Обратные функции: повторение и обобщение

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"График функции $y=\\frac{k}{x}$ — гипербола. При $k<0$  в каких координатных четвертях расположены ее ветви? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1$ и $3$","$2$ и $4$","$1$ и $2$","$3$ и $4$"],"explanations":["Это расположение соответствует $k>0$: при $x>0$ значение положительное, при $x<0$ значение отрицательное.","При $k<0$ знаки $x$ и $y$ противоположны: при $x>0$ получается $y<0$ ($4$ четверть), при $x<0$ получается $y>0$ ($2$ четверть).","Для этих четвертей $y$ не меняет знак при смене знака $x$, а у $\\frac{k}{x}$ знак меняется.","Для этих четвертей $y$ не меняет знак при смене знака $x$, а у $\\frac{k}{x}$ знак меняется."],"answer":[1]}},"step":1,"explanation":"У функции $y=\\frac{k}{x}$ знак $y$ равен знаку произведения $k\\cdot \\frac{1}{x}$, то есть зависит от знаков $k$ и $x$. При $k<0$ и $x>0$ получаем $y<0$ ($4$ четверть). При $k<0$ и $x<0$ получаем $y>0$ ($2$ четверть). Поэтому ветви гиперболы расположены во $2$ и $4$ четвертях.","hints":["Подставьте любой удобный $x>0$ (например, $x=1$) и определите знак $y$, если $k<0$.","Подставьте любой удобный $x<0$ (например, $x=-1$) и определите знак $y$, если $k<0$.","Сопоставьте знаки $(x,y)$ с четвертями: $2$ — $x<0, y>0$, $4$ — $x>0, y<0$."]},{"content":"Функция задана формулой $y=\\frac{k}{x^2}$. Какое утверждение верно при любом ненулевом $k$? [[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Функция нечетная","Функция четная","Функция возрастает на всей области определения","График обязательно проходит через начало координат"],"explanations":["Нечетность означает $f(-x)=-f(x)$, а здесь получается равенство $f(-x)=f(x)$.","Так как $(-x)^2=x^2$, то $f(-x)=\\frac{k}{(-x)^2}=\\frac{k}{x^2}=f(x)$.","На разных промежутках поведение разное, на всей области определения монотонности нет.","При $x=0$ функция не определена, поэтому через начало координат график не проходит."],"answer":[1]}},"step":1,"explanation":"Для $f(x)=\\frac{k}{x^2}$ имеем $f(-x)=\\frac{k}{(-x)^2}=\\frac{k}{x^2}=f(x)$. Значит, функция четная при любом $k\\ne 0$, и ее график симметричен относительно оси $Oy$.","hints":["Проверьте, чему равно $f(-x)$ для $f(x)=\\frac{k}{x^2}$.","Используйте равенство $(-x)^2=x^2$.","Сравните результат с определениями четной и нечетной функций."]},{"content":"Найдите значение параметра $k$, если точка $(-2;3)$ принадлежит графику функции $y=\\frac{k}{x^2}$.[[fill_choice_big-37]]","widgets":{"fill_choice_big-37":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$10$","$6$","$-2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"explanation":"Если точка принадлежит графику, ее координаты удовлетворяют формуле функции. Подставляем: $3=\\frac{k}{(-2)^2}=\\frac{k}{4}$. Тогда $k=12$.","hints":["Подставьте $x=-2$ и $y=3$ в формулу $y=\\frac{k}{x^2}$.","Вычислите $x^2$: $(-2)^2=4$, получите уравнение $3=\\frac{k}{4}$.","Умножьте обе части на $4$: $k=12$."]},{"content":"Для функции $y=\\frac{k}{x^2}$ известно, что $k>0$. В каких координатных четвертях расположен ее график? [[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Только в $1$-й","Только во $2$-й","В $1$-й и $2$-й","В $3$-й и $4$-й"],"explanations":["При $x<0$ значения тоже положительные, поэтому есть точки и во $2$ четверти.","При $x>0$ значения положительные, значит во $2$ четверти тоже есть график, а только во $2$ быть не может.","Так как $x^2>0$ при $x\\ne 0$, то при $k>0$ получаем $y>0$ и при $x>0$, и при $x<0$: это $1$ и $2$ четверти.","В $3$ и $4$ четвертях $y<0$, а при $k>0$ значения функции положительные."],"answer":[2]}},"step":1,"explanation":"При любом $x\\ne 0$ выполняется $x^2>0$. Тогда при $k>0$ имеем $y=\\frac{k}{x^2}>0$ как для $x>0$, так и для $x<0$. Следовательно, график лежит в $I$ и $II$ четвертях.","hints":["Заметьте, что при $x\\ne 0$ всегда $x^2>0$.","Если $k>0$, то дробь $\\frac{k}{x^2}$ положительна при любом $x\\ne 0$.","Положительные $y$ бывают в $1$-й и $2$-й четвертях."]},{"content":"Сравните значения функции $y=\\frac{k}{x^2}$ при $k>0$: что больше — $f(1)$ или $f(2)$? [[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$f(1)>f(2)$","$f(1)=f(2)$","$f(1) < f(2)$","Сравнить нельзя без конкретного значения $k$"],"explanations":["$f(1)=\\frac{k}{1^2}=k$, а $f(2)=\\frac{k}{2^2}=\\frac{k}{4}$, при $k>0$ выполняется $k>\\frac{k}{4}$.","Равенство было бы возможно только при $k=0$, но здесь $k>0$.","Неравенство в другую сторону неверно: деление на $4$ уменьшает положительное число.","При $k>0$ сокращение возможно: сравнение сводится к сравнению $\\frac{1}{1^2}$ и $\\frac{1}{2^2}$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"При $k>0$ имеем $f(1)=\\frac{k}{1}=k$ и $f(2)=\\frac{k}{4}$. Так как $k>0$, то $k>\\frac{k}{4}$. Значит, $f(1)>f(2)$.","hints":["Запишите $f(1)=\\frac{k}{1^2}$ и $f(2)=\\frac{k}{2^2}$.","Сравните $k$ и $\\frac{k}{4}$ при условии $k>0$.","Сделайте вывод, какое значение больше."]},{"content":"Решите уравнение $\\frac{18}{x^2}=2$. Найдите $x$. [[choice-147]]","widgets":{"choice-147":{"type":"choice","options":["$3$","$-3$","$2$","$-1$"],"answer":[0,1]}},"step":1,"hints":["Умножьте обе части уравнения на $x^2$: получится $18=2x^2$.","Разделите на $2$: $x^2=9$.","Из $x^2=9$ следует $x=3$ или $x=-3$."]}],"mix":1}</textarea></pre></div>