6 класс Математика Рациональные числа Умножение и деление рациональных чисел

Законы и порядок действий с рациональными числами

Содержание

Вы уже умеете выполнять все четыре действия с рациональными числами — последним было деление рациональных чисел. Теперь соберем их в одно выражение: проверим, что законы действий работают и для отрицательных чисел, повторим порядок действий, научимся раскрывать скобки без потери знака и проверять ответ прикидкой по шкале.

Вопрос, к которому мы вернемся в конце: утром термометр показывал −3 °C, а потом 4 часа подряд теплело на 2 градуса в час. Какой стала температура и как записать это одним выражением?

Законы сложения и умножения не зависят от знаков

Проверим на числах $-3$ и $5$. Сумма $-3+5=2$ и сумма $5+(-3)=2$ совпадают. Произведения тоже: $(-3)\cdot 5=-15$ и $5\cdot(-3)=-15$. На шкале это видно так: шаг вниз на $3$ и шаг вверх на $5$ приводят в одну и ту же точку, в каком бы порядке их ни выполнять.

Теперь три слагаемых: $-3+8+(-5)$. Слева направо: $-3+8=5$, затем $5+(-5)=0$. А можно сначала сложить два отрицательных: $-3+(-5)=-8$, затем $-8+8=0$. Пути по шкале разные, а конечная точка одна.

Порядок слагаемых меняет путь, но не сумму: −3 + 8 + (−5) = −3 + (−5) + 8 = 0 — Шаги −3, +8, −5 в любом порядке приводят в одну точку: сумма равна 0

Закон

Для любых рациональных чисел $a$, $b$, $c$ верны переместительный и сочетательный законы сложения и умножения:

Слагаемые переставляют вместе со своими знаками. Для вычитания и деления эти законы не выполняются: $2-7=-5$, а $7-2=5$.

Пример 1

Вычислите удобным способом: а) $-27+46+(-13)$; б) $(-25)\cdot 7\cdot(-4)$.

а) Сгруппируем отрицательные слагаемые: $-27+(-13)=-40$ — круглое число. Затем $-40+46=6$.

б) Переставим множители: $(-25)\cdot(-4)=100$, затем $100\cdot 7=700$. Знак виден сразу: два отрицательных множителя дают плюс.

Ответ: а) $6$; б) $700$.

{"questions":[{"content":"Какое равенство верно по переместительному закону?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-7+12=12+(-7)$","$-7+12=-12+7$","$-7:12=12:(-7)$","$-7-12=12-(-7)$"],"explanations":["","Знаки слагаемых изменены: $5$ и $-5$ — разные числа","Деление не переместительно: частные разные","Вычитание не переместительно: $-19$ и $19$ — разные числа"],"answer":[0]}},"hints":["Переместительный закон: $a+b=b+a$ — от перестановки слагаемых сумма не меняется, знаки у чисел остаются прежними.","Закон верен только для сложения и умножения, но не для вычитания и деления.","Ответ: $-7+12=12+(-7)$."],"step":1},{"content":"Вычислите удобным способом: $-37+48+(-13)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Слагаемые можно переставлять и группировать: сначала сложим пару, дающую круглое число.","$-37+(-13)=-50$.","$-50+48=-2$. Ответ: $-2$."],"step":1}],"mix":1}

Порядок действий тот же, что с натуральными числами

В выражении $-6+5\cdot 3$ два действия. Если считать слева направо, получится $(-6+5)\cdot 3=-3$. Если сначала умножить, получится $-6+15=9$. Ответ должен быть один, поэтому в математике договорились о порядке действий. Он вам знаком с 5 класса и не меняется от того, что числа стали отрицательными.

Ступени порядка действий и ошибка на −6 + 5 · 3 — Порядок действий — три ступени: сначала скобки, затем умножение и деление, последними — сложение и вычитание

Правило

Порядок действий в выражении:

действия в скобках;
умножение и деление — по порядку слева направо;
сложение и вычитание — по порядку слева направо.

Знак числа на порядок не влияет. Например, $24:(-6)\cdot 2=-4\cdot 2=-8$: деление стоит левее, поэтому выполняется раньше умножения.

Ошибка

Как ошибаются. Считают по порядку записи: $-6+5\cdot 3=-1\cdot 3=-3$. Кажется, что отрицательное число в начале «надо сначала с чем-то сложить».

Проверка на числах. Выражение $5\cdot 3$ — это $5+5+5$. Подставим: $-6+5+5+5=9$, а не $-3$. Значит, ответ $-3$ неверен.

Где ломается рассуждение. Сложение выполнено раньше умножения — нарушена вторая ступень порядка. Знак числа $-6$ ничего не меняет: умножение все равно идет первым.

