6 класс Математика Рациональные числа Положительные и отрицательные числа. Координаты

Сравнение рациональных чисел

Содержание

Вы уже знаете противоположные числа и модуль: модуль числа — это расстояние от его точки до нуля. В этом уроке научимся сравнивать любые рациональные числа: положительные и отрицательные, целые, десятичные и обыкновенные дроби. В конце расставим набор чисел по порядку и найдем целые решения двойного неравенства.

Правее по шкале — больше

Утром в одном городе было −12 °C, а в другом −9 °C. Где холоднее? Вопрос простой, но ответ на него и есть правило сравнения отрицательных чисел. Вернемся к нему чуть позже, а начнем с термометра.

Шкала термометра — это координатная прямая, на которой действует одна договоренность: чем теплее, тем правее. Нуль посередине, положительные числа правее нуля, отрицательные — левее. Когда теплеет, температура сдвигается вправо и становится больше. Значит, из двух чисел больше то, которое правее на шкале.

Шкала-термометр: правее — больше; −2 < 0 < 1; −12 °C холоднее −9 °C — Чем правее отметка на шкале, тем больше число: −2 < 0 < 1

Посмотрите на шкалу. Отметка $1$ правее нуля, отметка $-2$ левее нуля. Любое положительное число стоит правее нуля, любое отрицательное — левее. Поэтому положительное число всегда больше отрицательного, каким бы большим ни был модуль у отрицательного.

Правило

Любое положительное число больше нуля, а нуль больше любого отрицательного числа.

Пример

Сравним $0$ и $-\frac{1}{10}$.

Число $-\frac{1}{10}$ отрицательное: его отметка левее нуля, хоть и совсем близко. Нуль правее по шкале.

Ответ: $0>-\frac{1}{10}$.

{"questions":[{"content":"Выберите верное неравенство.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-12<5$","$-12>5$","$-5<-12$","$-12>-5$"],"explanations":["","Сравнивают модули: $12>5$, но отрицательное число всегда меньше положительного","Здесь сравниваются $-5$ и $-12$ — два отрицательных числа, это другое неравенство: $-5>-12$, потому что $-5$ ближе к нулю","Больший модуль у отрицательного числа — значит, оно ниже на шкале, а не выше: $-12<-5$"],"answer":[0]}},"hints":["На шкале термометра выше — больше: любое положительное число больше любого отрицательного.","$-12$ ниже нуля, $5$ выше нуля.","Верно: $-12<5$."],"step":1}],"mix":1}

Из двух отрицательных больше то, что ближе к нулю

Теперь оба числа левее нуля. Возьмем $-5$ и $-3$. Отметка $-3$ лежит на $3$ деления левее нуля, отметка $-5$ — на $5$ делений левее. Значит, $-3$ правее по шкале, и $-3>-5$. Температура −3 °C теплее, чем −5 °C.

Сколько делений от отметки до нуля — это модуль числа: $\lvert -3 \rvert = 3$, $\lvert -5 \rvert = 5$. Чем больше модуль отрицательного числа, тем дальше оно ушло влево от нуля и тем оно меньше.

Правило

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: оно ближе к нулю.

Вопрос из начала урока — про −12 °C и −9 °C — решается так же. Ответ дадим в конце урока, а сейчас проверьте правило на других числах.

{"questions":[{"content":"Запишите большее из чисел $-15$ и $-8$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-8"}},"hints":["Из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю: у него меньше модуль.","$\\lvert -15\\rvert=15$, $\\lvert -8\\rvert=8$; меньший модуль у $-8$.","Ответ: $-8$."],"step":1}],"mix":1}

Почему нельзя просто сравнить числа без минусов

Ошибка

Как ошибаются. Иксератопс рассуждает: «$5>3$, значит, и $-5>-3$». Он отбрасывает минусы, сравнивает модули и переносит знак сравнения без изменений.

Проверка на числах. Мороз −5 °C или −3 °C — какой сильнее? Конечно, −5 °C: при нем холоднее, отметка левее. Значит, $-5<-3$, а не $-5>-3$.

Где ломается рассуждение. У положительных чисел больший модуль означает «правее на шкале». У отрицательных — наоборот: больший модуль означает «дальше влево от нуля». Сравнение модулей верное, но знак сравнения для отрицательных чисел нужно перевернуть.

