18. Фигуры на клетчатой бумаге: все задания

Проведём мысленно нижнее основание большого треугольника. Его длина равна $3$ клетки, а высота равна $6$ клеток.

Отрезок $AB$ параллелен этому основанию и расположен на расстоянии $2$ клетки от вершины треугольника.

По подобию треугольников:

$\frac{AB}{3}=\frac{2}{6}$
$AB=3\cdot\frac{2}{6}=1$

По рисунку видно, что диаметр большего круга равен $6$ клеткам, значит его радиус: $R=3$.

Диаметр меньшего круга равен $2$ клеткам, значит его радиус: $r=1$.

Площади кругов:

$S_1=\pi R^2=\pi\cdot3^2=9\pi$
$S_2=\pi r^2=\pi\cdot1^2=\pi$

Найдём отношение площадей:

$\frac{9\pi}{\pi}=9$

У меньшего круга радиус равен $2$ клетки, поэтому его площадь:

$S_1=\pi\cdot2^2=4\pi$

У большего круга радиус находится по клеткам как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $1$ и $2$:

$r^2=1^2+2^2=5$

Тогда площадь большего круга:

$S_2=5\pi$

Найдём отношение площадей:

$\frac{S_2}{S_1}=\frac{5\pi}{4\pi}=\frac54=1{,}25$

По рисунку видно, что диаметр большего круга равен $6$ клеткам, значит его радиус: $R=3$.

Диаметр меньшего круга равен $3$ клетки, значит его радиус: $r=1{,}5$.

Площади кругов:

$S_1=\pi R^2=\pi\cdot3^2=9\pi$
$S_2=\pi r^2=\pi\cdot1{,}5^2=2{,}25\pi$

Найдём отношение площадей:

$\frac{9\pi}{2{,}25\pi}=4$

Точка $A$ лежит на верхней наклонной стороне и на вертикальной линии сетки.

По клеткам видно, что от точки $A$ до точки $B$ по вертикали расстояние составляет $2{,}5$ клетки.

Так как размер клетки $1\times1$, длина отрезка равна: $AB=2{,}5$

По рисунку видно, что справа расстояние между верхней и нижней сторонами фигуры равно $6$ клеткам.

От левой вершины до правой вертикали — $4$ клетки, а от левой вершины до отрезка $AB$ — $1$ клетка.

Так как стороны прямые, длины вертикальных сечений пропорциональны расстоянию от левой вершины:

$\frac{AB}{6}=\frac{1}{4}$
$AB=6\cdot\frac{1}{4}=1{,}5$

Отрезок $AB$ параллелен нижнему основанию большого треугольника.

Нижнее основание равно $5$ клеткам, высота большого треугольника равна $6$ клеткам. Расстояние от вершины до отрезка $AB$ равно $3$ клетки.

По подобию треугольников:

$\frac{AB}{5}=\frac{3}{6}$
$AB=5\cdot\frac{3}{6}=2{,}5$

По рисунку видно, что от нижней точки до верхней нужно пройти:

$6$ клеток вправо и $8$ клеток вверх.

Получаем прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $8$.

По теореме Пифагора:

$d=\sqrt{6^2+8^2}$
$d=\sqrt{36+64}$
$d=\sqrt{100}=10$

По рисунку видно, что точки $A$ и $B$ лежат на одной вертикальной линии сетки.

Точка $A$ находится посередине между двумя соседними горизонтальными линиями сетки, а точка $B$ — на горизонтальной линии сетки.

Расстояние между ними равно:

$AB=1{,}5$

Отрезок $AB$ параллелен нижнему основанию большого треугольника.

По рисунку нижнее основание равно $6$ клеткам, а высота большого треугольника равна $6$ клеткам.

Отрезок $AB$ параллелен основанию большого треугольника, поэтому маленький треугольник у вершины подобен большому треугольнику.

По клеткам видно, что высота маленького треугольника относится к высоте большого как: $1:2$. Значит, и основания относятся так же: $AB:6=1:2$

Тогда: $AB=\frac{6}{2}=3$

Отрезок $AB$ параллелен правой вертикальной стороне большого треугольника.

По клеткам видно, что расстояние от левой вершины до отрезка $AB$ равно $5$ клеткам, а до правой вертикальной стороны — $6$ клеткам.

Значит, маленький треугольник подобен большому с коэффициентом:

$\frac{5}{6}$

Правая вертикальная сторона большого треугольника равна $6$ клеткам, поэтому:

$AB=6\cdot\frac{5}{6}=5$

Точки $A$, $M$ и $C$ лежат на одной прямой.

По клеткам видно, что отрезок $AM$ состоит из $4$ одинаковых частей, а отрезок $CM$ — из $1$ такой части.

Значит: $\frac{AM}{CM}=4$

По рисунку видно, что диаметр большего круга равен $6$ клеткам, значит его радиус: $R=3$

Диаметр меньшего круга равен $3$ клеткам, значит его радиус: $r=1{,}5$

Площади кругов:

$S_1=\pi R^2=\pi\cdot3^2=9\pi$
$S_2=\pi r^2=\pi\cdot1{,}5^2=2{,}25\pi$

Найдём отношение площадей:

$\frac{9\pi}{2{,}25\pi}=4$

По рисунку видно, что диаметр большего круга равен $6$ клеткам, значит его радиус: $R=3$

Диаметр меньшего круга равен $4$ клеткам, значит его радиус: $r=2$

Площади кругов:

$S_1=\pi R^2=\pi\cdot3^2=9\pi$
$S_2=\pi r^2=\pi\cdot2^2=4\pi$

Найдём отношение площадей:

$\frac{9\pi}{4\pi}=\frac94=2{,}25$

По рисунку видно, что диаметр большего круга равен $3$ клетки, значит его радиус: $R=1{,}5$

Диаметр меньшего круга равен $2$ клетки, значит его радиус: $r=1$

Площади кругов:

$S_1=\pi R^2=\pi\cdot1{,}5^2=2{,}25\pi$
$S_2=\pi r^2=\pi\cdot1^2=\pi$

Найдём отношение площадей:

$\frac{2{,}25\pi}{\pi}=2{,}25$

По рисунку видно, что от нижней точки до верхней нужно пройти:

$3$ клетки вправо и $4$ клетки вверх.

Получаем прямоугольный треугольник с катетами $3$ и $4$.

По теореме Пифагора:

$d=\sqrt{3^2+4^2}$
$d=\sqrt{9+16}$
$d=\sqrt{25}=5$

Отрезок $AB$ параллелен верхнему основанию большого треугольника, поэтому маленький треугольник у нижней вершины подобен большому треугольнику.

По клеткам видно, что высота маленького треугольника относится к высоте большого как: $1:2$

Значит, и основания относятся так же: $AB:4=1:2$

Тогда: $AB=\frac{4}{2}=2$

Отрезок $AB$ параллелен верхнему основанию большого треугольника, поэтому маленький треугольник у нижней вершины подобен большому треугольнику.

По клеткам видно, что высота маленького треугольника относится к высоте большого как: $1:2$. Значит, и основания относятся так же.

Верхнее основание большого треугольника равно $6$ клеткам, поэтому: $AB:6=1:2$

$AB=\frac{6}{2}=3$

Отрезок $AB$ параллелен левой вертикальной стороне большого треугольника.

Левая вертикальная сторона большого треугольника равна $6$ клеткам.

По клеткам видно, что расстояние от вершины справа до отрезка $AB$ равно $4$ клетки, а до левой вертикальной стороны — $6$ клеток.

Значит, треугольники подобны с коэффициентом: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Тогда: $AB=6\cdot\frac{2}{3}=4$