Пример 2

Найдите значение выражения $(-7+3)\cdot(-5)-12:(-4)$.

Шаг 1. Скобки. $-7+3=-4$.

Шаг 2. Умножение и деление слева направо. $(-4)\cdot(-5)=20$; $12:(-4)=-3$.

Шаг 3. Вычитание. $20-(-3)=20+3=23$.

Ответ: $23$.

В интерактиве ниже в трех выражениях вы выбираете из списка действие, которое выполняется первым, а в последнем предсказываете значение. После выбора показан разбор: если взять сложение раньше умножения, он объяснит, какая ступень нарушена.

m6-zakony-i-poryadok-dejstvij-poryadok

{"questions":[{"content":"Иксератопс записал: $-5+3\\cdot 4=-8$ — «считаем слева направо». Какое значение верное и в каком порядке его получают?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-60$: сначала $-5\\cdot 3=-15$, затем $(-15)\\cdot 4$","$7$: сначала $3\\cdot 4=12$, затем $-5+12$","$-8$: сначала $-5+3=-2$, затем $(-2)\\cdot 4$","$-17$: сначала $3\\cdot 4=12$, затем $-5-12$"],"explanations":["Между $-5$ и $3$ стоит знак сложения, а не умножения","","Сложение выполнено раньше умножения, а умножение выполняют первым","Произведение $12$ нужно прибавить, а его вычли"],"answer":[1]}},"hints":["Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.","$3\\cdot 4=12$.","$-5+12=7$. Ответ: $7$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Расставьте шаги вычисления выражения $-2+3\\cdot (5-8):(-3)$ в порядке выполнения.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$5-8=-3$","$3\\cdot (-3)=-9$","$-9:(-3)=3$","$-2+3=1$"]}},"instruction":"Расставьте шаги в порядке выполнения","hints":["Сначала действие в скобках.","Затем умножение и деление по порядку слева направо: каждое следующее берет результат предыдущего.","Последним — сложение: $-2+3=1$."],"step":1},{"content":"В каком порядке выполняют действия в выражении $-8+12:(-3)\\cdot 2$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Умножение, деление, сложение","Сложение, деление, умножение","Сложение, умножение, деление","Деление, умножение, сложение"],"explanations":["Умножение и деление равноправны: их выполняют слева направо, поэтому деление стоит первым","Сложение нельзя делать первым: умножение и деление выполняют раньше","Сложение выполняют последним, а умножение и деление — слева направо",""],"answer":[3]}},"hints":["Сначала умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание.","$12:(-3)=-4$, затем $(-4)\\cdot 2=-8$.","$-8+(-8)=-16$. Порядок: деление, умножение, сложение."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Множитель достается каждому числу в скобках

Найдем $-4\cdot(7-3)$ двумя способами. По порядку действий: $7-3=4$, затем $-4\cdot 4=-16$. А можно «раздать» множитель $-4$ каждому числу в скобках. Удобно считать, что в скобках стоит сумма $7+(-3)$: тогда $(-4)\cdot 7=-28$ и $(-4)\cdot(-3)=12$, а вместе $-28+12=-16$. Ответы совпали.

−4 · (7 − 3) двумя способами и ошибка знака — −4 · (7 − 3): оба способа дают −16; если потерять знак второго произведения, выйдет −40

Закон

Распределительный закон верен для любых рациональных чисел:

Множитель умножают на каждое число в скобках, и каждое произведение получает свой знак по правилу знаков.

Ошибка

Как ошибаются. Записывают $-4\cdot(7-3)=-28-12=-40$: минус перед $3$ переносят в ответ и забывают, что множитель тоже отрицательный.

Проверка на числах. По порядку действий $-4\cdot(7-3)=-4\cdot 4=-16$, а не $-40$.

Где ломается рассуждение. Второе произведение — это $(-4)\cdot(-3)$. Множители с одинаковыми знаками дают плюс: $(-4)\cdot(-3)=12$. Верно: $-28+12=-16$.

Закон работает и в обратную сторону: общий множитель можно вынести за скобки. Это часто сокращает вычисления.

Пример 3

Вычислите удобным способом: а) $-6\cdot 99$; б) $-17\cdot 23+(-17)\cdot(-13)$.

а) $99=100-1$, поэтому $-6\cdot(100-1)=-600-(-6)=-600+6=-594$.

б) Общий множитель $-17$ выносим за скобки: $-17\cdot(23+(-13))=-17\cdot 10=-170$.

Ответ: а) $-594$; б) $-170$.

