6 класс Математика Рациональные числа Положительные и отрицательные числа. Координаты

Противоположные числа и модуль числа

Содержание

Вы уже знаете, что такое координатная прямая: каждое число — это точка, положительные справа от нуля, отрицательные слева. В этом уроке разберем два понятия, которые опираются на прямую: противоположные числа и модуль числа. Оба удобно представлять на шкале термометра: противоположные числа — отражения друг друга через нуль, модуль — расстояние до нуля.

Два числа по разные стороны от нуля

Утром термометр за окном показал $-8$ °C, а днем $+5$ °C. Число $-8$ меньше, чем $5$: оно левее на шкале. Но какое из двух показаний дальше от нуля? Ответ найдем в конце урока.

Два термометра: утром −8 °C, днем +5 °C; какое показание дальше от нуля — Показания −8 °C и +5 °C на шкале термометра

Положим шкалу термометра горизонтально — получится координатная прямая. Отметим на ней точки $3$ и $-3$. Обе удалены от нуля на 3 единичных отрезка, только одна вправо, а другая влево. Если сложить прямую пополам по точке $0$, то точка $3$ совпадет с точкой $-3$. Нуль работает как зеркало: точка $-3$ — отражение точки $3$.

Числа 3 и −3 на координатной прямой симметричны относительно нуля — Противоположные числа — зеркальные точки: нуль посередине между ними

Определение

Два числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными. На координатной прямой они лежат по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии от него.

Число, противоположное числу $a$, обозначают $-a$ и читают «минус $a$». Число $0$ противоположно самому себе.

Почему нуль противоположен сам себе? Точка $0$ стоит прямо на зеркале, и ее отражение попадает в нее же. Других таких чисел нет: любая другая точка лежит справа или слева, а ее отражение — на другой стороне.

Пример 1

Найдите числа, противоположные числам $8$, $-2{,}5$ и $\frac{2}{3}$.

Решение. Меняем только знак, расстояние до нуля сохраняется.

Число $8$ стоит справа от нуля на 8 единиц, его отражение — слева: $-8$.

Число $-2{,}5$ стоит слева, отражение — справа на том же расстоянии: $2{,}5$.

Число $\frac{2}{3}$ положительное, противоположное ему: $-\frac{2}{3}$.

Ответ: $-8$; $2{,}5$; $-\frac{2}{3}$.

{"questions":[{"content":"Запишите число, противоположное числу $-17$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"17"}},"hints":["Противоположные числа отличаются только знаком: на прямой они стоят по разные стороны от нуля на равных расстояниях.","Меняем знак у $-17$.","Ответ: $17$."],"step":1}],"mix":1}

Отражение отражения возвращает точку на место

Запись $-(-5)$ читается так: «число, противоположное числу $-5$». Отразим точку $-5$ через нуль — она окажется в точке $5$. Значит, $-(-5)=5$.

То же видно на зеркале, если начать с числа $5$. Первое отражение переводит $5$ в $-5$, второе отражение переводит $-5$ обратно в $5$. Два отражения подряд возвращают точку на место.

Два отражения возвращают число 5 на место: −(−5) = 5 — Два отражения через нуль возвращают точку на место: −(−5) = 5

Правило

Число, противоположное числу $-a$, равно $a$:

Буква $a$ здесь обозначает любое число — и положительное, и отрицательное, и нуль. Например, $-(-12)=12$ и $-(-0{,}7)=0{,}7$.

Ошибка

Как ошибаются. «Перед $-a$ стоит минус, значит, $-a$ — отрицательное число».

Проверка на числах. Возьмем $a=-3$. Тогда $-a=-(-3)=3$, а $3$ — положительное число. Утверждение не выполняется.

Где ломается рассуждение. Минус перед буквой означает не «число отрицательное», а «возьмите зеркальную точку». Если $a$ лежит слева от нуля, то $-a$ лежит справа. Поэтому $-a$ может быть положительным, отрицательным или нулем — все зависит от того, где стоит $a$. На схеме при $a=-5$ число $-a=5$ стоит справа от нуля; то же покажет интерактив ниже, когда ползунок $a$ окажется левее нуля.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $-(-9)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Знак «минус» перед скобкой означает: берем число, противоположное числу в скобках.","Число, противоположное $-9$, — это $9$: два отражения через нуль возвращают точку на место.","Ответ: $9$."],"step":1},{"content":"Иксератопс утверждает: «Число $-a$ всегда отрицательное, ведь перед ним стоит минус». При каком значении $a$ видно, что он ошибся?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a=0{,}5$","$a=6$","$a=2$","$a=-6$"],"explanations":["При $a=0{,}5$ число $-a=-0{,}5$ отрицательно; нужен пример, где $-a$ положительно","При $a=6$ число $-a=-6$ отрицательно — это подтверждает слова Иксератопса, а не опровергает","При $a=2$ число $-a=-2$ отрицательно; нужен пример, где $-a$ положительно",""],"answer":[3]}},"hints":["$-a$ — это число, противоположное числу $a$: зеркальная точка относительно нуля.","Если $a$ стоит слева от нуля, то его зеркальная точка $-a$ стоит справа, то есть положительна.","При $a=-6$ получаем $-a=-(-6)=6>0$. Ответ: $a=-6$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Модуль измеряет расстояние до нуля

Вернемся к точкам $5$ и $-5$. Проведем стрелку от нуля к каждой из них. Стрелки смотрят в разные стороны, но их длины одинаковы: по 5 единичных отрезков. Длина такой стрелки показывает, насколько далеко число от нуля, и не зависит от того, в какую сторону она направлена.

Модули чисел −5 и 5 равны 5: стрелки от нуля одной длины — Стрелки от нуля к −5 и к 5 разного направления, но одной длины: |−5| = |5| = 5

Определение

Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до нуля (в единичных отрезках). Модуль числа $a$ обозначают $\lvert a \rvert$.

Из определения сразу следуют три свойства. Модуль положительного числа равен самому числу: точка $7$ удалена от нуля на 7. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу: точка $-7$ тоже удалена от нуля на 7. Модуль нуля равен нулю: от нуля до нуля идти некуда. Поэтому у противоположных чисел модули равны: $\lvert -a \rvert=\lvert a \rvert$.

Пример 2

Найдите $\lvert -8 \rvert$, $\lvert 5{,}2 \rvert$ и $\lvert 0 \rvert$.

Решение. Для каждого числа спрашиваем: на сколько единичных отрезков точка удалена от нуля?

Точка $-8$ лежит слева от нуля на расстоянии $8$, поэтому $\lvert -8 \rvert=8$.

Точка $5{,}2$ лежит справа на расстоянии $5{,}2$, поэтому $\lvert 5{,}2 \rvert=5{,}2$.

Точка $0$ совпадает с нулем, расстояние равно $0$: $\lvert 0 \rvert=0$.

Ответ: $8$; $5{,}2$; $0$.

Ошибка

Как ошибаются. Пишут $\lvert -3 \rvert=-3$: «модуль просто переписывает число вместе со знаком».

Проверка на числах. Если $\lvert -3 \rvert=-3$, то точка $-3$ удалена от нуля на $-3$ единичных отрезка. Но расстояние не бывает отрицательным: нельзя пройти $-3$ км или отрезать $-3$ см ленты. Точка $-3$ удалена от нуля на 3 единицы, значит, $\lvert -3 \rvert=3$.

Где ломается рассуждение. Модуль — это длина стрелки от нуля до точки, а не сама точка. Длина не может быть меньше нуля, поэтому модуль любого числа — положительное число или нуль.

Длина не бывает отрицательной: |−3| = 3, а не −3 — Стрелки длиной −3 не бывает: расстояние от точки −3 до нуля равно 3

В интерактиве ниже двигайте ползунок $a$ и следите за точками $a$ и $-a$ и длинами двух стрелок. Попробуйте поставить $a$ так, чтобы модуль был равен $7$. Сколько таких положений вы найдете?

m6-protivopolozhnye-i-modul-zerkalo

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На координатной прямой отмечена точка $A$. Найдите расстояние от точки $A$ до нуля в единичных отрезках. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lwjxmpeygonz.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Расстояние — это модуль координаты точки.","Точка $A$ имеет координату $-6$.","Расстояние от нуля — $6$. Ответ: $6$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $\\lvert -15\\rvert$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Модуль — расстояние от точки до нуля на координатной прямой.","Точка $-15$ удалена от нуля на $15$ единичных отрезков.","Ответ: $15$."],"step":1},{"content":"Иксератопс записал: $\\lvert -9\\rvert=-9$ — «модуль просто оставляет число как есть». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибка: верно $\\lvert -9\\rvert=\\frac{1}{9}$","Ошибка: верно $\\lvert -9\\rvert=0$","Ошибка: верно $\\lvert -9\\rvert=9$","Ошибки нет: $\\lvert -9\\rvert=-9$"],"explanations":["Дробь с единицей — обратное число, а не расстояние","Модуль равен нулю только у самого нуля","","Модуль не убирает скобки, а выдает расстояние до нуля, оно неотрицательно"],"answer":[2]}},"hints":["Модуль — расстояние от точки до нуля.","Расстояние не бывает отрицательным: нельзя пройти $-9$ км.","Верно: $\\lvert -9\\rvert=9$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Число по модулю: две точки, одна или ни одной

Теперь зададим обратный вопрос: модуль известен, каким может быть число? Например, какие числа $x$ удовлетворяют равенству $\lvert x \rvert=4$? Нужно найти все точки, удаленные от нуля на 4 единицы. Отложим 4 единицы от нуля вправо — получим $4$. Отложим влево — получим $-4$. Других таких точек нет.

