Умножение как повтор шага

$3\cdot(-2)$ — три шага по $-2$ вниз: результат $-6$. Порядок множителей не важен.

Правило знаков

Знаки разные — произведение отрицательное; знаки одинаковые — положительное.

Минус на минус

$(-)\cdot(-)=$ плюс: ряд произведений $3\cdot(-2),\ 2\cdot(-2),\ 1\cdot(-2),\ 0\cdot(-2),\dots$ растет на 2.

Несколько множителей

Есть множитель $0$ — произведение равно нулю. Нулей нет: четное число отрицательных множителей дает плюс, нечетное — минус.

Умножение на минус единицу и на нуль

$(-1)\cdot a=-a$: отражение через нуль; $0\cdot a=$ 0.

Умножение дробей

Знак — по правилу знаков, числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.

Модуль произведения

Чтобы найти модуль произведения, модули множителей нужно перемножить: $\lvert ab\rvert=\lvert a\rvert\cdot\lvert b\rvert$, $\lvert abc\rvert=\lvert a\rvert\cdot\lvert b\rvert\cdot\lvert c\rvert$. Поэтому сначала определяют знак, затем перемножают модули.

Для дробей знак находим так же

Знак определяют по правилу знаков. При умножении десятичных дробей число знаков после запятой в произведении до отбрасывания конечных нулей равно сумме их количеств в множителях. Для обыкновенных дробей $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, где $b\ne0$, $d\ne0$; результат сокращают.

От перестановки множителей знак не меняется

Для любых рациональных чисел $a\cdot b=b\cdot a$: произведение сохраняется. Поэтому положительное на отрицательное и отрицательное на положительное дают один и тот же отрицательный результат при перестановке этих множителей.

Как это увидеть на шкале: два отражения

Каждый отрицательный множитель отражает ненулевой результат через нуль. Два отражения возвращают его на исходную сторону: $6\to-6\to6$, поэтому $(-2)\cdot(-3)=6$. При сложении двух отрицательных чисел складываются шаги вниз: $(-2)+(-3)=-5$; правило сложения нельзя переносить на умножение.

Как записывают отрицательный множитель

Перед первым отрицательным множителем скобки можно опустить: $-a\cdot b=(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$. Второй отрицательный множитель заключают в скобки: $4\cdot(-5)$.

С чего начать определение знака

Сначала проверьте, есть ли среди множителей нуль: тогда все произведение равно нулю, который не положителен и не отрицателен. Только если нулей нет, применяют правило: четное число отрицательных множителей дает плюс, нечетное — минус. При последовательном вычислении умножают слева направо.