6 класс Математика Рациональные числа Умножение и деление рациональных чисел

Деление рациональных чисел

Содержание

В уроке про умножение рациональных чисел вы узнали, как определить знак произведения. В этом уроке научимся делить любые рациональные числа: целые, десятичные и обыкновенные дроби с любыми знаками — и выясним, почему на нуль делить нельзя.

Вопрос, к которому мы вернемся в конце: можно ли свести деление к тому, что вы уже умеете, — к умножению?

Деление отвечает на вопрос, какой был шаг

За $3$ часа температура равномерно опустилась на $12$ градусов: изменение равно $-12$. На сколько градусов она менялась за час? На шкале термометра нужно найти такой шаг, который, повторенный $3$ раза, приведет от нуля к отметке $-12$. Это шаг вниз на $4$ деления: $-4\cdot 3=-12$.

Значит, $-12:3=-4$. Деление здесь — обратный ход умножения: умножение по шагу находит результат, деление по результату находит шаг.

Деление как обратный ход умножения: −4 · 3 = −12, поэтому −12 : 3 = −4 — Три шага по −4 дают −12, поэтому −12 : 3 = −4: деление — обратный ход умножения

Так же было с натуральными числами: $12:3=4$, потому что $4\cdot 3=12$. Определение деления не меняется, когда появляются отрицательные числа.

Правило

Разделить число $a$ на число $b$ ($b\ne 0$) — значит найти такое число $c$, что $c\cdot b=a$:

Поэтому любое частное можно проверить умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.

Пример 1

За $6$ часов ночью температура равномерно понизилась на $18$ градусов. Найдите изменение температуры за час.

Шаг 1. Понижение на $18$ градусов — это изменение $-18$. Ищем шаг, который за $6$ повторов дает $-18$: $-18:6$.

Шаг 2. Шаг идет вниз, частное отрицательное; модуль $18:6=3$. Получаем $-18:6=-3$.

Проверка умножением. $-3\cdot 6=-18$ — шесть шагов вниз по $3$ деления приводят к отметке $-18$.

Ответ: температура менялась на $-3$ градуса в час, то есть понижалась на $3$ градуса.

{"questions":[{"content":"Найдите число $x$, при котором $x:(-4)=-9$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Делимое равно частному, умноженному на делитель.","$x=(-9)\\cdot (-4)$.","Знаки одинаковые, значит, результат положительный: $x=36$. Проверка: $36:(-4)=-9$. Ответ: $36$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите значение выражения $-72:9$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-8"}},"hints":["Знаки разные, значит, частное отрицательное.","Разделим модули: $72:9=8$.","Проверка умножением: $(-8)\\cdot 9=-72$. Ответ: $-8$."],"step":1}],"mix":1}

Знак частного такой же, как у произведения

Найдем $-20:(-4)$. Шкала здесь уже не поможет: шаг, повторенный «$-4$ раза», нарисовать нельзя. Зато работает определение деления. Ищем число, которое при умножении на $-4$ дает $-20$. Напомним правило знаков умножения: если знаки множителей одинаковые, произведение положительное, если разные — отрицательное. Например, $5\cdot(-4)=-20$, $(-5)\cdot(-4)=20$. Перебираем: $5\cdot(-4)=-20$, а $-5\cdot(-4)=20$. Подходит $5$, значит, $-20:(-4)=5$.

Посмотрим на все четыре случая знаков. Модуль частного всегда равен частному модулей, а знак получается тот же, что при умножении этих чисел: $15:(-3)=-5$, потому что $-5\cdot(-3)=15$.

Знак частного: одинаковые знаки дают плюс, разные минус — Знаки одинаковые — частное положительное, разные — отрицательное: как в умножении

Правило

Чтобы разделить два рациональных числа, разделите их модули. Перед результатом поставьте знак:

«плюс», если знаки делимого и делителя одинаковые;
«минус», если знаки разные.

Обратите внимание

Если в выражении несколько делений подряд, знак результата находят так же, как для нескольких множителей: считают отрицательные числа. Четное число минусов дает плюс, нечетное — минус. Например, в выражении $-30:(-5):2$ два отрицательных числа, поэтому результат положительный: $-30:(-5)=6$, затем $6:2=3$. Само значение при этом считают слева направо, по одному делению.

