Целая и дробная часть числа

Мы привыкли, что функции в математике — это «гладкие» зависимости: линия или кривая, по которой можно вести пальцем, не отрываясь. Но что, если функция будет делать резкие «прыжки»? Сегодня мы познакомимся с двумя «дискретными» помощниками: целой частью и дробной частью числа. Эти функции превращают привычную числовую прямую в «лестницу» и бесконечный «забор».

Функция y = [x], или целая часть числа

Целой частью числа $x$ называется наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Обозначается она квадратными скобками: $[x]$. В программировании ее часто называют floor (с англ. — «пол»). Представьте, что число — это мячик, который всегда падает на твердый пол (целое число).

Свойства функции y = [x]

1. Область определения $D(f)$: $x \in (-\infty; +\infty)$ — любое число.
2. Множество значений $E(f)$: $y \in \mathbb{Z}$ — только целые числа.
3. Нули функции: $y = 0$ при $x \in [0; 1)$.
4. Промежутки знакопостоянства:
   • $y > 0$ при $x \in [1; +\infty)$;
   • $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
5. Промежутки возрастания и убывания: неубывающая на всей области определения (постоянна на интервалах $[n; n+1)$ и возрастает скачком в целых точках).

{"questions":[{"content":"Вычислите значение выражения: $[5{,}7]+[-1{,}3]$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3$","$4$","$5$","$6$"],"explanations":["$[5{,}7]=5$, так как это наибольшее целое, не превосходящее $5{,}7$. Для отрицательного числа $[-1{,}3]=-2$, потому что $-2\\le -1{,}3<-1$. Тогда $5+(-2)=3$.","$[5{,}7]=5$ и $[-1{,}3]=-2$, целая часть второго числа — не $-1$, так как $-1>-1,3$.","Чтобы получить $5$, нужно было бы иметь сумму $5+0$ или $6+(-1)$ и т. п., но здесь $[5{,}7]=5$, $[-1{,}3]=-2$, поэтому сумма не равна $5$.","Чтобы получить $6$, нужно было бы взять $[5{,}7]=6$ или $[-1{,}3]=1$, но $[5{,}7]=5$, а $[-1{,}3]=-2$."],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните: $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Поэтому $[5{,}7]=5$, а $[-1{,}3]=-2$, так как $-2\\le -1{,}3<-1$."]}],"mix":1}

Функция y = {x}, или дробная часть числа

Если целая часть $[x]$ — это «пол», то дробная часть $\{x\} = x — [x]$ — это расстояние от него. В то время как «целая» функция растет монументальными ступенями, «дробная» превращает график в бесконечную «пилу»: она ритмично взлетает от $0$ до $1$ и обнуляется в каждом целом числе.

Дробной частью числа $x$ называется разность между самим числом и его целой частью. Обозначается фигурными скобками: $\{x\}$.

Формула проста: $\{x\} = x — [x]$.

Если целая часть — это «пол», то дробная часть показывает, как высоко над этим «полом» «парит» наше число.

Свойства функции y = {x}

1. Область определения $D(f)$: $x \in (-\infty; +\infty)$ — функция определена для любого числа.
2. Множество значений $E(f)$: $y \in [0; 1)$ — дробная часть всегда больше или равна нулю, но строго меньше единицы.
3. Нули функции: $y = 0$ при всех целых $x$ ($x \in \mathbb{Z}$).
4. Промежутки знакопостоянства:
   • $y > 0$ при всех нецелых $x$ ($x \notin \mathbb{Z}$);
   • значений $y < 0$ не существует.
5. Промежутки возрастания и убывания: возрастает на каждом интервале вида $[n; n+1)$, где $n$ — целое число.

{"questions":[{"content":"Вычислите значение выражения: $\\{5{,}7\\}+\\{-1{,}3\\}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0,4$","$1,0$","$1,4$","$0,7$"],"explanations":["По определению $\\{x\\}=x-[x]$. Тогда $\\{5{,}7\\}=5{,}7-5=0{,}7$. Для $-1{,}3$ имеем $[-1{,}3]=-2$, значит $\\{-1{,}3\\}=-1{,}3-(-2)=0{,}7$, что уже больше $0,4$","Сумма дробных частей может быть равна $1{,}0$, но здесь обе дробные части равны $0{,}7$, поэтому получается $1{,}4$, а не $1{,}0$.","Сумма действительно равна $1{,}4$, так как $\\{5{,}7\\}=0{,}7$ и $\\{-1{,}3\\}=0{,}7$.","Дробная часть числа $5{,}7$ равна $0{,}7$, но в сумме есть еще $\\{-1{,}3\\}=0{,}7$, поэтому результат не может быть $0{,}7$."],"answer":[2]}},"hints":["Используйте определение дробной части: $\\{x\\}=x-[x]$. Для отрицательного числа сначала найдите $[x]$."]}]}

Практика

Давайте закрепим теорию на конкретных задачах. Здесь важна внимательность к знакам и определениям.

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

Вспоминаем график обычной «пилы» $y = \{x\}$. Ее зубья «смотрят» вверх от $0$ до $1$.

Знак «минус» перед всей функцией работает как зеркало относительно оси $Ox$.

Теперь наши «зубья» будут «смотреть» вниз. Они будут начинаться в нуле и заканчиваться в точке $-1$ (не включая ее).

Вид графика: Это та же «пила», но перевернутая под ось абсцисс.

Часто задаваемые вопросы