{"questions":[{"content":"Какое равенство верно: $-3\\cdot (5-2)=\\ldots$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-15-2$","$-15+6$","$15-6$","$-15-6$"],"explanations":["Множитель умножают на каждое число в скобках","","Знак первого произведения потерян","Минус на минус дает плюс: второе произведение положительное"],"answer":[1]}},"hints":["Множитель умножаем на каждое число в скобках.","$-3\\cdot 5=-15$, $-3\\cdot (-2)=6$.","Ответ: $-15+6$."],"step":1},{"content":"Вычислите, раскрыв скобки по распределительному закону: $-6\\cdot (9-4)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-30"}},"hints":["Распределительный закон: $a(b-c)=ab-ac$. Множитель умножаем на каждое число в скобках.","$-6\\cdot 9=-54$, $-6\\cdot 4=-24$.","$-54-(-24)=-30$. Ответ: $-30$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Иксератопс раскрыл скобки: $-5\\cdot (8-2)=-40-10=-50$. Какое значение верное и как его получают?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-30$: $-5\\cdot 8=-40$, $-5\\cdot (-2)=+10$","$30$: $-5\\cdot 8=-40$, $-5\\cdot (-2)=+10$, знак суммы меняют","$-50$: $-5\\cdot 8=-40$, $-5\\cdot 2=-10$, затем вычитание","$-42$: $-5\\cdot 8=-40$, затем $-2$"],"explanations":["","Знак результата потерян: $-5\\cdot 6$ — число отрицательное","Второе произведение — $-5\\cdot (-2)$: минус на минус дает плюс","Множитель надо умножить на каждое число в скобках, а не только на первое"],"answer":[0]}},"hints":["Множитель умножаем на каждое число в скобках вместе с его знаком: $a(b-c)=ab+a\\cdot (-c)$.","$-5\\cdot 8=-40$, $-5\\cdot (-2)=10$.","$-40+10=-30$. Проверка: $-5\\cdot 6=-30$. Ответ: $-30$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Дроби и десятичные числа подчиняются тем же правилам

В одном выражении могут встретиться целые числа, десятичные и обыкновенные дроби. Порядок действий и правило знаков от этого не меняются. Добавляется один вопрос: в каком виде считать. Если все дроби легко переводятся в десятичные, удобнее считать в десятичных. Если есть дробь вроде $\frac{1}{3}$, которая не записывается конечной десятичной дробью, переводим все в обыкновенные.

Правило

выберите один вид чисел: десятичные, если все дроби конечные, иначе обыкновенные;
порядок действий и знаки — как для целых чисел.

−0,5 · (−4) + 1/2 = 2,5: один вид чисел, потом порядок и знаки — −0,5 · (−4) + 1/2: сначала произведение, потом сумма; 1/2 удобно записать как 0,5

Пример 4

Найдите значение выражения $-0{,}5\cdot(-4)+\frac{1}{2}$.

Шаг 1. Вид чисел. $\frac{1}{2}=0{,}5$ — считаем в десятичных.

Шаг 2. Умножение. Знаки множителей одинаковые, произведение положительное: $-0{,}5\cdot(-4)=2$.

Шаг 3. Сложение. $2+0{,}5=2{,}5$.

Ответ: $2{,}5$.

Пример 5

Найдите значение выражения $\left(-\frac{3}{4}+0{,}25\right)\cdot(-6)$.

Шаг 1. Скобки. $0{,}25=\frac{1}{4}$, поэтому $-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$.

Шаг 2. Умножение. $-\frac{1}{2}\cdot(-6)=3$: знаки одинаковые — плюс, $\frac{1}{2}\cdot 6=3$.

Ответ: $3$.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $0{,}25\\cdot (-8)+\\frac{3}{4}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-1,25","-1.25"]}},"hints":["Выберем один вид чисел: $0{,}25=\\frac14$ или дробь в десятичную.","$0{,}25\\cdot (-8)=-2$.","$-2+\\frac{3}{4}$: ответ $-1{,}25$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $-1{,}2\\cdot 5+3{,}4$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["-2,6","-2.6"]}},"hints":["Сначала умножение, потом сложение.","$-1{,}2\\cdot 5=-6$.","$-6+3{,}4=-2{,}6$. Ответ: $-2{,}6$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $-\\frac{1}{2}+\\frac{3}{4}\\cdot \\frac{4}{3}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{3}$","$\\frac{3}{2}$","$\\frac{1}{2}$","$-\\frac{3}{2}$"],"explanations":["Сложение выполнено раньше умножения: порядок нарушен","Потерян знак первого слагаемого","","Знак произведения изменен на противоположный: вычитание вместо сложения"],"answer":[2]}},"hints":["Сначала умножение: знак — по правилу знаков, числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.","$\\frac{3}{4}\\cdot \\frac{4}{3}=1$.","$-\\frac{1}{2}+1=\\frac{1}{2}$. Ответ: $\\frac{1}{2}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Шкала помогает поймать ошибку до проверки

Вернемся к вопросу из начала урока. Температура была $-3^\circ$, и 4 часа подряд поднималась на $2^\circ$ в час. Изменение за все время — $4\cdot 2$ градуса, поэтому итог записывается выражением $-3+4\cdot 2$. По порядку действий сначала умножение: $4\cdot 2=8$, затем $-3+8=5$. Температура стала $+5^\circ$.