Уравнение |x| = a: две, одна или ни одной точки — Расстояние a > 0 дает две точки, a = 0 — одну, при a < 0 точек нет

Если модуль равен нулю, точка одна — сам нуль: $\lvert x \rvert=0$ только при $x=0$. А равенство $\lvert x \rvert=-4$ не выполняется ни при каком $x$: точек на расстоянии $-4$ от нуля не существует, потому что расстояние не бывает отрицательным.

Равенство	Что ищем на прямой	Сколько чисел подходит
$\lvert x \rvert=a$, $a>0$	точки на расстоянии $a$ справа и слева от нуля	два: $x=a$ и $x=-a$
$\lvert x \rvert=0$	точку на расстоянии $0$ от нуля	одно: $x=0$
$\lvert x \rvert=a$, $a<0$	точки на отрицательном расстоянии	ни одного

Пример 3

Найдите все числа $x$, для которых: а) $\lvert x \rvert=3{,}5$; б) $\lvert x \rvert=-2$.

Решение. а) Ищем точки на расстоянии $3{,}5$ от нуля. Одна справа: $3{,}5$. Другая слева: $-3{,}5$. Проверка: $\lvert 3{,}5 \rvert=3{,}5$ и $\lvert -3{,}5 \rvert=3{,}5$.

б) Модуль — расстояние, а расстояние не может равняться $-2$. Таких чисел нет.

Ответ: а) $x=3{,}5$ или $x=-3{,}5$; б) таких чисел нет.

Обратите внимание

При $\lvert x \rvert=a$, где $a>0$, частая потеря — второе число. Найдя $x=a$, отразите его через нуль: $x=-a$ тоже подходит.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $\\lvert x\\rvert=6$. Какие значения $x$ подходят?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x=6$ и $x=-6$","Корней нет","Только $x=-6$","Только $x=6$"],"explanations":["","Расстояние $6$ можно отложить от нуля и вправо, и влево, так что корни есть","Потерян положительный корень: точка $6$ тоже удалена от нуля на $6$","Потерян второй корень: точка $-6$ тоже удалена от нуля на $6$"],"answer":[0]}},"hints":["Модуль $x$ — расстояние от точки $x$ до нуля.","Расстояние $6$ от нуля бывает в двух местах: справа и слева.","Ответ: $x=6$ и $x=-6$."],"step":1},{"content":"При каком значении $a$ уравнение $\\lvert x\\rvert=a$ не имеет корней?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$a=4$","$a=-4$","$a=0$","$a=1$"],"explanations":["При $a=4$ два корня: $x=4$ и $x=-4$","","При $a=0$ корень один: $x=0$","При $a=1$ два корня: $x=1$ и $x=-1$"],"answer":[1]}},"hints":["Корни уравнения — точки на расстоянии $a$ от нуля.","При $a>0$ таких точек две, при $a=0$ — одна, при $a<0$ — ни одной.","Подходит $a=-4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Кто дальше от нуля

Сравним числа $-11$ и $8$. Как числа, $-11<8$: точка $-11$ стоит левее. Но если спросить, какая точка дальше от нуля, ответ другой. Стрелка к $-11$ длиной 11, стрелка к $8$ длиной 8. Значит, $\lvert -11 \rvert>\lvert 8 \rvert$: число $-11$ дальше от нуля.

−11 левее 8, но дальше от нуля: |−11| > |8| — −11 < 8, но стрелка к −11 длиннее: |−11| > |8|

Правило

Дальше от нуля то число, у которого модуль больше. Чтобы сравнить расстояния до нуля, сравнивают модули, а знаки не учитывают.

Пример 4

Расположите числа $-7$; $2{,}5$; $-3$; $6$; $0$ в порядке возрастания их модулей.

Решение. Найдем модули: $\lvert -7 \rvert=7$, $\lvert 2{,}5 \rvert=2{,}5$, $\lvert -3 \rvert=3$, $\lvert 6 \rvert=6$, $\lvert 0 \rvert=0$.

Упорядочим модули: $0<2{,}5<3<6<7$.