Зеркало через нуль переворачивает порядок: 5 > 3, но −5 < −3 — Отметка −5 левее отметки −3, поэтому запись −5 > −3 неверна: верно −5 < −3

Почему знак переворачивается

Скрыть

Вспомните зеркало из прошлого урока: числа $a$ и $-a$ симметричны относительно нуля. Отразим через нуль точки $3$ и $5$. Точка $5$ была правее точки $3$, а после отражения точка $-5$ оказалась левее точки $-3$. Зеркало сохраняет расстояния до нуля, то есть модули, но меняет стороны местами. Поэтому порядок противоположных чисел обратный: из $5>3$ следует $-5<-3$. Это верно для любых положительных $a$ и $b$: если $a>b$, то $-a<-b$.

Быстрая самопроверка: если вы сравнили два отрицательных числа и «большим» оказалось то, у которого больше модуль, остановитесь. Такого не бывает: из двух отрицательных чисел большим всегда оказывается то, что ближе к нулю.

{"questions":[{"content":"Иксератопс рассуждает: «$9>4$, значит, и $-9>-4$». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Неверно: $-9$ ниже по шкале, поэтому $-9<-4$","Неверно: $-4$ меньше, потому что у него меньше модуль","Верно: $-9$ дальше от нуля, значит, оно больше","Верно: $9>4$, поэтому знак неравенства сохраняется"],"explanations":["","Меньший модуль у отрицательного числа — значит, оно ближе к нулю и больше","Дальше от нуля вниз — значит ниже, то есть меньше: для отрицательных чисел наоборот","При переходе к противоположным числам порядок меняется на обратный: $-{p}<-{q}$"],"answer":[0]}},"hints":["Представьте термометр: чем ниже, тем меньше число.","$-9$ ниже нуля на $9$ делений, $-4$ — на $4$; первая отметка ниже.","Верно: $-9<-4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Три шага, которые работают для любых двух чисел

Соберем все, что увидели на шкале, в один порядок действий. Первым делом смотрим на знаки: если они разные, ответ готов сразу. Если оба числа отрицательные, сравниваем модули и переворачиваем знак сравнения.

Алгоритм сравнения

Знаки. Если знаки разные, больше положительное число (нуль больше любого отрицательного). Если знаки одинаковые — шаг 2.
Модули. Сравните модули чисел, как обычные положительные числа.
Знак сравнения. Для двух положительных чисел он такой же, как у модулей. Для двух отрицательных — противоположный.

Пример

Сравним $-2{,}7$ и $-2{,}71$.

Шаг 1. Оба числа отрицательные.

Шаг 2. Модули: $2{,}7$ и $2{,}71$. Чтобы сравнить десятичные дроби, уравняем число знаков после запятой: $2{,}70$ и $2{,}71$. Целые части равны, десятые равны, сотые: $0<1$. Значит, $2{,}70<2{,}71$.

Шаг 3. Числа отрицательные — знак переворачиваем: $-2{,}7>-2{,}71$.

Ответ: $-2{,}7>-2{,}71$. На шкале отметка $-2{,}7$ чуть правее, ближе к нулю.

Обратите внимание

Больше цифр после запятой не значит «больше число» и не значит «меньше число». Сравнивают модули по разрядам слева направо, предварительно дописав нули.

{"questions":[{"content":"Распределите числа на две группы: больше $-2$ и меньше $-2$.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Больше $-2$","Меньше $-2$"],"items":[["$-1{,}9$","$-0{,}5$","$0$"],["$-2{,}5$","$-3$","$-2{,}01$"]]}},"hints":["На шкале выше $-2$ стоят числа, которые ближе к нулю, чем $-2$, и все неотрицательные числа.","Отрицательные сравниваем по модулям с $2$: модуль меньше $2$ — число больше $-2$; модуль больше $2$ — число меньше $-2$.","Больше $-2$: $-1{,}9$; $-0{,}5$; $0$. Меньше $-2$: $-2{,}5$; $-3$; $-2{,}01$."],"step":1},{"content":"Запишите меньшее из чисел $-2{,}4$ и $-2{,}38$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-2,4","-2.4"]}},"hints":["Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше.","Сравним модули: $2{,}4$ и $2{,}38$. Дополним нулями: $2{,}40$ и $2{,}38$ — сравниваем по разрядам слева направо.","Больший модуль у $-2{,}4$. Ответ: $-2{,}4$."],"step":1}],"mix":1}

Как сравнить отрицательные дроби

Термометр подсказывает, где искать ответ: ближе к нулю — больше. Но если числа записаны по-разному, например $-\frac12$ и $-0{,}6$, на глаз не видно, какая отметка ближе к нулю. Сначала нужно привести модули к одному виду: обе дроби десятичные или обе обыкновенные с общим знаменателем. Дальше работают те же три шага.

