Свойства прямоугольных треугольников
Вспомним, какой треугольник называется прямоугольным в геометрии. Начертим на плоскости $\bigtriangleup{ABC}$ так, чтобы $\angle{A}=90^\circ$. Полученный в результате построений $\bigtriangleup{ABC}$ будет являться прямоугольным.
Очевидно, что, как и равнобедренный или равносторонний, прямоугольный треугольник — частный случай. Это предполагает особые свойства прямоугольных треугольников, к рассмотрению которых мы приступаем в текущем уроке.
Определение прямоугольного треугольника
Перед тем, как углубиться в вопрос урока о свойствах, все же приведем определение прямоугольного треугольника отдельно:
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть угол, равный $90^\circ$.
Прямоугольные треугольники отличаются не только наличием прямого угла, но и особым названием сторон. Давайте познакомимся с новой терминологией и договоримся, что будем применять ее далее при описании соответствующих треугольников.
Сторона, лежащая напротив прямого угла в прямоугольном треугольнике, называется гипотенузой. На чертеже для $\bigtriangleup{ABC}$ гипотенуза — это сторона $BC$.
Одна из двух сторон, образующих прямой угол в прямоугольном треугольнике, называется катетом. На чертеже катеты — это стороны $AB$ и $AC$.
🔎 Соотношения сторон и углов и свойства прямоугольных треугольников
Вспомним теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника: «Против большей стороны треугольника лежит больший угол». Применяя положение данной теоремы к прямоугольным треугольникам, мы можем привести очевидное заключение, что гипотенуза всегда по длине больше любого катета.
Гипотенуза — сторона, противолежащая углу в $90^\circ$. Из чего следует, что катеты — стороны, противолежащие углам меньше $90^\circ$. Угол, лежащий напротив гипотенузы, больше любого угла, лежащего против катета. Например, для $\bigtriangleup{ABC}$ выше:
$$\textcolor{purple}{BC}>AB\\\textcolor{purple}{BC}>AC$$
Чему равна сумма двух острых углов прямоугольного треугольника
Для удобства свойства прямоугольных треугольников будут нумероваться наподобие аксиом как $C_x$, где $x$ — номер свойства.
Вновь применим теорему о сумме углов треугольника к прямоугольным треугольникам. Если для всякого такого треугольника известно, что один из его углов равен $90^\circ$, про сумму оставшихся двух углов можно заключить, что они также равняются $90^\circ$. Иными словами, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника составляет $90^\circ$.
На примере треугольника $\bigtriangleup{ABC}$:
$$\angle{B}+\angle{C}=90^\circ$$
$C_1$. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.
Основание равнобедренного прямоугольного треугольника
Применим свойство $C_1$ к треугольнику с равными катетами. Пусть дан такой треугольник, $\bigtriangleup{DBC}$, где $DC=BC$. С одной стороны, $\bigtriangleup{DBC}$ является прямоугольным.
С другой стороны, он соответствует критерию равнобедренного треугольника. Тогда согласно теореме равнобедренного треугольника, заключающей равенство углов при основании, и согласно свойству $C_1$, заключающему, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, острые углы такого треугольника равны и каждый составляет $45^\circ$:
$$\angle{D}=\angle{B}=45^\circ$$
При этом заметим, что основание равнобедренного прямоугольного треугольника есть гипотенуза. Однако размещение на чертеже такого вида треугольника «гипотенузой к низу» — практика нераспространенная.
Данный чертеж был приведен в пример лишь для того, чтобы визуально выделить основание равнобедренного прямоугольного треугольника.
Свойства прямоугольных треугольников: катет и гипотенуза
Внимание, следующие два свойства прямоугольных треугольников будут доказываться с использованием теоремы о медиане, биссектрисе и высоте равнобедренного треугольника. Также не забываем, что равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного.
Когда катеты противолежат углам определенной градусной меры, у прямоугольных треугольников обнаруживается еще одно примечательное свойство.
$C_2$. Если катет в прямоугольном треугольнике лежит напротив угла в $30^\circ$, то такой катет равен половине гипотенузы.
