ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
Степень с целым отрицательным показателем
Свойства функции, заданной квадратным корнем
В математике функцию можно исследовать не только по формуле, но и по графику. Формула помогает понять, при каких значениях аргумента функция имеет смысл, какие значения она может принимать и как меняется при увеличении аргумента.
В этом уроке рассмотрим функцию $y=\sqrt{x}$. Мы узнаем, как найти ее область определения и область значений, построим график функции и сформулируем ее основные свойства.
Функция, заданная квадратным корнем
Функция $y=\sqrt{x}$ ставит каждому допустимому значению $x$ в соответствие арифметический квадратный корень из этого числа.
Арифметический квадратный корень из числа всегда неотрицателен.
Например: $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{2{,}25}=1{,}5$.
Геометрически это можно представить так: если площадь квадрата равна $x$, то длина его стороны равна $\sqrt{x}$. Значит, зависимость стороны квадрата от его площади можно задать формулой $y=\sqrt{x}$.
Интересный факт
График функции $y=\sqrt{x}$ связан с графиком функции $y=x^2$. Если рассматривать только правую часть параболы $y=x^2$, то функция $y=\sqrt{x}$ будет для нее обратной.
График функции
Чтобы построить график функции $y=\sqrt{x}$, составим таблицу значений.
| $x$ | $0$ | $0,25$ | $1$ | $2,25$ | $4$ | $6,25$ | $9$ |
| $y$ | $0$ | $0,5$ | $1$ | $1,5$ | $2$ | $2,5$ | $3$ |
По таблице получаем точки:
$(0;0)$, $(0{,}25;0{,}5)$, $(1;1)$, $(2{,}25;1{,}5)$, $(4;2)$, $(6{,}25;2{,}5)$, $(9;3)$.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.
Рис. 1. Построение графика функции $y=\sqrt{x}$ по таблице значений.
Построение графика функции $y=\sqrt{x}$ по таблице значений. Отмечены точки $(0;0)$, $(1;1)$, $(4;2)$, $(9;3)$ и промежуточные точки.
Так как арифметический корень — это всегда неотрицательно число, то на графике нет точек левее оси $Oy$ и нет точек ниже оси $Ox$. Значит, график функции $y=\sqrt{x}$ расположен в первой координатной четверти и проходит через начало координат.
Запомните
График функции $y=\sqrt{x}$ расположен в первой координатной четверти. Он начинается в точке $(0;0)$ и плавно поднимается вверх вправо.
Область определения
Выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому переменная $x$ может принимать только неотрицательные значения: $x\ge 0$.
Область определения функции $y=\sqrt{x}$ – множество всех неотрицательных чисел:
$D(y)=[0;+\infty)$.
пример 1
Найдите значение аргумента $x$, при котором значение функции равно $3$.
Показать решение и ответ
Скрыть
Решим уравнение $\sqrt{x}=3$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:
$x=3^2$.
Получаем: $x=9$.
Ответ: $9$.
пример 2
Найдите значение аргумента $x$, при котором значение функции $y=\sqrt{x}$ равно: $5$; $1{,}2$; $0$.
Показать решение и ответ
Скрыть
Если $y=\sqrt{x}$, то $x=y^2$.
При $y=5$ получаем: $x=5^2=25$.
При $y=1{,}2$ получаем: $x=1{,}2^2=1{,}44$.
При $y=0$ получаем: $x=0^2=0$.
Ответ: $25$; $1{,}44$; $0$.
Область значений
Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным. Значит, для функции $y=\sqrt{x}$ всегда выполняется условие $y\ge 0$.
Область значений функции – множество всех неотрицательных чисел:
$E(y)=[0;+\infty)$.
Это можно объяснить так: если взять любое неотрицательное число $b$, то можно подобрать такое значение аргумента $x$, при котором функция примет значение $b$.
Действительно, если $x=b^2$, то $y=\sqrt{x}=\sqrt{b^2}=b$.
Значит, функция $y=\sqrt{x}$ принимает любое неотрицательное значение.
пример 1
Найдите значение функции $y=\sqrt{x}$, если $x=4$.
Показать решение и ответ
Скрыть
Подставим значение аргумента:
$y=\sqrt{4}=2$.
Ответ: $2$.
пример 2
Найдите значение функции $y=\sqrt{x}$, если:
- $x=16$;
- $x=2{,}25$;
- $x=0$.
Показать решение и ответ
Скрыть
- $x=16$, то $y=\sqrt{16}=4$.
- $x=2{,}25$, то $y=\sqrt{2{,}25}=1{,}5$.
- $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$.
Ответ: $4$; $1{,}5$; $0$.
Нуль функции
Нуль функции – это такое значение аргумента $x$, при котором значение функции равно $0$.
Для функции $y=\sqrt{x}$ нужно решить уравнение: $\sqrt{x}=0$.
Квадратный корень равен нулю только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю. Поэтому $x=0$. Значит, нуль функции $y=\sqrt{x}$ – число $0$.
Функция $y=\sqrt{x}$ равна нулю при $x=0$. Поэтому график функции проходит через начало координат.
Возрастание функции
Рассмотрим два значения аргумента $x_1$ и $x_2$, которые принадлежат области определения функции.
Пусть $x_1<x_2,$ где оба значения принадлежат области определения функции, то есть $x_1\ge 0, x_2\ge 0.$
Из свойства арифметического квадратного корня следует: $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}.$ Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, функция $y=\sqrt{x}$ возрастает на всей области определения: большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция $y=\sqrt{x}$ возрастает на промежутке $\left[0;+\infty\right).$
$x_1<x_2,\qquad \sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}.$
| Свойство | Характеристика |
|---|---|
| Область определения | $D(y)=[0;+\infty)$ |
| Область значений | $E(y)=[0;+\infty)$ |
| График | ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти |
| Нуль функции | $x=0$ |
| Промежутки знакопостоянства | при $x=0$ функция равна $0$; при $x>0$ функция положительна |
| Возрастание | функция возрастает на $[0;+\infty)$ |
Часто задаваемые вопросы
Область определения функции $y=\sqrt{x}$ — все неотрицательные значения аргумента. Так как квадратный корень имеет смысл только из неотрицательного числа, должно выполняться условие $x\ge 0$. Поэтому $D(y)=[0;+\infty)$.
Область значений функции $y=\sqrt{x}$ — все неотрицательные числа. Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому $E(y)=[0;+\infty)$.
Функция $y=\sqrt{x}$ равна нулю при $x=0$, потому что $\sqrt{0}=0$. Значит, нуль функции — число $0$.
График функции $y=\sqrt{x}$ расположен в первой координатной четверти, так как для этой функции $x\ge 0$ и $y\ge 0$. Также график проходит через начало координат.
Функция $y=\sqrt{x}$ возрастает на всей области определения. Это значит, что если $x_1<x_2$, то $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$.
График функции $y=\sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы. Он начинается в точке $(0;0)$ и плавно поднимается вверх вправо.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти