6 класс Математика Рациональные числа Умножение и деление рациональных чисел

Умножение рациональных чисел

Содержание

Вы уже умеете складывать и вычитать любые рациональные числа: последний урок был про вычитание рациональных чисел. Теперь научимся их умножать: разберем, какой знак получается у произведения, как умножать несколько множителей и дроби с разными знаками.

Вопрос, к которому мы вернемся в середине урока: почему произведение двух отрицательных чисел положительное? Правило «минус на минус дает плюс» многие помнят, но мало кто может объяснить.

Умножить на натуральное число — значит повторить шаг

Вспомним, что значит умножение натуральных чисел: $3\cdot 4=4+4+4$ — число $4$ взяли слагаемым три раза. Тот же смысл годится и для отрицательного числа.

Пусть температура каждый час понижается на $2^\circ$. Изменение за час — шаг по шкале термометра вниз, число $-2$. За три часа шаг повторится три раза: $(-2)+(-2)+(-2)=-6$. Короче это записывают произведением: $3\cdot(-2)=-6$. За три часа похолодало на $6^\circ$.

Умножение на натуральное число — повтор шага: три шага по −2 от нуля до −6, 3·(−2)=−6 — 3 · (−2): три одинаковых шага вниз по 2 деления — отметка −6

На шкале видно два факта. Шаги идут вниз, потому что каждый шаг отрицательный, значит, произведение отрицательное. Длина пути — три раза по два деления, то есть $3\cdot 2=6$: модуль произведения равен произведению модулей.

Правило

Чтобы умножить положительное число на отрицательное, перемножьте их модули и поставьте перед результатом знак «минус»:

$$3\cdot(-2)=-(3\cdot 2)=-6$$

Пример 1

Найдите $4\cdot(-3)$.

Шаг 1. Знаки множителей разные, значит, произведение отрицательное.

Шаг 2. Модули: $4\cdot 3=12$.

Проверка по шкале. Четыре шага вниз по $3$ деления: $-3$, $-6$, $-9$, $-12$.

Ответ: $-12$.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $5\\cdot (-9)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-45"}},"hints":["Знаки разные, значит, произведение отрицательное.","Перемножим модули: $5\\cdot 9=45$.","Ответ: $-45$."],"step":1}],"mix":1}

От перестановки множителей знак не меняется

Как понимать $(-5)\cdot 4$? Взять шаг четыре раза можно, а «минус пять раз» — нельзя. Здесь помогает переместительный закон: от перестановки множителей произведение не меняется. Он верен и для рациональных чисел, поэтому $(-5)\cdot 4=4\cdot(-5)=-20$ — четыре шага вниз по $5$ делений.

Скобки вокруг первого множителя обычно не пишут: $-5\cdot 4$ означает то же, что $(-5)\cdot 4$. Можно прочитать эту запись и как «число, противоположное $5\cdot 4$», — значение то же: $-20$.

Особый случай — умножение на $-1$. Произведение $5\cdot(-1)$ — пять шагов вниз по одному делению, получаем $-5$. Точка $5$ перешла в зеркальную точку $-5$, противоположное число из урока «противоположные числа и модуль». Так же $3\cdot(-1)=-3$, $0{,}5\cdot(-1)=-0{,}5$: умножение на $-1$ отражает число через нуль.

Умножение на −1 отражает число через нуль: 5 переходит в −5, 3 — в −3

Правило

Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно при любом порядке множителей. Умножение на $-1$ дает противоположное число:

$$(-5)\cdot 4=4\cdot(-5)=-20 \qquad a\cdot(-1)=-a$$

Ошибка

Как ошибаются. Пишут $(-4)\cdot 6=24$: минус первого множителя «теряется».

Проверка. Переставим множители: $6\cdot(-4)$ — шесть шагов вниз по $4$ деления, получаем $-24$. От перестановки произведение не меняется, поэтому и $(-4)\cdot 6=-24$.

Сверка с ответом. Ответ $24$ лежит справа от нуля, а шесть шагов вниз от нуля ведут влево. Проверим числом: если бы $(-4)\cdot 6$ было равно $24$, то $6\cdot(-4)$ тоже было бы $24$, а шесть раз по $-4$ вместе дают $-4-4-4-4-4-4=-24$. Значит, $24$ — ошибка: стоит записать $-4\cdot 6=-24$, минус остается.