Пример 2

Найдите $-56:(-7)$.

Шаг 1. Знаки одинаковые — частное положительное.

Шаг 2. Делим модули: $56:7=8$.

Проверка умножением. $8\cdot(-7)=-56$ — получили делимое.

Ответ: $8$.

Ошибка

Как ошибаются. Знак частного берут от первого числа: «делимое отрицательное, значит, и ответ отрицательный», $-20:(-4)=-5$.

Проверка на числах. Умножим частное на делитель: $-5\cdot(-4)=20$. Должно было получиться делимое $-20$, а получилось $20$. Для ответа $5$ проверка сходится: $5\cdot(-4)=-20$.

Где ломается рассуждение. Знак частного зависит от обоих чисел, а не только от делимого. Делитель тоже участвует: два минуса, как и в умножении, дают плюс.

Проверка умножением: −20 : (−4) = −5 неверно, верно 5 — Проверка умножением сразу ловит ошибку: −5 · (−4) = 20, а не −20

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $-63:(-9)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Знаки одинаковые, значит, частное положительное: как в умножении.","Разделим модули: $63:9=7$.","Проверка умножением: $7\\cdot (-9)=-63$. Ответ: $7$."],"step":1},{"content":"Иксератопс записал: $-45:(-9)=-5$ — «знак берется от первого числа». Какое частное верное и какая проверка это подтверждает?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-5$, потому что $(-5)\\cdot 9=-45$","$\\frac{1}{5}$, потому что делили $-9$ на $-45$","$-5$, потому что $(-5)\\cdot (-9)=-45$","$5$, потому что $5\\cdot (-9)=-45$"],"explanations":["В проверке взят делитель $9$, а делитель равен $-9$","Делимое и делитель поменяли местами","Проверка неверна: $(-5)\\cdot (-9)=45$ — произведение двух отрицательных чисел положительно",""],"answer":[3]}},"hints":["Делимое и делитель одного знака — частное положительное.","Проверка умножением: $5\\cdot (-9)=-45$.","Ответ: $5$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Не вычисляя, определите знак значения выражения $(-96):(-8):3$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Положительный","Определить нельзя","Отрицательный","Нуль"],"explanations":["","Знак зависит от числа отрицательных чисел, его легко подсчитать","Минусов 2: четное число, знак плюс","Ни одно число не равно нулю, значит, результат не нуль"],"answer":[0]}},"hints":["Деление подчиняется тем же правилам знаков, что и умножение: нечетное число минусов — минус, четное — плюс.","Отрицательных чисел: 2.","Ответ: положительный."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Распределите частные по знаку результата.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Частное положительное","Частное отрицательное"],"items":[["$-24:(-6)$","$35:7$"],["$-18:3$","$40:(-5)$"]]}},"hints":["Знаки одинаковые — частное положительное; разные — отрицательное.","Вычислять частные не нужно.","Положительные: $-24:(-6)$, $35:7$. Отрицательные: $-18:3$, $40:(-5)$."],"step":1}],"mix":1}

Делить на дробь — значит умножать на перевернутую дробь

В 5 классе вы делили дроби так: делимое умножали на дробь, обратную делителю. Это правило верно и для отрицательных дробей. Проверим его определением деления на примере $-\frac{3}{4}:\frac{1}{2}$.

Переворачиваем делитель: $\frac{1}{2}$ превращается в $\frac{2}{1}=2$. Получаем $-\frac{3}{4}\cdot 2=-\frac{3}{2}$. Проверка: $-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}$ — получили делимое, значит, частное найдено верно.

Деление на дробь: переворачиваем делитель и умножаем, −3/4 : 1/2 = −3/2 — Делимое не трогаем, делитель переворачиваем, знак ставим по правилу знаков

Правило

Чтобы разделить число на дробь $\frac{m}{n}$, умножьте его на обратную дробь $\frac{n}{m}$:

Переворачивается только делитель. Знак результата — по правилу знаков.