Доказательство
Пусть дан прямоугольный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$, в котором $\angle{C}=30^\circ$. Докажем, что в таком треугольнике катет, лежащий напротив $\angle{C}=30^\circ$, равен половине гипотенузы.
Построим треугольник $\bigtriangleup{FAC}$, равный $\bigtriangleup{ABC}$. Рассмотрим полученный в результате треугольник $\bigtriangleup{FBC}$. По построению $\angle{B}=\angle{F}=60^\circ$. Также по теореме о сумме углов треугольника $\angle{BCF}=60^\circ$. Следовательно $\bigtriangleup{FCB}$ равносторонний.
Поскольку $\bigtriangleup{ABC}=\bigtriangleup{FAC}$, имеем равенство углов $\angle{BCA}=\angle{ACF}=30^\circ$. Заметим, что сторона $CA$ является в $\bigtriangleup{FCB}$ высотой, биссектрисой и, следовательно, медианой.
Тогда:
$$AB=\frac{1}{2}FB$$
Так как $\bigtriangleup{FCB}$ равносторонний и в нем $FB=FC=BC$:
$$AB=\frac{1}{2}BC$$
Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Что и требовалось доказать.
Попрактикуемся!
Задача. В прямоугольном треугольнике один из углов равен $60^\circ$. Найдите, чему равняется гипотенуза, если известно, что сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна $30~см$.
Дано:
$\angle{\alpha}=60^\circ$,
$x+y=30$
Найти:
$x$ — ?
Решение. Обозначим длину гипотенузы как $x$, а длину меньшего катета как $y$. Запишем их сумму по условию в виде уравнения:
$$x+y=30$$
Применим свойства прямоугольных треугольников $C_1$ и $C_2$. Раз в прямоугольном треугольнике один из углов составляет $60^\circ$, то по $C_1$ второй угол равен $30^\circ$. По обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника («против большего угла лежит большая сторона») меньший из катетов — тот, что лежит против угла в $30^\circ$.
По $C_2$ имеем, что катет равен половине гипотенузы, если он лежит против угла в $30^\circ$. Откуда заключаем про $x$ и $y$ следующее:
$$y=\frac{x}{2}$$
Выразим уравнение выше через $x$ и найдем длину гипотенузы:
$$\frac{x}{2}+x=30\\x=20$$
Ответ: 20 см.
Катет, гипотенуза, угол — обратное свойство
$C_3$. Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то такой катет лежит напротив угла в $30^\circ$.
Доказательство
Пусть в прямоугольном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ катет $AB$ равен половине гипотенузы $BC$:
$$AB=\frac{BC}{2}$$
Докажем, что в таком случае угол $\angle{C}=30^\circ$. То есть докажем, что в случае со свойством $C_2$ также истинным будет и обратное положение. Для этого построим треугольник $\bigtriangleup{ACK}$, равный $\bigtriangleup{ABC}$.
Рассмотрим полученный в результате треугольник $\bigtriangleup{KBC}$. По построению $KC=BC$, $KA=AB$. Заметим, что:
$$BC=2AB=AB+KA=KB$$
Раз $$BC=KB\\BC=KC,$$
то $\bigtriangleup{KBC}$ равносторонний. Отрезок $CA$ в $\bigtriangleup{KBC}$ является высотой и медианой ($KA=AB$). Следовательно $CA$ — биссектриса треугольника в том числе. Тогда $\angle{BCA}=\angle{ACK}$. Поскольку $\angle{BCK}=60^\circ$ (по определению равностороннего треугольника), $\angle{BCA}=\angle{ACK}=30^\circ$.
Угол $\angle{C}$ в прямоугольном треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ равен $30^\circ$. Что и требовалось доказать.
Иными словами
Свойство прямоугольных треугольников, связывающее катет, гипотенузу и угол в $30^\circ$, истинно в «обе стороны». Если про прямоугольный треугольник известно, что в нем есть угол $30^\circ$, катет, лежащий против такого угла, равен половине гипотенузы.
С другой стороны, если в прямоугольном треугольнике есть катет, равный половине гипотенузы, то лежащий напротив него угол составляет $30^\circ$. Свойства $C_2$ и $C_3$ являются обратными друг другу.
5
5
1
5
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Хотите оставить комментарий?
Войти