{"questions":[{"content":"Чему равны значения выражений $(-7)\\cdot 3$ и $3\\cdot(-7)$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Оба равны $-21$","$(-7)\\cdot 3=-21$, а $3\\cdot(-7)=21$","$(-7)\\cdot 3=21$, а $3\\cdot(-7)=-21$","Оба равны $21$"],"explanations":["","Три шага по $-7$ ведут вниз от нуля, к $-21$: знаки разные, произведение отрицательное","Потеряли минус первого множителя: в $(-7)\\cdot 3$ он отрицательный, знаки разные, произведение отрицательное; от перестановки множителей оно не меняется","Минус потерян: в каждом произведении ровно один отрицательный множитель"],"answer":[0]}},"hints":["В каждом произведении один множитель отрицательный, другой положительный: знаки разные.","При разных знаках произведение отрицательное, а модули перемножаем: $7\\cdot 3=21$. Три шага по $-7$ вниз ведут к $-21$, а переставленные множители дают то же значение.","Ответ: оба выражения равны $-21$."],"step":1}],"mix":1}

Почему минус на минус дает плюс

Теперь оба множителя отрицательные, например $(-3)\cdot(-2)$. Повторить шаг «минус три раза» нельзя, и переставить множители не поможет: оба отрицательные. Шкала в прежнем виде здесь не работает. Поступим как математик: выпишем ряд произведений, которые уже умеем считать, и посмотрим на закономерность.

Будем умножать на $-2$ и уменьшать первый множитель на $1$: $3\cdot(-2)=-6$, $2\cdot(-2)=-4$, $1\cdot(-2)=-2$, $0\cdot(-2)=0$. Каждый раз произведение увеличивается на $2$: на шкале оно поднимается на два деления. Это понятно: шагов вниз становится на один меньше.

Продолжать ряд можно, если хотим сохранить закономерность: иначе привычные законы умножения перестали бы работать. Так и сделаем, следующий первый множитель — $-1$. Предскажите произведение, затем проверьте в модели ниже.

m6-umnozhenie-racionalnyh-prodolzhi-ryad

Проверим себя по полному ряду. Первый множитель $-1$, и произведение снова выросло на $2$: $(-1)\cdot(-2)=2$. Затем $(-2)\cdot(-2)=4$ и $(-3)\cdot(-2)=6$. Ряд перешел через нуль и стал положительным.

Ряд произведений на −2: первый множитель уменьшается на 1, произведение растет на 2, за нулем ряд положительный — Первый множитель уменьшается на 1 — произведение растет на 2; за нулем ряд продолжается: 2, 4, 6

Правило

Произведение двух отрицательных чисел положительно; его модуль равен произведению модулей:

Короче: знаки множителей одинаковые — произведение положительное, разные — отрицательное.

$$(-3)\cdot(-2)=3\cdot 2=6$$

У ряда есть понятный смысл. Температура каждый час понижается на $2^\circ$, сейчас $0^\circ$. Через $3$ часа будет $3\cdot(-2)=-6$ градусов. А какой была температура $3$ часа назад? Время назад — это $-3$ часа, и $(-3)\cdot(-2)=6$: было на $6^\circ$ теплее. Так и должно быть: раз сейчас холодает, раньше было теплее.

Как это увидеть на шкале: два отражения

Из ряда видно, что $(-1)\cdot(-2)=2$ и $(-1)\cdot(-3)=3$: умножение на $-1$ отражает число через нуль, в том числе отрицательное. Возьмем это из ряда и посмотрим так на $(-2)\cdot(-3)$. Число $-2$ — это $2$, отраженное через нуль. Считаем по шагам: $2\cdot 3=6$; минус у множителя $-3$ отражает $6$ в $-6$, то есть $2\cdot(-3)=-6$; минус у множителя $-2$ отражает $-6$ обратно в $6$. Два отражения возвращают точку на прежнее место, поэтому $(-2)\cdot(-3)=6$. Это согласуется с рядом, а не заменяет его.

Два отражения через нуль: 6 → −6 → 6, поэтому (−2)·(−3)=6 — Два отражения через нуль возвращают точку на место: 6 → −6 → 6

Ошибка

Как ошибаются. Пишут $(-2)\cdot(-3)=-6$: «оба числа с минусом — значит, и ответ с минусом».

Проверка на числах. Составим ряд с множителем $-3$: $1\cdot(-3)=-3$, $0\cdot(-3)=0$, $(-1)\cdot(-3)=3$. Каждый раз произведение растет на $3$, значит, следующее равно $6$. Ответ $-6$ означал бы, что ряд $-3$, $0$, $3$ вдруг упал на $9$ делений вниз.

Где ломается рассуждение. Перенесли правило сложения: при сложении двух отрицательных чисел сумма отрицательна, $(-2)+(-3)=-5$. Для умножения это правило не годится: у произведения двух отрицательных чисел знак плюс.

Ряд с множителем −3 растет на 3: после 3 идет 6; ответ −6 выпадает из ряда, верный ответ 6 — Ряд с множителем −3 растет на 3: после 3 идет 6; ответ −6 выпадает из ряда

Пример 2

Найдите $-4\cdot(-3)$.

Шаг 1. Оба множителя отрицательные — знаки одинаковые, произведение положительное.

Шаг 2. Модули: $4\cdot 3=12$.

Проверка рядом. $1\cdot(-3)=-3$, $0\cdot(-3)=0$, $(-1)\cdot(-3)=3$, $(-2)\cdot(-3)=6$, $(-3)\cdot(-3)=9$, $(-4)\cdot(-3)=12$.

Ответ: $12$.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $(-6)\\cdot (-7)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"42"}},"hints":["Знаки одинаковые (оба минус), значит, произведение положительное: в ряду произведений при уменьшении первого множителя результат идет через нуль к плюсу.","Перемножим модули: $6\\cdot 7=42$.","Ответ: $42$."],"step":1},{"content":"Иксератопс записал: $(-5)\\cdot (-7)=-35$ — «минус переходит в ответ». Чему равно произведение?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-35$","$12$","$35$","$-12$"],"explanations":["Ряд произведений при уменьшении первого множителя проходит через нуль и растет, поэтому за нулем он положительный","Модули сложили вместо умножения: $5+7=12$","","Сами числа сложили вместо умножения: $-5+(-7)=-12$"],"answer":[2]}},"hints":["Знаки одинаковые — произведение положительное: у двух отрицательных множителей плюс.","Модули: $5\\cdot 7=35$.","Ответ: $35$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Знак произведения решает число минусов

Для двух множителей все четыре случая собраны в таблице. Одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.

Таблица знаков произведения: одинаковые знаки дают плюс, разные минус — Одинаковые знаки множителей дают плюс, разные — минус

Если множителей больше двух, умножаем по очереди слева направо и на каждом шаге применяем правило знаков. Найдем $(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)$: сначала $(-1)\cdot(-2)=2$, потом $2\cdot(-3)=-6$.

Через отражения это видно сразу. Модуль произведения равен $1\cdot 2\cdot 3=6$, а каждый отрицательный множитель отражает результат через нуль. Два отражения возвращают точку на место, третье снова переносит ее на отрицательную сторону. Значит, знак зависит только от того, сколько минусов: четное число или нечетное.

Правило

Если среди множителей нет нуля, то при четном числе отрицательных множителей произведение положительно, при нечетном — отрицательно. Модуль произведения равен произведению модулей:

$$(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=-(1\cdot 2\cdot 3)=-6$$

Обратите внимание

Если хотя бы один множитель равен нулю, произведение равно нулю при любых знаках остальных: $(-7)\cdot 0\cdot(-3)=0$. Нуль не положителен и не отрицателен, поэтому правило знаков к нему не применяют.

Пример 3

Найдите $(-2)\cdot 3\cdot(-1)\cdot(-4)$.

Шаг 1. Отрицательных множителей три: $-2$, $-1$, $-4$. Три — нечетное число, произведение отрицательное.

Шаг 2. Модули: $2\cdot 3\cdot 1\cdot 4=24$.

Проверка по шагам. $(-2)\cdot 3=-6$; $-6\cdot(-1)=6$; $6\cdot(-4)=-24$.

Ответ: $-24$.

{"questions":[{"content":"Не вычисляя, определите знак произведения $(-17)\\cdot 23\\cdot (-9)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нуль","Определить нельзя","Положительный","Отрицательный"],"explanations":["Ни один множитель не равен нулю, значит, произведение не нуль","Знак зависит только от числа отрицательных множителей — его легко подсчитать","","Минусов 2: четное число, значит, знак плюс"],"answer":[2]}},"hints":["Знак произведения зависит от числа отрицательных множителей: четное — плюс, нечетное — минус.","Отрицательных множителей: 2.","Ответ: положительный."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите значение выражения $(-2)\\cdot 5\\cdot (-3)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Умножаем слева направо, на каждом шаге применяем правило знаков.","$(-2)\\cdot 5=-10$.","$(-10)\\cdot (-3)=30$. Ответ: $30$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Для дробей знак находим так же

Начнем с конкретного случая: найдем $-0{,}4\cdot(-5)$. Правило знаков здесь то же, что для целых чисел, а модули перемножаем, как в 5 классе.

Пример 4

Найдите $-0{,}4\cdot(-5)$.

Шаг 1. Оба множителя отрицательные — произведение положительное.

Шаг 2. Модули: $0{,}4\cdot 5=2{,}0=2$.

Проверка смыслом. $5$ раз по $0{,}4$ — это $2$; два минуса дают плюс.

Ответ: $2$.