Почему это верно

По определению деления надо проверить, что $a\cdot\frac{n}{m}$, умноженное на делитель $\frac{m}{n}$, дает $a$. Действительно, $\frac{n}{m}\cdot\frac{m}{n}=\frac{nm}{mn}=1$, поэтому $a\cdot\frac{n}{m}\cdot\frac{m}{n}=a\cdot 1=a$.

Пример 3

Найдите $\frac{2}{5}:\left(-\frac{4}{15}\right)$.

Шаг 1. Знаки разные — частное отрицательное.

Шаг 2. Заменим деление умножением на обратную дробь: $\frac{2}{5}\cdot\frac{15}{4}=\frac{2\cdot 15}{5\cdot 4}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$.

Проверка умножением. $-\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{4}{15}\right)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}$.

Целое число тоже можно записать дробью со знаменателем $1$, поэтому делить дробь на целое удобно так же. Например, $-\frac{3}{5}:(-3)=-\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{5}$: знаки одинаковые, частное положительное. Проверка: $\frac{1}{5}\cdot(-3)=-\frac{3}{5}$.

Показать: почему делитель, а не делимое

Скрыть

Если перевернуть делимое, получится совсем другое число. Для $-\frac{3}{4}:\frac{1}{2}$ ошибочный ход дает $-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{2}{3}$. Проверка умножением: $-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}$, а не $-\frac{3}{4}$. Делимое — то, что делят; оно остается как было.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $-6:\\frac{3}{4}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-8"}},"hints":["Делить на дробь — значит умножить на обратную дробь.","$-6:\\frac{3}{4}=-6\\cdot \\frac{4}{3}$.","Ответ: $-8$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $(-\\frac{2}{3}):\\frac{1}{6}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-\\frac{1}{4}$","$-4$","$-\\frac{1}{9}$","$4$"],"explanations":["Перевернули делимое, а переворачивать надо делитель","","Умножили на дробь без переворота: чтобы разделить на дробь, умножают на обратную","Знак частного определен неверно: он такой же, как у произведения"],"answer":[1]}},"hints":["Делить на дробь — значит умножить на обратную дробь (числитель и знаменатель меняются местами, знак остается).","$-\\frac{2}{3}:\\frac{1}{6}=-\\frac{2}{3}\\cdot 6$.","По правилу знаков и после сокращения: $-4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Десятичные дроби делим, сдвигая запятую в обоих числах

С десятичными дробями знак определяется так же, а модули делятся по правилу 5 класса. Чтобы делитель стал целым, запятую сдвигают вправо в делителе и в делимом на одинаковое число знаков. Частное от этого не меняется: оба числа увеличились в одно и то же число раз.

Запятую сдвигаем в обоих числах: 4,8 : 1,2 = 48 : 12 = 4 — Запятая сдвигается в обоих числах на один знак: 4,8 : 1,2 = 48 : 12

Правило

Чтобы разделить на десятичную дробь, перенесите запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе. Знак частного — по правилу знаков.

Пример 4

Найдите $-4{,}8:(-1{,}2)$.

Шаг 1. Знаки одинаковые — частное положительное.

Шаг 2. Делим модули. В делителе $1{,}2$ один знак после запятой — сдвигаем запятую на один знак в обоих числах: $4{,}8:1{,}2=48:12=4$.

Проверка умножением. $4\cdot(-1{,}2)=-4{,}8$.

Ответ: $4$.

Так же $-2{,}5:0{,}5=-25:5=-5$: знаки разные, частное отрицательное. Если сдвинуть запятую только в делителе, получится $2{,}5:5=0{,}5$ — ответ в $10$ раз меньше верного.

Показать: средняя температура

Скрыть

Температуру воздуха измерили четыре раза: $-6^\circ$, $-2^\circ$, $3^\circ$ и $-7^\circ$. Найдите среднюю температуру.

Шаг 1. Средняя температура — сумма измерений, деленная на их число. Сумма: $-6+(-2)+3+(-7)=-12$.

Шаг 2. Делим на число измерений: $-12:4=-3$. Знаки разные — частное отрицательное.

Проверка смысла. Три измерения из четырех ниже нуля, и холодные сильнее теплого, поэтому средняя температура отрицательна.

