0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Отлично!

Добытые сапфиры0 Очки опыта, полученные за тест0
Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

Сообщить об ошибке

Сообщить об ошибке в вопросе

Описание проблемы:

Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Готов к практике?

Задание 8. Действия со степенями. Практика

{"questions":[{"content":"$$\\frac{{2}^{-3}\\cdot{2}^{19}}{{2}^{13}}$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$8$","$25$","$31$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В числителе применим правило произведения степеней с одинаковыми основаниями.<br />При произведении степеней с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ складываем:$${ \\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{-3}}\\cdot{\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{19}}={\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{-3+19}}={\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{16}}$$<br />","Разделим числитель на знаменатель. Запишем деление в более понятной нам форме: ${2}^{16}:{2}^{13}$<br />При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$${ \\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{16-13}}={\\textcolor{orange}{2}}^{\\textcolor{blue}{3}}=8$$<br />"]},{"content":"$$\\frac{{({2}^{4})}^{-6}}{{2}^{-27}}$$[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["$8$","$24$","$64$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В числителе применим правило возведения степени в степень. При возведении $\\textcolor{blue}{степени}$ в $\\textcolor{lightblue}{степень}$, показатели перемножаются:$${({2}^{\\textcolor{blue}{4}})}^{\\textcolor{lightblue}{-6}}={2}^{\\textcolor{blue}{4}\\cdot(\\textcolor{lightblue}{-6})}={2}^{\\textcolor{blue}{-24}}$$","Разделим числитель на знаменатель.  Запишем деление в более понятной нам форме: ${2}^{-24}:{2}^{-27}$ При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$${2}^{\\textcolor{blue}{-24-(-27)}}={2}^{\\textcolor{blue}{3}}=8$$"]},{"content":"$$\\frac{{27}^{3}}{{9}^{4}}$$[[choice-48]]","widgets":{"choice-48":{"type":"choice","options":["$3$","$8$","$9$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Заметим, что $27$ и $9$ являются степенью числа $3$.<br />Заменим в выражении $27$ и $9$ на $3^3$ и $3^2$","В полученном выражении $\\frac{{(3^3)}^{3}}{{(3^2)}^{4}}$ выполним действия в числителе и знаменателе. При возведении $\\textcolor{blue}{степени}$ в $\\textcolor{lightblue}{степень}$, показатели перемножаются:$$\\frac{{3}^{\\textcolor{blue}{3}\\cdot\\textcolor{LIGHTblue}{3}}}{{3}^{\\textcolor{blue}{2}\\cdot\\textcolor{lightblue}{4}}}=\\frac{3^{\\textcolor{blue}{9}}}{3^{\\textcolor{blue}{8}}}$$<br />","Разделим числитель на знаменатель. Запишем деление в более понятной нам форме: ${3}^{9}:{3}^{8}$ При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$${3}^{\\textcolor{blue}{9-8}}={3}^{\\textcolor{blue}{1}}=3$$Число в первой степени равно самому себе"]},{"content":"$${7}^{-6}\\cdot{({7}^{2})}^{4}$$[[choice-112]]","widgets":{"choice-112":{"type":"choice","options":["$49$","$36$","$56$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Возведем $7^2$ в $4$ степень. При возведении $\\textcolor{blue}{степени}$ в $\\textcolor{lightblue}{степень}$, показатели перемножаются:$${({7}^{\\textcolor{blue}{2}})}^{ \\textcolor{lightblue}{4}}={7}^{\\textcolor{blue}{2}\\cdot\\textcolor{lightblue}{4}}={7}^{\\textcolor{blue}{8}}$$","Выполним умножение ${7}^{-6}\\cdot{7}^{8}$. При произведении степеней с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ складываем:$${\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{-6}}\\cdot{\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{8}}={\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{-6+8}}={\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{2}}=7\\cdot7=49$$"]},{"content":"$$\\frac{{3}^{8}\\cdot{10}^{5}}{{30}^{5}}$$[[choice-166]]","widgets":{"choice-166":{"type":"choice","options":["$27$","$36$","$9$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Заметим, что $3$ и $10$ являются составными множителями числа $30$.