Ответ $2$, который получается при счете слева направо, шкала отвергает сразу: за 4 часа температура поднялась на $8$ делений, а от $-3$ до $2$ всего $5$ делений.

−3 + 4 · 2 = 5: подъем на 8 делений ведет к 5 — От −3 четыре шага вверх по 2 деления: −3 + 4 · 2 = 5; ответ 2 — на 3 деления ниже

Так же проверяют любое выражение. До вычисления оцените знак каждого слагаемого и примерную величину: куда и примерно на сколько сдвинет результат каждое действие. Если точный ответ оказался не в той части шкалы, где его ожидали, ищите ошибку.

Правило

Прикидка ответа:

определите знак каждого произведения и частного по правилу знаков;
округлите числа и оцените, на сколько и в какую сторону сдвинется результат;
сравните точный ответ с прикидкой: знак и порядок величины должны совпасть.

Пример 6

Ученик вычислил $-3{,}8+2\cdot(-4{,}1)$ и получил $4{,}4$. Проверьте ответ прикидкой.

Прикидка. Произведение $2\cdot(-4{,}1)$ отрицательное, примерно $-8$. Значит, от $-3{,}8$ результат сдвинется вниз примерно на $8$ делений, где-то к $-12$. Положительный ответ $4{,}4$ невозможен.

Точный расчет. $2\cdot(-4{,}1)=-8{,}2$; $-3{,}8+(-8{,}2)=-12$. Ученик потерял знак произведения: $-3{,}8+8{,}2=4{,}4$.

Ответ: $-12$.

Прикидка −3,8 + 2 · (−4,1): ждем около −12, не 4,4 — Прикидка: ответ около −12, ниже −3,8; точка 4,4 вне ожидаемого промежутка — в вычислении ошибка

{"questions":[{"content":"Ученик вычислил $-40+(-3)\\cdot (-5)$ и получил $-55$. Какая прикидка показывает, что ответ неверен?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Знак результата оценить без вычисления нельзя","Результат не может быть отрицательным","Произведение положительное, поэтому результат больше $-40$","Произведение отрицательное, поэтому результат меньше $-40$"],"explanations":["Прикидка возможна: к числу прибавляют положительное число, результат больше исходного","Может: $-40+15=-25$ — отрицательное число","","Произведение двух отрицательных чисел положительное: $15$"],"answer":[2]}},"hints":["Оценим знак произведения по правилу знаков, потом посмотрим, как оно меняет число.","$(-3)\\cdot (-5)=15$ — положительное число, оно сдвигает результат вправо от $-40$ по шкале.","Верный ответ $-25$ больше $-40$, а $-55$ — меньше."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Выражения с рациональными числами считают по тем же правилам, что и с натуральными: законы сложения и умножения работают для любых знаков, порядок действий не зависит от знаков, а знак каждого результата дают правила сложения и умножения рациональных чисел. Эти навыки нужны в каждой задаче с температурой, высотой или балансом, а в 7 классе — при решении уравнений и упрощении выражений.

Часто задаваемые вопросы

Почему умножение выполняют раньше сложения?

Так договорились, чтобы у каждого выражения было одно значение. Договоренность удобна: умножение — это сокращенная запись сложения одинаковых слагаемых, например $4\cdot 2=2+2+2+2$. Поэтому произведение считают как одно число, которое потом прибавляют.

Можно ли переставлять числа в выражении с вычитанием?

Можно, если сначала заменить вычитание сложением с противоположным числом: $5-8+3=5+(-8)+3$. Теперь слагаемые переставляют вместе со знаками: $5+3+(-8)=0$. Переставлять сами уменьшаемое и вычитаемое нельзя: $5-8\ne 8-5$.

Что делать, если в выражении несколько скобок?

Сначала вычислите значение каждой скобки, затем выполняйте умножение и деление, затем сложение и вычитание. Если одни скобки стоят внутри других, начинайте с внутренних.

Зачем делать прикидку, если можно просто пересчитать?

Пересчитывая, часто повторяют ту же ошибку, например снова теряют минус. Прикидка проверяет ответ другим способом: по знаку и примерному положению на шкале. Она занимает несколько секунд и ловит самые частые ошибки — потерю знака и нарушение порядка.

Награды за урок