Отрицательные дроби на отрезке от −1 до 0: −1/2 > −0,6 и −2/3 > −0,7 — На отрезке от −1 до 0: −0,6 левее −1/2, а −0,7 левее −2/3 — ближе к нулю то, у кого модуль меньше

Для пары $-\frac12$ и $-0{,}6$: $\frac12 = 0{,}5$, модули $0{,}5<0{,}6$, поэтому $-\frac12>-0{,}6$. На рисунке отметка $-\frac12$ правее.

Пример

Сравним $-\frac23$ и $-0{,}7$.

Шаг 1. Оба числа отрицательные.

Шаг 2. Модули $\frac23$ и $0{,}7 = \frac{7}{10}$. Дробь $\frac23$ не переводится в конечную десятичную, поэтому приведем к общему знаменателю $30$: $\frac23 = \frac{20}{30}$, $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$. Значит, $\frac23<\frac{7}{10}$.

Шаг 3. Числа отрицательные — знак переворачиваем: $-\frac23>-0{,}7$.

Ответ: $-\frac23>-0{,}7$.

Пример

Сравним $-\frac35$ и $-\frac47$.

Общий знаменатель $35$: $\frac35 = \frac{21}{35}$, $\frac47 = \frac{20}{35}$. Модули: $\frac{21}{35}>\frac{20}{35}$. Для отрицательных чисел знак переворачиваем.

Ответ: $-\frac35<-\frac47$.

Так решается и задача из начала урока в любом виде: два отрицательных числа, целые, десятичные или дроби, сравниваются одинаково. Привели модули к одному виду, сравнили их и перевернули знак.

{"questions":[{"content":"Поставьте знак: $-\\frac38$ [[fill_choice-1]] $-0{,}4$","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$=$","$<$","$>$"],"answer":2}},"hints":["Запишем дробь десятичной: $\\frac38 = 0{,}375$.","Модули: $0{,}375<0{,}4$. У отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.","Ответ: $-\\frac38>-0{,}4$."],"step":1},{"content":"Какое из чисел больше: $-\\frac{3}{4}$ или $-\\frac{5}{8}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сравнить нельзя","$-\\frac{3}{4}$","$-\\frac{5}{8}$","Числа равны"],"explanations":["Дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю — и сравнивают","У этого числа модуль больше: $\\frac{6}{8}>\\frac{5}{8}$, значит, оно меньше","","Числители при общем знаменателе разные, числа различны"],"answer":[2]}},"hints":["Приведем к общему знаменателю 8: $-\\frac{3}{4}=-\\frac{6}{8}$, $-\\frac{5}{8}=-\\frac{5}{8}$.","Модули: $\\frac{6}{8}$ и $\\frac{5}{8}$; у отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.","Ответ: $-\\frac{5}{8}$."],"step":1}],"mix":1}

Расставляем числа по порядку

На координатной прямой то же правило, что на термометре: чем правее точка, тем больше ее координата. Чтобы расставить числа по возрастанию, достаточно отметить их на прямой и прочитать слева направо.

Пять чисел по возрастанию: −4,5 < −3 < −1/2 < 0 < 2,5 — Слева направо числа возрастают: −4,5 < −3 < −1/2 < 0 < 2,5

Пример

Расставим по возрастанию числа $-3$; $2{,}5$; $-\frac12$; $0$; $-4{,}5$.

Положительное одно: $2{,}5$ — оно самое большое. Нуль меньше него, но больше всех отрицательных. Отрицательные: $-3$, $-\frac12$, $-4{,}5$; модули $3$, $0{,}5$, $4{,}5$. Чем больше модуль, тем левее точка: $-4{,}5<-3<-\frac12$.

Ответ: $-4{,}5<-3<-\frac12<0<2{,}5$.

Запись $-4<x<2$ называется двойным неравенством. Она читается «$x$ больше $-4$ и меньше $2$» и означает, что точка $x$ лежит на прямой между точками $-4$ и $2$. Знак $<$ не включает границу, знак $\le$ включает: граница тоже подходит. На схеме граница, которая входит, — закрашенная точка, а граница, которая не входит, — пустой кружок.