Ответ: $0$; $2{,}5$; $-3$; $6$; $-7$.

Теперь ответим на вопрос из начала урока. Модули показаний: $\lvert -8 \rvert=8$ и $\lvert 5 \rvert=5$. Так как $8>5$, утром температура была дальше от нуля, хотя число $-8$ меньше, чем $5$. Пара $-6$ °C и $+6$ °C показывает другое: противоположные числа имеют равные модули, $\lvert -6 \rvert=\lvert 6 \rvert=6$.

Интересный факт: кто придумал вертикальные черточки

Скрыть

Обозначение модуля двумя вертикальными черточками ввел немецкий математик Карл Вейерштрасс в работе 1841 года. Слово «модуль» происходит от латинского modulus — «мера», «малая мера». Это название хорошо подходит: модуль измеряет, насколько число удалено от нуля.

{"questions":[{"content":"Распределите числа по группам: какие из них дальше от нуля, чем число $4$, а какие ближе[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Дальше от нуля, чем 4","Ближе к нулю, чем 4"],"items":[["$-7$","$5$","$-4{,}5$"],["$3$","$-3{,}9$","$0{,}5$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["Расстояние от нуля — это модуль числа; знак на расстояние не влияет.","$\\lvert -7\\rvert=7$, $\\lvert 5\\rvert=5$, $\\lvert -4{,}5\\rvert=4{,}5$ — больше $4$; $\\lvert 3\\rvert=3$, $\\lvert -3{,}9\\rvert=3{,}9$, $\\lvert 0{,}5\\rvert=0{,}5$ — меньше $4$.","Дальше от нуля: $-7$, $5$, $-4{,}5$; ближе: $3$, $-3{,}9$, $0{,}5$."],"step":1},{"content":"Утром термометр показывал −9 °C, днем — 6 °C. Когда температура была дальше от нуля?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Днем","Сравнить нельзя","Утром","Одинаково"],"explanations":["Днем число больше ($6>-9$), но расстояние от нуля измеряет модуль: $\\lvert 6\\rvert=6$ меньше, чем $\\lvert -9\\rvert=9$","Модули — обычные числа, их сравнивать можно","","Модули разные: $9$ и $6$"],"answer":[2]}},"hints":["Расстояние от нуля — модуль показания.","$\\lvert -9\\rvert=9$, $\\lvert 6\\rvert=6$.","$9>6$, значит, дальше от нуля было утром. Ответ: утром."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите число, противоположное отрицательному числу, модуль которого равен 7. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Отрицательное число с модулем 7 — это $-7$: оно в 7 единичных отрезках слева от нуля.","Противоположное ему число стоит справа от нуля на таком же расстоянии: $7$.","Ответ: 7."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Противоположные числа и модуль понадобятся на каждом следующем уроке этой главы: по модулям сравнивают отрицательные числа, складывают и вычитают числа с разными знаками. Сразу дальше — урок по сравнению рациональных чисел. Чтобы вспомнить главное, представьте шкалу термометра с зеркалом в нуле.

Закрепить навык можно в тренажере по теме «Положительные и отрицательные числа».

Часто задаваемые вопросы

Может ли модуль числа быть отрицательным?

Нет. Модуль — это расстояние от точки до нуля, а расстояние не бывает меньше нуля. Модуль любого числа — положительное число или нуль. Нулю модуль равен только у самого числа $0$.

Если перед буквой стоит минус, число отрицательное?

Не обязательно. Запись $-a$ означает число, противоположное $a$. Если $a=-4$, то $-a=4$ — положительное число. Знак числа $-a$ зависит от того, где на прямой стоит $a$.

Чем противоположное число отличается от обратного?

Противоположное к $5$ — это $-5$: меняется только знак, и в сумме получается $0$. Обратное к $5$ — это $\frac{1}{5}$: в произведении получается $1$. Это разные понятия, их легко спутать по названию.

Почему у равенства $\lvert x \rvert=4$ два ответа?

Потому что на расстоянии 4 от нуля лежат две точки: справа $4$ и слева $-4$. Если записать только $x=4$, второе число будет потеряно. Проверьте оба: $\lvert 4 \rvert=4$ и $\lvert -4 \rvert=4$.

Больше ли число, у которого больше модуль?

Не всегда. Если оба числа положительные — да. Если среди них есть отрицательное, бывает наоборот: $\lvert -9 \rvert>\lvert 2 \rvert$, но $-9<2$. Модуль говорит, насколько число далеко от нуля, а не где оно стоит на прямой. Как сравнивать отрицательные числа, разберем на следующем уроке.

Награды за урок