{"questions":[{"content":"$$\\frac{{2}^{-3}\\cdot{2}^{19}}{{2}^{13}}$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$8$","$25$","$31$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В числителе применим правило произведения степеней с одинаковыми основаниями.<br />При произведении степеней с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ складываем:$${ \\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{-3}}\\cdot{\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{19}}={\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{-3+19}}={\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{16}}$$<br />","Разделим числитель на знаменатель. Запишем деление в более понятной нам форме: ${2}^{16}:{2}^{13}$<br />При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$${ \\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{16-13}}={\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{3}}=8$$<br />"]},{"content":"$$\\frac{{({2}^{4})}^{-6}}{{2}^{-27}}$$[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["$8$","$24$","$64$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В числителе применим правило возведения степени в степень. При возведении $\\textcolor{blue}{степени}$ в $\\textcolor{lightblue}{степень}$, показатели перемножаются:$${({2}^{\\textcolor{blue}{4}})}^{\\textcolor{lightblue}{-6}}={2}^{\\textcolor{blue}{4}\\cdot(\\textcolor{lightblue}{-6})}={2}^{\\textcolor{blue}{-24}}$$","Разделим числитель на знаменатель. Запишем деление в более понятной нам форме: ${2}^{-24}:{2}^{-27}$ При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$${2}^{\\textcolor{blue}{-24-(-27)}}={2}^{\\textcolor{blue}{3}}=8$$"]},{"content":"$$\\frac{{27}^{3}}{{9}^{4}}$$[[choice-48]]","widgets":{"choice-48":{"type":"choice","options":["$3$","$8$","$9$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Заметим, что $27$ и $9$ являются степенью числа $3$.<br />Заменим в выражении $27$ и $9$ на $3^3$ и $3^2$","В полученном выражении $\\frac{{(3^3)}^{3}}{{(3^2)}^{4}}$ выполним действия в числителе и знаменателе. При возведении $\\textcolor{blue}{степени}$ в $\\textcolor{lightblue}{степень}$, показатели перемножаются:$$\\frac{{3}^{\\textcolor{blue}{3}\\cdot\\textcolor{LIGHTblue}{3}}}{{3}^{\\textcolor{blue}{2}\\cdot\\textcolor{lightblue}{4}}}=\\frac{3^{\\textcolor{blue}{9}}}{3^{\\textcolor{blue}{8}}}$$<br />","Разделим числитель на знаменатель. Запишем деление в более понятной нам форме: ${3}^{9}:{3}^{8}$ При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$${3}^{\\textcolor{blue}{9-8}}={3}^{\\textcolor{blue}{1}}=3$$Число в первой степени равно самому себе"]},{"content":"$${7}^{-6}\\cdot{({7}^{2})}^{4}$$[[choice-112]]","widgets":{"choice-112":{"type":"choice","options":["$49$","$36$","$56$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Возведем $7^2$ в $4$ степень. При возведении $\\textcolor{blue}{степени}$ в $\\textcolor{lightblue}{степень}$, показатели перемножаются:$${({7}^{\\textcolor{blue}{2}})}^{ \\textcolor{lightblue}{4}}={7}^{\\textcolor{blue}{2}\\cdot\\textcolor{lightblue}{4}}={7}^{\\textcolor{blue}{8}}$$","Выполним умножение ${7}^{-6}\\cdot{7}^{8}$. При произведении степеней с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ складываем:$${\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{-6}}\\cdot{\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{8}}={\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{-6+8}}={\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{2}}=7\\cdot7=49$$"]},{"content":"$$\\frac{{3}^{8}\\cdot{10}^{5}}{{30}^{5}}$$[[choice-166]]","widgets":{"choice-166":{"type":"choice","options":["$27$","$36$","$9$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Заметим, что $3$ и $10$ являются составными множителями числа $30$.