Двойное неравенство −4 < x < 2: границы не входят, целых решений пять — Вверху −4 < x < 2: пять целых чисел, границы не входят. Внизу −4 ≤ x < 2: шесть чисел, граница −4 входит

Пример

Найдем все целые $x$, для которых $-4<x<2$.

Границы $-4$ и $2$ не подходят: неравенства строгие. Выписываем целые числа между ними слева направо: $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$. Нуль не пропускаем — он тоже целое число.

Ответ: $-3$; $-2$; $-1$; $0$; $1$ — пять чисел.

Пример

А если $-4\le x<2$? Граница $-4$ теперь входит: знак $\le$ ее включает. Граница $2$ по-прежнему не входит.

Ответ: $-4$; $-3$; $-2$; $-1$; $0$; $1$ — шесть чисел.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На координатной прямой отмечены точки. В каком порядке стоят их координаты по возрастанию (от меньшей к большей)?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/0pnxh69roahw.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$D$, $A$, $C$, $B$","$C$, $B$, $A$, $D$","$B$, $C$, $A$, $D$","$C$, $A$, $D$, $B$"],"explanations":["Это порядок убывания: слева направо координаты растут, а здесь они уменьшаются","Среди отрицательных чисел поставлены в обратном порядке: ближе к нулю — больше, поэтому правее","","Так расположены точки по расстоянию от нуля (по модулю), а не по значению числа"],"answer":[2]}},"hints":["Чем правее точка на прямой, тем больше ее координата.","Выпишем буквы слева направо.","Ответ: $B$, $C$, $A$, $D$."],"step":1},{"content":"Сколько целых чисел $x$ удовлетворяют неравенству $-5<x\\le 2$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Отметим границы на прямой и выпишем целые числа между ними. Строгий знак исключает границу, нестрогий — включает.","Подходят: $-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2$.","Их 7. Ответ: 7."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Какое из чисел наименьшее: $-0{,}5; -0{,}05; 0; -1{,}5$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-0{,}05$","$-0{,}5$","$0$","$-1{,}5$"],"explanations":["Выше на шкале, чем $-1{,}5$: $-0{,}05>-1{,}5$","Выше на шкале, чем $-1{,}5$: $-0{,}5>-1{,}5$","Нуль больше любого отрицательного числа, поэтому наименьшим быть не может",""],"answer":[3]}},"hints":["Нуль больше любого отрицательного числа; из отрицательных чисел меньше то, у которого больше модуль.","Модули: $0{,}5$, $0{,}05$, $1{,}5$; наибольший — $1{,}5$.","Ответ: $-1{,}5$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Сравнение чисел нужно везде, где есть величины ниже нуля: температура, высота над уровнем моря, баланс счета. В следующих уроках оно понадобится, чтобы определять знак суммы и проверять ответ по шкале. Если сомневаетесь в ответе, представьте обе отметки на термометре: какая левее, то число и меньше.

Теперь ответим на вопрос из начала урока. Модули: $\lvert -12 \rvert = 12$ и $\lvert -9 \rvert = 9$. У $-9$ модуль меньше, значит, $-9>-12$: холоднее там, где −12 °C, а теплее там, где −9 °C.

Главное держится на одной картинке — шкале-термометре:

Часто задаваемые вопросы

Почему −100 меньше −1, хотя 100 намного больше 1?

Потому что сравниваются не модули, а положения на шкале. Отметка −100 на 100 делений левее нуля, отметка −1 — всего на одно. Чем левее отметка, тем меньше число.

Нуль положительный или отрицательный?

Ни тот, ни другой: нуль разделяет положительные и отрицательные числа. Он меньше любого положительного числа и больше любого отрицательного.

Как сравнить отрицательное число с нулем?

Отрицательное число всегда меньше нуля, даже если оно очень близко к нулю, например $-0{,}001$. Его отметка все равно левее нуля.

Можно ли сравнивать отрицательные дроби, не приводя к общему знаменателю?

Можно, если удобно перевести обе дроби в десятичные или если у дробей одинаковые числители. Но общий знаменатель работает всегда, поэтому он надежнее. Главное — не забыть перевернуть знак сравнения после сравнения модулей.

Чем порядок по возрастанию отличается от порядка по убыванию?

По возрастанию — от меньшего числа к большему, то есть слева направо по прямой. По убыванию — наоборот, от большего к меньшему. Для отрицательных чисел по возрастанию сначала идут числа с большим модулем.

Награды за урок