Задание 8. Действия со степенями

{"questions":[{"content":"Определим порядок действий:[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выполним возведение в степень в числителе","Разделим числитель на знаменатель"]}}}]}

{"questions":[{"content":"В числителе применим правило возведения степени в степень:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["${9}^{-12}$","${9}^{-1}$","${9}^{1}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["При возведении $\\textcolor{blue}{степени}$ в $\\textcolor{lightblue}{степень}$, показатели перемножаются","$${({9}^{\\textcolor{blue}{3}})}^{\\textcolor{lightblue}{-4}}={9}^{\\textcolor{blue}{3}\\cdot(\\textcolor{lightblue}{-4})}={9}^{\\textcolor{blue}{-12}}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Разделим числитель на знаменатель $\\frac{{9^{-12}}}{{9}^{-14}}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$81$","$9$","$63$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Запишем деление в более понятной нам форме: ${9}^{-12}:{9}^{-14}$","При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем","$${\\textcolor{orange}{9}}^{\\textcolor{blue}{-12-(-14)}}={\\textcolor{orange}{9}}^{\\textcolor{blue}{2}}=81$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Представим $64$ и $16$ в виде степеней с одинаковыми основаниями:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{{(2^6)}^{2}}{{(2^4)}^{3}}$","$\\frac{{(8^2)}^{2}}{{(4^2)}^{3}}$","$\\frac{{(4^3)}^{2}}{{2\\cdot8}^{3}}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Заметим, что $64$ и $16$ являются степенью числа $2$.","Заменим в выражении $64$ и $16$ на $2^6$ и $2^4$."]}]}

{"questions":[{"content":"В полученном выражении $\\frac{{(2^6)}^{2}}{{(2^4)}^{3}}$ выполним действия в числителе и знаменателе:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{2^{12}}{2^{12}}$","$\\frac{2^{8}}{2^{7}}$","$\\frac{2^{6}}{2^{3}}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["При возведении $\\textcolor{blue}{степени}$ в $\\textcolor{lightblue}{степень}$, показатели перемножаются","$$\\frac{{2}^{\\textcolor{blue}{6}\\cdot\\textcolor{lightblue}{2}}}{{2}^{\\textcolor{blue}{4}\\cdot\\textcolor{lightblue}{3}}}=\\frac{2^{\\textcolor{blue}{12}}}{2^{\\textcolor{blue}{12}}}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Разделим числитель на знаменатель:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1$","$12$","$2$"],"answer":[0]}},"hints":["Одинаковые числитель и знаменатель сократятся, останется: $\\frac{1}{1}=1$"]}]}

{"questions":[{"content":"Определим порядок действий:[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выполним возведение степени в степень","Выполним умножение"]}}}]}

{"questions":[{"content":"Возведем $3^5$ во $2$ степень:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3^{10}$","$3^{7}$","$3^{3}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["При возведении $\\textcolor{blue}{степени}$ в $\\textcolor{lightblue}{степень}$, показатели перемножаются","$${({3}^{\\textcolor{blue}{5}})}^{ \\textcolor{lightblue}{2}}={3}^{\\textcolor{blue}{5}\\cdot\\textcolor{lightblue}{2}}={3}^{\\textcolor{blue}{10}}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Выполним умножение ${3}^{-7}\\cdot{3}^{10}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$27$","$9$","$10$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["При произведении степеней с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ складываем:","$${\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{-7}}\\cdot{\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{10}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{-7+10}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{3}}=3\\cdot3\\cdot3=27$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Заметим, что $6$ и $11$ являются составными множителями числа $66$.<br />Разложим ${66}^{10}$ на множители:<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["${6}^{10}\\cdot{11}^{10}$","${6}^{5}\\cdot{11}^{5}$","${33}^{11}\\cdot{2}^{6}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["При произведении чисел с разными $\\textcolor{orange}{основаниями}$ и одинаковыми $\\textcolor{blue}{степенями}$, $\\textcolor{orange}{основания}$ перемножаем, а $\\textcolor{blue}{степени}$ переписываем. Это правило работает и в обратную сторону: любое число можно представить в виде произведения двух других чисел с теми же $\\textcolor{blue}{степенями}$","$${\\textcolor{orange}{66}}^{\\textcolor{blue}{10}}={\\textcolor{orange}{6}}^{\\textcolor{blue}{10}}\\cdot{\\textcolor{orange}{11}}^{\\textcolor{blue}{10}}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Сократим полученную дробь $\\frac{{6}^{12}\\cdot{11}^{10}}{{6}^{10}\\cdot{11}^{10}}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$36$","$6$","$66$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В числителе и знаменателе есть одинаковые множители ${11}^{10}$, они взаимоуничтожаются","Полученную дробь $\\frac{{6}^{12}}{{6}^{10}}$ запишем в строчку: ${6}^{12}:{6}^{10}$","При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем","$${\\textcolor{orange}{6}}^{\\textcolor{blue}{12-10}}={\\textcolor{orange}{6}}^{\\textcolor{blue}{2}}=36$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Определим порядок действий:[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выполним возведение скобок в степень","Выполним деление"]}}}]}