<br />Разложим ${30}^{5}$ на множители. <br />При произведении чисел с разными $\\textcolor{orange}{основаниями}$ и одинаковыми $\\textcolor{blue}{степенями}$, $\\textcolor{orange}{основания}$ перемножаем, а $\\textcolor{blue}{степени}$ переписываем. Это правило работает и в обратную сторону: любое число можно представить в виде произведения двух других чисел с теми же $\\textcolor{blue}{степенями}$:$${\\textcolor{orange}{30}}^{\\textcolor{blue}{5}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{5}}\\cdot{\\textcolor{orange}{10}}^{\\textcolor{blue}{5}}$$<br />","Сократим полученную дробь $\\frac{{3}^{8}\\cdot{10}^{5}}{{3}^{5}\\cdot{10}^{5}}$:<br />В числителе и знаменателе есть одинаковые множители ${10}^{5}$, они взаимоуничтожаются.<br />Полученную дробь $\\frac{{3}^{8}}{{3}^{5}}$ запишем в строчку: ${3}^{8}:{3}^{5}$<br />При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$${\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{8-5}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{3}}=27$$"]},{"content":"$$\\frac{{(3\\cdot8)}^{7}}{{3}^{7}\\cdot{8}^{5}}$$[[choice-309]]","widgets":{"choice-309":{"type":"choice","options":["$64$","$49$","$81$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Возведем произведение в скобках в степень. Так как в скобках произведение, каждый множитель возводим в $\\textcolor{blue}{степень}$ по отдельности:$${(3\\cdot8)}^{\\textcolor{blue}{7}}=3^{\\textcolor{blue}{7}}\\cdot8^{\\textcolor{blue}{7}}$$","Сократим полученную дробь $\\frac{\\textcolor{green}{{3}^{7}}\\cdot{8}^{7}}{\\textcolor{green}{{3}^{7}}\\cdot{8}^{5}}$ на $\\textcolor{green}{3^7}$.<br />Получим: $\\frac{8^7}{8^5}$ <br />","При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$$\\frac{{\\textcolor{orange}{8}}^{\\textcolor{blue}{7}}}{{\\textcolor{orange}{8}}^{\\textcolor{blue}{5}}}={\\textcolor{orange}{8}}^{\\textcolor{blue}{7-5}}={\\textcolor{orange}{8}}^{\\textcolor{blue}{2}}$$<br />","Выполним оставшиеся действия. $\\textcolor{blue}{Степень}$ показывает, сколько раз число нужно умножить на себя:$${8}^{\\textcolor{blue}{2}}=8\\cdot8=64$$"]},{"content":"$$\\frac{{21}^{4}}{{3}^{2}\\cdot{7}^{3}}$$[[choice-397]]","widgets":{"choice-397":{"type":"choice","options":["$63$","$49$","$12$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Заметим, что $3$ и $7$ являются составными множителями числа $21$.<br />Разложим ${21}^{4}$ на множители. При произведении чисел с разными $\\textcolor{orange}{основаниями}$ и одинаковыми $\\textcolor{blue}{степенями}$, $\\textcolor{orange}{основания}$ перемножаем, а $\\textcolor{blue}{степени}$ переписываем. Это правило работает и в обратную сторону: любое число можно представить в виде произведения двух других чисел с теми же $\\textcolor{blue}{степенями}$:$${\\textcolor{orange}{21}}^{\\textcolor{blue}{4}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{4}}\\cdot{\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{4}}$$<br />","Сократим полученную дробь $\\frac{{3}^{4}\\cdot{7}^{4}}{{3}^{2}\\cdot{7}^{3}}$. В числителе и знаменателе есть множители с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, их можно поделить. При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$$\\frac{{\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{4}}}{{\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{2}}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{4-2}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{2}}$$$$\\frac{{\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{4}}}{{\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{3}}}={\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{4-3}}={\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{1}}$$<br />","В выражении $3^2\\cdot7^1$ выполним оставшиеся действия. $\\textcolor{blue}{Степень}$ показывает, сколько раз число нужно умножить на себя:$${3}^{\\textcolor{blue}{2}}=3\\cdot3=9$$Число в первой $\\textcolor{blue}{степени}$ равно самому себе:$$7^{\\textcolor{blue}{1}}=7$$$$9\\cdot7=63$$<br />"]}]}