<br />Разложим ${30}^{5}$ на множители. <br />При произведении чисел с разными $\\textcolor{orange}{основаниями}$ и одинаковыми $\\textcolor{blue}{степенями}$, $\\textcolor{orange}{основания}$ перемножаем, а $\\textcolor{blue}{степени}$ переписываем. Это правило работает и в обратную сторону: любое число можно представить в виде произведения двух других чисел с теми же $\\textcolor{blue}{степенями}$:$${\\textcolor{orange}{30}}^{\\textcolor{blue}{5}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{5}}\\cdot{\\textcolor{orange}{10}}^{\\textcolor{blue}{5}}$$<br />","Сократим полученную дробь $\\frac{{3}^{8}\\cdot{10}^{5}}{{3}^{5}\\cdot{10}^{5}}$:<br />В числителе и знаменателе есть одинаковые множители ${10}^{5}$, они взаимоуничтожаются.<br />Полученную дробь $\\frac{{3}^{8}}{{3}^{5}}$ запишем в строчку: ${3}^{8}:{3}^{5}$<br />При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$${\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{8-5}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{3}}=27$$"]},{"content":"$$\\frac{{(3\\cdot8)}^{7}}{{3}^{7}\\cdot{8}^{5}}$$[[choice-309]]","widgets":{"choice-309":{"type":"choice","options":["$64$","$49$","$81$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Возведем произведение в скобках в степень. Так как в скобках произведение, каждый множитель возводим в $\\textcolor{blue}{степень}$ по отдельности:$${(3\\cdot8)}^{\\textcolor{blue}{7}}=3^{\\textcolor{blue}{7}}\\cdot8^{\\textcolor{blue}{7}}$$","Сократим полученную дробь $\\frac{\\textcolor{green}{{3}^{7}}\\cdot{8}^{7}}{\\textcolor{green}{{3}^{7}}\\cdot{8}^{5}}$ на $\\textcolor{green}{3^7}$.<br />Получим: $\\frac{8^7}{8^5}$ <br />","При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$$\\frac{{\\textcolor{orange}{8}}^{\\textcolor{blue}{7}}}{{\\textcolor{orange}{8}}^{\\textcolor{blue}{5}}}={\\textcolor{orange}{8}}^{\\textcolor{blue}{7-5}}={\\textcolor{orange}{8}}^{\\textcolor{blue}{2}}$$<br />","Выполним оставшиеся действия. $\\textcolor{blue}{Степень}$ показывает, сколько раз число нужно умножить на себя:$${8}^{\\textcolor{blue}{2}}=8\\cdot8=64$$"]},{"content":"$$\\frac{{21}^{4}}{{3}^{2}\\cdot{7}^{3}}$$[[choice-397]]","widgets":{"choice-397":{"type":"choice","options":["$63$","$49$","$12$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Заметим, что $3$ и $7$ являются составными множителями числа $21$.<br />Разложим ${21}^{4}$ на множители. При произведении чисел с разными $\\textcolor{orange}{основаниями}$ и одинаковыми $\\textcolor{blue}{степенями}$, $\\textcolor{orange}{основания}$ перемножаем, а $\\textcolor{blue}{степени}$ переписываем. Это правило работает и в обратную сторону: любое число можно представить в виде произведения двух других чисел с теми же $\\textcolor{blue}{степенями}$:$${\\textcolor{orange}{21}}^{\\textcolor{blue}{4}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{4}}\\cdot{\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{4}}$$<br />","Сократим полученную дробь $\\frac{{3}^{4}\\cdot{7}^{4}}{{3}^{2}\\cdot{7}^{3}}$. В числителе и знаменателе есть множители с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, их можно поделить. При делении чисел с одинаковыми $\\textcolor{orange}{основаниями}$, $\\textcolor{orange}{основание}$ переписываем, а $\\textcolor{blue}{показатели}$ вычитаем:$$\\frac{{\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{4}}}{{\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{2}}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{4-2}}={\\textcolor{orange}{3}}^{\\textcolor{blue}{2}}$$$$\\frac{{\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{4}}}{{\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{3}}}={\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{4-3}}={\\textcolor{orange}{7}}^{\\textcolor{blue}{1}}$$<br />","В выражении $3^2\\cdot7^1$ выполним оставшиеся действия. $\\textcolor{blue}{Степень}$ показывает, сколько раз число нужно умножить на себя:$${3}^{\\textcolor{blue}{2}}=3\\cdot3=9$$Число в первой $\\textcolor{blue}{степени}$ равно самому себе:$$7^{\\textcolor{blue}{1}}=7$$$$9\\cdot7=63$$<br />"]}]}