Ответ: $-3^\circ$.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $-3{,}6:(-0{,}9)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Знаки одинаковые, значит, частное положительное. Чтобы не делить на десятичную дробь, сдвинем запятую в обоих числах на одинаковое число знаков.","$36:9$ — делитель стал целым.","Ответ: $4$."],"step":1},{"content":"$-2{,}8:(-0{,}7)=$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$-4$","$4$","$40$","$0{,}4$"],"answer":1,"placeholder":0}},"hints":["Знаки одинаковые — частное положительное.","Сдвигаем запятую на один знак в обоих числах: $2{,}8:0{,}7=28:7=4$.","Ответ: $4$."],"step":1},{"content":"Температуру воздуха измерили четыре раза: −8, −3, 2, −7 градусов. Найдите среднюю температуру. Ответ в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["Средняя температура — сумма измерений, деленная на их число.","$(-8)+(-3)+2+(-7)=-16$.","$-16:4=-4$. Ответ: $-4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

На нуль делить нельзя, а нуль делить можно

Проверим определение деления на нуле. Найдем $0:(-5)$: нужно число, которое при умножении на $-5$ дает $0$. Это $0$, потому что $0\cdot(-5)=0$. Значит, $0:(-5)=0$.

Теперь $5:0$. Нужно число, которое при умножении на $0$ дает $5$. Но любое число, умноженное на $0$, дает $0$. Такого числа нет, и частное $5:0$ найти нельзя. А для $0:0$ подходит любое число, и ответ не определен однозначно. Поэтому делить на нуль нельзя ни в каком случае.

Нуль делить можно: 0 : (−5) = 0; на нуль делить нельзя — 0 : (−5) = 0 — проверка сходится; для 5 : 0 нет числа, которое после умножения на 0 даст 5

Правило

Если делимое равно нулю, а делитель не равен нулю, частное равно нулю:

Делить на нуль нельзя: выражение с делителем, равным нулю, не имеет смысла.

Вернемся к вопросу из начала урока. Деление действительно сводится к умножению. Знак частного определяем тем же правилом, что и знак произведения. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь. А любой ответ проверяем умножением на делитель.

{"questions":[{"content":"Какое из выражений не имеет смысла?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$12:(5-5)$","$12:(5+5)$","$(-12):5$","$(5-5):12$"],"explanations":["","Делитель равен $10$, не нуль: выражение имеет смысл","Делитель $5$ не нуль: частное можно найти","Делимое равно нулю, а делитель $12$ не нуль: частное равно $0$, выражение имеет смысл"],"answer":[0]}},"hints":["Выражение не имеет смысла, если делитель равен нулю: на нуль делить нельзя.","Найдем делители: $5-5=0$ в первом выражении.","В остальных выражениях делитель не равен нулю. Ответ: $12:(5-5)$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Деление рациональных чисел опирается на умножение: частное — это число, которое после умножения на делитель дает делимое. Поэтому знак частного определяется так же, как знак произведения, а любой ответ можно проверить. Это понадобится в следующем уроке, где действия с рациональными числами соединяются в одно выражение, и в 7 классе — при решении уравнений.

Часто задаваемые вопросы

Почему знак частного такой же, как у произведения?

Потому что деление обратно умножению: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Если подобрать знак иначе, проверка не сойдется. Например, $-20:(-4)$ не может быть равно $-5$, так как $-5\cdot(-4)=20$.

Как быстро проверить ответ при делении?

Умножьте частное на делитель. Если получилось делимое — ответ верный. Проверка ловит и ошибку в знаке, и ошибку в модуле.

Почему нельзя делить на нуль, если нуль можно делить?

Для $0:a$ при $a\ne 0$ подходит ровно одно число — нуль. Для $a:0$ при $a\ne 0$ не подходит ни одно число, ведь любое число, умноженное на нуль, дает нуль. Для $0:0$ подходит любое число, поэтому ответ не определен.

Что переворачивать при делении дробей: делимое или делитель?

Только делитель. Делимое остается как есть, а делитель заменяют обратной дробью. Знак при этом не меняется: дробь, обратная к $-\frac{4}{15}$, — это $-\frac{15}{4}$.

Награды за урок