{"questions":[{"content":"При возведении скобок в степень получим:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2^7\\cdot6^7$","$2\\cdot6^7$","$2^7\\cdot6$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Так как в скобках произведение, каждый множитель возводим в $\\textcolor{blue}{степень}$ по отдельности","$${(2\\cdot6)}^{\\textcolor{blue}{7}}=2^{\\textcolor{blue}{7}}\\cdot6^{\\textcolor{blue}{7}}$$<br />"]}]}

{"questions":[{"content":"Сократим полученную дробь $\\frac{{2}^{7}\\cdot{6}^{7}}{{2}^{5}\\cdot{6}^{6}}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["${2}^{2}\\cdot{6}^{1}$","${2}^{6}\\cdot{6}^{2}$","${2}^{12}\\cdot{6}^{13}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В числителе и знаменателе есть множители с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, их можно поделить. При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем","$$\\frac{{\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{7}}}{{\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{5}}}={\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{7-5}}={\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{2}}$$","$$\\frac{{\\textcolor{orange}{6}}^{\\textcolor{blue}{7}}}{{\\textcolor{orange}{6}}^{\\textcolor{blue}{6}}}={\\textcolor{orange}{6}}^{\\textcolor{blue}{7-6}}={\\textcolor{orange}{6}}^{\\textcolor{blue}{1}}$$","Получим: ${2}^{2}\\cdot{6}^{1}$"]}]}

{"questions":[{"content":"Выполним оставшиеся действия ${2}^{2}\\cdot{6}^{1}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$24$","$6$","$3$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Степень показывает, сколько раз число нужно умножить на себя:$$2^2=2\\cdot2=4$$","Число в первой степени равно самому себе: $$6^1=6$$","Получим: $$4\\cdot6=24$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Заметим, что $2$ и $5$ являются составными множителями числа $10$.<br />Разложим ${10}^{9}$ на множители:<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["${2}^{9}\\cdot{5}^{9}$","${2}^{4}\\cdot{5}^{5}$","${9}^{2}\\cdot{9}^{5}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["При произведении чисел с разными $\\textcolor{orange}{основаниями}$ и одинаковыми $\\textcolor{blue}{степенями}$, $\\textcolor{orange}{основания}$ перемножаем, а $\\textcolor{blue}{степени}$ переписываем. Это правило работает и в обратную сторону: любое число можно представить в виде произведения двух других чисел с теми же $\\textcolor{blue}{степенями}$","$${\\textcolor{orange}{10}}^{\\textcolor{blue}{9}}={\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{9}}\\cdot{\\textcolor{orange}{5}}^{\\textcolor{blue}{9}}$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Сократим полученную дробь $\\frac{{2}^{9}\\cdot{5}^{9}}{{2}^{6}\\cdot{5}^{8}}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["${2}^{3}\\cdot{5}^{1}$","${2}^{15}\\cdot{5}^{17}$","${9}^{2}\\cdot{6}^{5}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В числителе и знаменателе есть множители с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, их можно поделить. При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем","$$\\frac{{\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{9}}}{{\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{6}}}={\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{9-6}}={\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{3}}$$","$$\\frac{{\\textcolor{orange}{5}}^{\\textcolor{blue}{9}}}{{\\textcolor{orange}{5}}^{\\textcolor{blue}{8}}}={\\textcolor{orange}{5}}^{\\textcolor{blue}{9-8}}={\\textcolor{orange}{5}}^{\\textcolor{blue}{1}}$$","Получим: ${2}^{3}\\cdot{5}^{1}$"]}]}

{"questions":[{"content":"Выполним оставшиеся действия ${2}^{3}\\cdot{5}^{1}$:[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$40$","$8$","$5$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$\\textcolor{blue}{Степень}$ показывает, сколько раз число нужно умножить на себя:$${2}^{\\textcolor{blue}{3}}=2\\cdot2\\cdot2=8$$<br />","Число в первой $\\textcolor{blue}{степени}$ равно самому себе:$$5^{\\textcolor{blue}{1}}=5$$<br />","Получим:$$8\\cdot5=40$$"]}]}