Итак, действуем в два хода: сначала определяем знак по числу минусов, потом перемножаем модули. У десятичных дробей при постановке запятой отсчитываем общее число знаков после запятой во всех множителях; конечные нули после запятой можно отбросить, как в $0{,}4\cdot 5=2{,}0=2$. У обыкновенных дробей числитель умножают на числитель, знаменатель на знаменатель и сокращают.

Произведение дробей: 2/3 от 3/4 квадрата — это 6 клеток из 12, то есть 1/2; знаки разные, ответ −1/2 — Модуль: 2/3 от 3/4 квадрата — это 1/2 квадрата; знак разный — ответ −1/2

Пример 5

Найдите $-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}$.

Шаг 1. Знаки разные — произведение отрицательное.

Шаг 2. Модули: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $(-1{,}5)\\cdot (-4)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["6","6,0","6.0"]}},"hints":["Знаки одинаковые, значит, произведение положительное.","Перемножим модули: $1{,}5\\cdot 4=6$.","Ответ: $6$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $(-\\frac{3}{5})\\cdot \\frac{10}{9}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-\\frac{27}{50}$","$-\\frac{15}{7}$","$\\frac{2}{3}$","$-\\frac{2}{3}$"],"explanations":["Это частное, а не произведение: числитель умножают на числитель, знаменатель на знаменатель","Знаменатели при умножении дробей не складывают, а перемножают","Знак произведения определен неверно: он зависит от числа отрицательных множителей",""],"answer":[3]}},"hints":["Определим знак по правилу знаков, потом перемножим модули.","$\\frac{3}{5}\\cdot\\frac{10}{9}=\\frac{30}{45}$; сократим.","Ответ: $-\\frac{2}{3}$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Умножение рациональных чисел сводится к двум действиям: перемножить модули, как в 5 классе, и поставить знак по правилу знаков. Это нужно, чтобы считать изменение температуры за несколько часов, вычислять значения выражений с отрицательными числами, а в следующих темах — делить такие числа и решать уравнения. Если правило забылось, вспомните шкалу: натуральный множитель повторяет шаг, а каждый минус отражает результат через нуль.

Вернемся к вопросу урока

Сейчас $0^\circ$, каждый час холодает на $3^\circ$. Какой была температура $2$ часа назад? Попробуйте решить сами и объяснить, почему $(-2)\cdot(-3)$ положительно, затем сверьтесь.

Сверка. Время назад — это $-2$ часа, изменение за него $(-2)\cdot(-3)=6$, значит, было $6^\circ$ тепла. Так и должно быть: раз температура падает, раньше было теплее; два «минуса» — направление изменения и направление во времени — дают плюс.

Следующий урок

Деление — действие, обратное умножению, поэтому знак частного определяется по тому же правилу знаков. Как делить положительные и отрицательные числа, разберем в уроке «Деление рациональных чисел».

Повторите

Противоположные числа как зеркало через нуль: противоположные числа и модуль.
Сложение чисел с одинаковыми знаками — чтобы не путать его правило с умножением: сложение рациональных чисел.

Тест урока и тренажер темы

Проверьте себя: пройдите тест урока, а затем закрепите навык на задачах — тренажер темы.

Часто задаваемые вопросы

Почему при сложении двух отрицательных чисел получается минус, а при умножении — плюс?

Это разные действия. Сложение — два шага вниз подряд, поэтому сумма ниже нуля: $(-2)+(-3)=-5$. В произведении каждый отрицательный множитель отражает результат через нуль, а два отражения возвращают его на положительную сторону: $(-2)\cdot(-3)=6$.

Как быстро определить знак произведения многих множителей?

Сначала проверьте, нет ли среди множителей нуля: тогда произведение равно нулю. Если нуля нет, посчитайте отрицательные множители. Четное число минусов — произведение положительное, нечетное — отрицательное.

Можно ли считать, что $-5\cdot 4$ — это «минус» перед произведением $5\cdot 4$?

Можно: $-(5\cdot 4)=-20$, и $(-5)\cdot 4=-20$ — значения совпадают. Поэтому скобки вокруг первого отрицательного множителя обычно не пишут. А второй отрицательный множитель всегда берут в скобки: $4\cdot(-5)$, а не $4\cdot -5$.

Правило «минус на минус дает плюс» — это договоренность или его можно проверить?

Его можно проверить. Если продолжать ряд $2\cdot(-2)$, $1\cdot(-2)$, $0\cdot(-2)$ с тем же шагом, следующие произведения неизбежно станут положительными. Например, $(-1)\cdot 2+(-1)\cdot(-2)=(-1)\cdot 0=0$ по распределительному закону. Первое слагаемое равно $-2$, значит, второе должно быть противоположным ему числом, то есть $2$. Любой другой знак нарушил бы этот закон, который верен для всех чисел.

Награды за урок