим $y$:

$x$	$-6$	$-3$	$-2$	$-1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$-1$	$-2$	$-3$	$-6$	$6$	$3$	$2$	$1$

Далее, чертим оси $ox$ и $oy$, выставляем координаты точек из таблицы и плавно соединяем полученные точки.

График функции $y = \dfrac{6}{x}$ построен.

Пример 2

Постройте график функции:

$$y = -\dfrac{12}{x}.$$

Показать решение

Скрыть

Для построения графика $y = -\dfrac{12}{x}$ составим таблицу и подставим под $x$ удобные значения, чтобы вычислить $y$:

$x$	$-12$	$-6$	$-3$	$-2$	$-1$	$1$	$2$	$3$	$6$	$12$
$y$	$1$	$2$	$4$	$6$	$12$	$-12$	$-6$	$-4$	$-2$	$-1$

Начертим оси $ox$ и $oy$, выставим координаты точек из таблицы и плавно соединим, полученные точки.

График функции $y = -\dfrac{12}{x}$ построен.

Теперь вы знаете, как выглядит график функции $y = \dfrac{k}{x}$ и какие особенности есть у обратной пропорциональности. Мы разобрали, где расположена гипербола, в чём её отличие от других графиков, и на что стоит обращать внимание при построении.

Понимание свойств гиперболы пригодится не только в алгебре, но и в задачах из физики, химии и других предметов, где встречаются обратные зависимости.

{"questions":[{"content":"В каких координатных четвертях будет располагаться гипербола, если $k < 0$?[[choice-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":""},"choice-7":{"type":"choice","options":["Во $2$-й и $4$-й четвертях","В $1$-й и $3$-й четвертях","Во $2$-й и $3$-й четвертях","В $1$-й и $4$-й четвертях"],"answer":[0]}},"hints":["При $k < 0$ значения $x$ и $y$ всегда разного знака: один положительный, другой отрицательный.","Такие точки находятся во $2$-й и $4$-й четвертях."]}]}

Часто задаваемые вопросы